Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 5: Phân thức đại số

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 5: Phân thức đại số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 5: Phân thức đại số

A. Lý thuyết

1. Phân thức đại số

– Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ , trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức không.

– A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Chú ý: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1.

Ví dụ 1. Chỉ ra các phân thức trong các biểu thức sau:

$\frac{x+1}{x-1};\frac{xyz}{x^2+y-z^3};\frac{\sqrt{2x}}{y};\sqrt{3}+x;x^5+2{\text{x}}^2-3.$

Hướng dẫn giải.

Trong các biểu thức trên có $\frac{x+1}{x-1};\frac{xyz}{x^2+y-z^3};\sqrt{3}+x;x^5+2{\text{x}}^2-3$ là phân thức.

Biểu thức $\frac{\sqrt{2\text{x}}}{y}$ không phải là phân thức vì $\sqrt{2\text{x}}$ không phải là đa thức.

– Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để mẫu thức B khác 0.

Khi thay các biến của phân thức đại số bằng các giá trị nào đó (thỏa mãn điều kiện xác định), ta nhận được một biểu thức số. Giá trị của biểu thức này được gọi là giá trị của phân thức đại số tại các giá trị đã cho của biến.

Ví dụ 2. Cho các phân thức $A=\frac{3x^2+1}{x-1}$ và $B=\frac{x+y}{x-y}$

a) Viết điều kiện xác định của phân thức A và B.

b) Tính giá trị của phân thức A tại x = 0.

c) Tính giá trị của phân thức B tại x = 0, y = 1 và tại x = –2 và y = –2.

Hướng dẫn giải.

a) Điều kiện xác định của phân thức A là x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1.

Điều kiện xác định của phân thức B là x – y ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn x – y ≠ 0).

b) Khi x = 0 (thỏa mãn điều kiện xác định), ta có $A=\frac{{3.0}^2+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1.$

c) Khi x = 0 và y = 1 thì x – y = –1 ≠ 0 thỏa mãn điều kiện xác định, ta có: $B=\frac{0+1}{-1}=-1$

Khi x = –2 và y = –2 thì x – y = 0 nên điều kiện xác định không được thỏa mãn.

Vậy giá trị của phân thức B tại x = –2 và y = –2 không xác định.

Ví dụ 3. Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:

a) $\frac{x^2+1}{x^2-1}$;

b) $\frac{5x-1}{x-2y}$

Hướng dẫn giải.

a) Phân thức $\frac{x^2+1}{x^2-1}$ xác định khi x² – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1 và x ≠ – 1.

b) Phân thức $\frac{5x-1}{x-2y}$ xác định khi x – 2y ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn x – 2y ≠ 0).

2. Hai phân thức bằng nhau

Ta nói hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ bằng nhau nếu A . D = B . C. Khi đó, ta viết $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}.$

Ví dụ 4. Hai phân thức $X=\frac{a}{2\text{a}+1}$ và $Y=\frac{2{\text{a}}^2-a}{4{\text{a}}^2-1}$ có bằng nhau không? Tại sao?

Hướng dẫn giải.

Ta có:

•a.(4a² – 1) = 4a³ – a;

•(2a + 1).(2a² – a) = 2a(2a² – a) + 1(2a² – a) = 4a³ – 2a² + 2a² – a = 4a³ – a.

Do đó a . (4a² – 1) = (2a + 1) . (2a² – a)

Vậy $\frac{a}{2\text{a}+1}=\frac{2{\text{a}}^2-a}{4{\text{a}}^2-1}$, hay X = Y.

3. Tính chất cơ bản của phân thức

– Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A.C}{B.C}$      (C là một đa thức khác đa thức không).

– Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A\text{: D}}{B\text{: D}}$      (D là một nhân tử chung của A và B).

Ví dụ 5.Dùng tính chất cơ bản của phân thức hãy giải thích vì sao hai phân thức bằng nhau:

a) $\frac{x^{2}y}{x^{2}y+x{y}^2}=\frac{x}{x+y}$;

b) $\frac{-115{\text{x}}^{3}y{z}^2}{530xyz}=\frac{-23x^{2}z}{106}$.

Hướng dẫn giải.

a) $\frac{x^{2}y}{x^{2}y+x{y}^2}=\frac{x.xy}{xy\left(x+y\right)}=\frac{x}{x+y}$;

b) $\frac{-115{\text{x}}^{3}y{z}^2}{530xyz}=\frac{-\mathrm{23.5.}x.x^2.y.z.z}{\mathrm{106.5.}x.y.z}=\frac{-23x^{2}z}{106}$.

Nhận xét: Ở Ví dụ 5, các phân thức bên phải đều đơn giản hơn các phân thức bên trái. Ta gọi các phép biến đổi ở trên là rút gọn phân thức.

Chú ý: Để rút gọn phân thức, ta thường thực hiện như sau:

+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Ví dụ 6. Rút gọn phân thức $A=\frac{15\text{x}\left(x^3+y^3\right)}{5\left(x^{3}y-x^2{y}^2+x{y}^3\right)}$.

Hướng dẫn giải.

Ta có

B. Bài tập tự luyện

Bài 1.Trong các biểu thức sau biểu thức nào là phân thức?

$\frac{\sqrt{x}-2}{2\text{x}+3};\frac{x+y}{x-y};3{\text{x}}^2-x+5.$

Hướng dẫn giải

Trong các biểu thức trên có $\frac{x+y}{x-y};3{\text{x}}^2-x+5$là phân thức.

Biểu thức $\frac{\sqrt{\text{x}}-2}{2\text{x}+3}$không phải là phân thức vì $\sqrt{\text{x}}$không phải là đa thức.

Bài 2.Viết điều kiện xác định của các phân thức sau:

a) x² + 3y – 1;

b) $\frac{2\text{x}+7}{5\text{x}-15}$

Hướng dẫn giải

a) Phân thức x² + 3y – 1 xác định với mọi giá trị của x.

b) Phân thức $\frac{2\text{x}+7}{5\text{x}-15}$xác định khi 5x – 15 ≠ 0 hay x ≠ 3.

Bài 3.Tìm giá trị của phân thức:

a) $\text{A}=\frac{2\text{x}-y}{4x^2-y^2}$ tại x = 5, y = 2;

b) $B=\frac{6{\text{x}}^2+12x+6}{x+1}$ tại x = 3.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phân thức A là 4x² – y² ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn 4x² – y² ≠ 0)

Ta có

Khi x = 5, y = 2 thì 4x² – y² = 96 ≠ 0 thỏa mãn điều kiện xác định nên ta có:

$A=\frac{1}{2.5+2}=\frac{1}{12}.$

b) Điều kiện xác định của phân thức B là x + 1 ≠ 0 hay x ≠ – 1.

Ta có

Khi x = 3 (thỏa mãn điều kiện xác định), ta có:

B = 6 . (3 + 1) = 6 . 4 = 24.

Bài 4.Hai phân thức $\frac{a^{3}b+a{b}^3}{ab(a-b)}$ và $\frac{a^2+b^2}{a-b}$ có bằng nhau không?

Hướng dẫn giải

Ta có:

•(a³b + ab³) . (a – b) = a³b(a – b) + ab³(a – b) = a⁴b – a³b² + a²b³ – ab⁴

•ab(a – b) . (a² + b²) = (a²b – ab²) . (a² + b²)

= a²b(a² + b²) – ab²(a² + b²)

= a⁴b + a²b³ – a³b² – ab⁴

Do đó (a³b + ab³) . (a – b) = ab(a – b) . (a² + b²)

Vậy $\frac{a^{3}b+a{b}^3}{ab(a-b)}=\frac{a^2+b^2}{a-b}.$

Bài 5.Rút gọn phân thức sau:

a) $\frac{6\text{a}{b}^3{c}^2}{12{\text{a}}^{2}bc}$.

b) $\frac{5{\text{x}}^5-5\text{x}}{x^2+1}$.

Hướng dẫn giải