Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

A. Lý thuyết

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành một tích của những đa thức. Mỗi đa thức này gọi là một nhân tử của đa thức đã cho.

Ví dụ 1. Phân tích đa thức A = 2x²y + 6xy² + 24xy thành nhân tử.

Hướng dẫn giải.

A = 2x²y + 6xy² + 24xy

= 2xy . x + 2xy . 3y + 2xy . 12

= 2xy(x + 3y + 12).

Ở Ví dụ 1, ta gọi đơn thức 2xy là nhân tử chung của các hạng tử của A, ta viết được A thành tích của 2xy với một đa thức. Cách làm như vậy gọi là phân tích đa thức A thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Phương pháp đặt nhân tử chung

• Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

• Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho

nhân tử chung.

2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

Tùy trường hợp ta có thể sử dụng những hằng đẳng thức khác nhau để phân tích một đa thức thành nhân tử.

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 9x² – 12xy + 4y²;

b) 2x⁴ + 250xy³.

Hướng dẫn giải.

a) 9x² – 12xy + 4y² = (3x)² – 2 . 3x . 2y + (2y)² = (3x – 2y)²;

b) 2x⁴ + 250xy³ = 2x(x³ + 125y³) = 2x[x³ + (5y)³] = 2x(x + 5y)(x² – 5xy + y²).

=>Cách làm như Ví dụ 2 gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.

=>Cần vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để phù hợp với các nhân tử.

3. Phương pháp nhóm hạng tử

Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 2x² – 2y + 4xy – x;

b) x³ + 2x² + 6x + 5.

Hướng dẫn giải.

a) Cách 1:

2x² – 2y + 4xy – x

= (2x² + 4xy) – (x + 2y)

= 2x(x + 2y) – (x + 2y)

= (x + 2y)(2x – 1).

Cách 2:

2x² – 2y + 4xy – x

= (2x² – x) + (4xy – 2y)

= x(2x – 1) + 2y(2x – 1)

= (2x – 1)(x + 2y).

b) Cách 1:

x³ + 2x² + 6x + 5

= x³ + x² + x² + 5x + x + 5

= (x³ + x² + 5x) + (x² + x + 5)

= x(x² + x + 5) + (x² + x + 5)

= (x² + x + 5)(x + 1).

Cách 2:

x³ + 2x² + 6x + 5

= (x³ + 2x² + x) + (5x + 5)

= x(x² + 2x + 1) + 5(x + 1)

= x(x + 1)² + 5(x + 1)

= (x + 1)[x(x + 1) + 5]

= (x + 1)(x² + x + 5).

=>Cách làm như Ví dụ 3 gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

Phương pháp nhóm hạng tử

• Ta ghép các hạng tử của đa thức thành các nhóm để làm xuất hiện nhân tử chung.

• Tiếp theo, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa cho thành nhân tử.

Chú ý:

+ Có thể sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp để nhóm các số hạng của đa thức một cách linh hoạt (một đa thức có thể có nhiều cách nhóm hạng tử).

+ Khi phân tích đa thức thành nhân tử, ta phải phân tích triệt để đến khi không phân tích được nữa.

+ Khi nhóm các hạng tử của đa thức cần chú ý đến dấu của mỗi số hạng trong đa thức.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) xy + 2y².

b) (x – 1)² + 3(1 – x).

c) (y + 6)² – 4.

d) 8x² + 32xy + 32y².

e) x⁵ – x².

g) x³ – 2x² + x – 2.

h) x³ – 3y³ + 3x²y – xy².

Hướng dẫn giải

a) xy + 2y²

= y . x + y . 2y

= y(x + 2y);

b) (x – 1)² + 3(1 – x)

= (x – 1)(x – 1) – 3(x – 1)

= (x – 1)(x – 1 – 3)

= (x – 1)(x – 4).

c) (y + 6)² – 4

= (y + 6)² – 2²

= (y + 6 – 2)(y + 6 + 2)

= (y + 4)(y + 8);

d) 8x² + 32xy + 32y²

= 8(x² + 4xy + 4y²)

= 8[x² + 2 . x . 2y + (2y)²]

= 8(x + 2y)²;

e) x⁵ – x² = x² . x ³ – x²

= x²(x³ – 1)

= x²(x – 1)(x² + x + 1).

g) x³ – 2x² + x – 2

= (x³ + x) – 2(x² + 1)

= x(x² + 1) – 2(x² + 1)

= (x² + 1)(x – 2);

h) x³ – 3y³ + 3x²y – xy²

= (x³ – xy²) + (3x²y – 3y³)

= x(x² – y²) + 3y(x² – y²)

= (x² – y²)(x + 3y)

= (x – y)(x + y)(x + 3y).

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử rồi tính các giá trị của nó:

a) A = a(b + 3) – b(3 + b) tại a = 2023 và b = 2017.

b) B = x² – 2x + 1 – 4y² tại x = 51 và y = 25.

c) C = x² – 3y – 3x + xy tại x = 53 và y = 47.

Hướng dẫn giải

a) A = a(b + 3) – b(3 + b)

= (b + 3)(a – b)

Thay a = 2023 và b = 2017 vào biểu thức trên ta được:

A = (2017 + 3)(2023 – 2017)

= 2020 . 6 = 12 120.

b) B = x² – 2x + 1 – 4y²

= (x² – 2x + 1) – 4y²

= (x – 1)² – 4y²

= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)

Thay x = 51 và y = 25 vào biểu thức trên ta được:

B = (51 – 1 – 2.25)(51 – 1 + 2.25)

= 0.100 = 0.

c) C = x² – 3y – 3x + xy

= (x² – 3x) + (xy – 3y)

= x(x – 3) + y(x – 3)

= (x – 3)(x + y)

Thay x = 53 và y = 47 vào biểu thức trên ta được:

C = (53 – 3)(53 + 47) = 50 . 100 = 5 000.

Bài 3. Tìm x, biết:

a) (x – 3)² = (3 + x)².

b) 1 – 9x² = (3x + 1)².

c) x²(x + 8) + x² = –8x.

d) x² – 6x + 8 = 0.

Hướng dẫn giải

a) (x – 3)² = (3 + x)²

(x – 3) – (3 + x)² = 0

(x – 3 + 3 + x)(x – 3 – 3 – x) = 0

2x.(–6) = 0

2x = 0

x = 0.

Vậy x = 0.

b) 1 – 9x² = (3x + 1)²

(1 – 3x)(1 + 3x) – (3x + 1)² = 0

(3x + 1)(1 – 3x – 3x – 1) = 0

(3x + 1)(–6x) = 0

Suy ra 3x + 1 = 0 hoặc –6x = 0

3x = –1 hoặc x = 0

$x=-\frac{1}{3}$ hoặc x = 0.

Vậy .

c) x²(x + 8) + x² = –8x

x²(x + 8) + x² + 8x = 0

x²(x + 8) + x(x + 8) = 0

(x + 8)(x² + x) = 0

(x + 8).x.(x + 1) = 0

Suy ra x + 8 = 0 hoặc x = 0 hoặc x + 1 = 0

x = – 8 hoặc x = 0 hoặc x = –1.

Vậy x ∈ {–8; 0; –1}.

d) x² – 6x + 8 = 0.

x² – 2x – 4x + 8 = 0

x(x – 2) – 4(x – 2) = 0

(x – 2)(x – 4) = 0

Suy ra x – 2 = 0 hoặc x – 4 = 0

x = 2 hoặc x = 4.

Vậy x ∈ {2; 4}.

Bài 4.Cho x > 0. Tìm độ dài cạnh hình vuông có diện tích bằng 36x² + 60x + 25.

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh hình vuông là a (a > 0)

Khi đó diện tích hình vuông là a²

Tức là 36x² + 60x + 25= a².

Ta sẽ phân tích đa thức 36x² + 60x + 25thành nhân tử có dạng a².

Ta có:

36x² + 60x + 25 = (6x)² + 2 . 6x . 5 + 5² = (6x + 5)²

Suy ra a² = (6x + 5)²

Do đó a = 6x + 5

Vậy độ dài cạnh hình vuông có diện tích bằng 36x² + 60x + 25 là 6x + 5.