Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 2: Các phép toán với đa thức nhiều biến

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 2: Các phép toán với đa thức nhiều biến sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 2: Các phép toán với đa thức nhiều biến

A. Lý thuyết

1. Cộng, trừ hai đa thức

Muốn cộng, trừ hai đa thức ta làm như sau:

– Viết hai đa thức trong ngoặc và nối với nhau bằng dấu cộng “+” hay trừ “–”.

– Bỏ dấu ngoặc rồi thu gọn đa thức thu được.

Ví dụ 1. Cho hai đa thức A = x² + 2y – 3xy và B = x – 8y + x²y + 21xy . Tính A – B và A + B.

Hướng dẫn giải

Ta có:

A – B = x² + 2y – 3xy – (x – 8y + x²y + 21xy)

= x² + 2y – 3xy – x + 8y – x²y – 21xy

= x² + (2y + 8y) + (–3xy – 21xy) – x – x²y

= x² + 10y – 24xy – x – x²y.

A + B = x² + 2y – 3xy + x – 8y + x²y + 21xy

= x² + (2y – 8y) + (–3xy + 21xy) + x + x²y

= x² – 6y + 18xy + x + x²y.

2. Nhân hai đa thức

2.1. Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các lũy thừa cùng biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau.

Ví dụ 2. Thực hiện các phép nhân đơn thức sau:

Hướng dẫn giải

2.2. Nhân hai đa thức

– Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

–Để nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ 3. Thực hiện các phép tính nhân:

a) 3x(x³ + 2xy²);

b) (2x²y + y) . (–5x²y² + y²).

Hướng dẫn giải

a) 3x(x³ + 2xy²) = 3x . x³ + 3x . 2xy²

= 3(x . x³) + (3 . 2)(x . x) . y²

= 3x⁴ + 6x²y².

b) (2x²y + y) . (–5x²y² + y²) = 2x²y(–5x²y² + y²) + y(–5x²y² + y²)

= 2x²y . (–5x²y²) + 2x²y . y² + y . (–5x²y²) + y . y²

= [2. (–5)] . (x² . x²) . (y . y²) + 2x² (y . y²) – 5x² . (y . y²) + y³

= –10x⁵y³ + 2x²y³ – 5x²y³ + y³

= –10x⁵y³ – 3x²y³ + y³.

3. Chia đa thức cho đơn thức

3.1. Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (với A chia hết cho B), ta làm như sau:

– Chia hệ số của A cho hệ số của B.

– Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

– Nhân các kết quả tìm được với nhau.

Ví dụ 4. Thực hiện phép chia 18x⁵yz³ cho –2x³z.

Hướng dẫn giải

Ta có:

18x⁵yz³ : (–2x³z) = [18 : (–2)] . (x⁵ : x³) . y . (z³ : z) = –9x²yz².

3.2. Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó, rồi cộng các kết quả tìm được với nhau.

Ví dụ 5. Thực hiện các phép chia đa thức cho đơn thức sau:

a) (6ab² + 3a³b²) : (3b);

b) (95a⁷b⁵ – 50ab³ + 5a²b²) : (–5ab²).

Hướng dẫn giải

a) (6ab² + 3a³b²) : (3b)

= [6ab² : (3b)] + [3a³b² : (3b)]

= (6 : 3) . a . (b² : b) + (3 : 3) . a³ . (b² : b)

= 2ab + a³b.

b) (95a⁷b⁵ – 50ab³ + 5a²b²) : (–5ab²)

= [95a⁷b⁵ : (–5ab²)] + [–50ab³ : (–5ab²)] + [5a²b² : (–5ab²)]

= [95:(–5)].(a⁷ : a).(b⁵ : b²) + [(–50) : (–5)].(a : a).(b³ : b²) + [5 : (–5)].(a² : a).(b² : b²)

=–19a⁶b³ + 10b – a.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1.Tính:

Hướng dẫn giải

a) 5x – y + (x + 3y)

= 5x – y + x + 3y

= (5x + x) + (–y + 3y)

= 6x + 2y.

b) x² + 3y + 2xy² – (x + xy – xy² + 3x²)

= x² + 3y + 2xy² – x – xy + xy² – 3x²

= (x² – 3x²) + 3y + (2xy² + xy²) – x – xy

= –2x² + 3y + 3xy² – x – xy.

Bài 2.Thực hiện phép nhân:

a) xy(2x – 3y + xy – x² + 6);

b) (3x – y)(x²y + xy² + 1).

Hướng dẫn giải

a) xy(2x – 3y + xy – x² + 6)

= xy . 2x – xy . 3y + xy . xy – xy . x² + xy . 6

= 2x²y – 3xy² + x²y² – x³y + 6xy.

b) (3x – y)(x²y + xy² + 1)

= 3x(x²y + xy² + 1) – y(x²y + xy² + 1)

= 3x . x²y + 3x . xy² + 3x . 1 – y . x²y– y . xy² – y . 1

= 3x³y + 3x²y² + 3x – x²y² – xy³ – y

= 3x³y + 2x²y² + 3x – xy³ – y.

Bài 3.Thực hiện phép chia:

a) 15x⁵y² : (3x²y);

b) (x³y – 2xy² + 7x²y²) : (–xy).

Hướng dẫn giải

a) 15x⁵y² : (3x²y) = (15 : 3) . (x⁵ : x²) . (y² : y) = 5x³y.

b) (x³y – 2xy² + 7x²y²) : (–xy)

= [x³y : (–xy)] + [–2xy² : (–xy)] + [7x²y² : (–xy)]

= – (x³ : x) . (y : y) + [–2 : (–1)] . (x : x) . (y² : y) + [7: (–1)] . (x² : x) . (y² : y)

= – x² + 2y – 7xy.

Bài 4.Tính giá trị của biểu thức:

a) A = (x – y)(x² – xy) – x(x² + 2y²) tại x = 2 và y = –3.

b) B = x(x² + xy + y²) – y(x² + xy + y²) với x = 5 và y = –1.

Hướng dẫn giải

a) A = (x – y)(x² – xy) – x(x² + 2y²)

= x(x² – xy) – y(x² – xy) – x³ – 2xy²

= x³ – x²y – x²y + xy² – x³ – 2xy²

= (x³ – x³) + (– x²y – x²y) + (xy² – 2xy²)

= –2x²y – xy².

Thay x = 2 và y = –3 vào biểu thức thu gọn ta được:

A = –2.2².(–3)– 2.(–3)²

= –2.4.(–3)– 2.9

= 24 – 18 = 6.

b) B = x(x² + xy + y²) – y(x² + xy + y²)

= x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³

= x³ + (x²y – x²y) + (xy² – xy²) – y³

= x³ – y³

Thay x = 5 và y = –1 vào biểu thức thu gọn ta được:

B = 5³ – (–1)³ = 125 – (–1) = 126.

Bài 5.

a) Tính chiều dài của hình chữ nhật có diện tích bằng 15x² + 9xy và chiều rộng bằng 3x.

b) Tính cạnh còn thiếu của tam giác trong hình vẽ sau biết chu vi tam giác bằng 5x + 6y.

Hướng dẫn giải

a) Chiều dài của hình chữ nhật là:

(15x² + 9xy) : (3x)

= 15x² : 3x + 9xy : 3x

= (15 : 3) . (x² : x) + (9 : 3) . (xy : x)

= 5x + 3y.

b) Cạnh còn lại của tam giác là:

(5x + 6y) – (x + 2y) – (3x + y)

= 5x + 6y – x – 2y – 3x – y

= (5x – x – 3x) + (6y – 2y – y)

= x + 3y.