Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông
Haylamdo biên soạn và sưu tầm tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.
Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông
A. Lý thuyết
1. Hình chữ nhật
1.1. Định nghĩa hình chữ nhật
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
Hình chữ nhật ABCD có .
1.2. Tính chất của hình chữ nhật
Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là hình thang cân và cũng là hình bình hành nên có tất cả các tính chất của hình thang cân, hình bình hành.
Định lí:
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD, AC cắt BD tại L. Hãy chỉ ra các đoạn thẳng bằng nhau có trong hình.
Hướng dẫn giải
Hình chữ nhật ABCD có:
– Các cặp cạnh đối bằng nhau: AD = BC; AB = CD.
– Hai đường chéo bằng nhau nên: AC = BD.
– Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên: LA = LC = LB = LD.
1.3. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật
Ta có các dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình chữ nhật như sau:
(1) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
(2) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Chú ý:
– Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
– Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
Ví dụ 2. Cho tam giác BAD có đường trung tuyến AE (E ∈ BD) sao cho . Trên tia đối của tia EA lấy điểm C sao cho EC = EA. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải
Tam giác ABD có đường trung tuyến AE nên E là trung điểm của BD.
Lại có EC = EA nên E là trung điểm của AC.
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Lại có và nên BD = AC
Hình bình hành ABCD có hai đường chéo BD và AC bằng nhau nên là hình chữ nhật.
2. Hình vuông
2.1. Định nghĩa hình vuông
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.
Hình vuông ABCD có và AB = BC = CD = DA.
2.2. Tính chất của hình vuông
Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD, AC cắt BD tại E. Hãy chỉ ra các đoạn thẳng bằng nhau trong hình.
Hướng dẫn giải
Vì hình vuông có đầy đủ các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi nên ta có:
– Bốn cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = AD.
– Hai đường chéo bằng nhau: AC = BD.
– Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường: EA = EC = EB = ED.
2.3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông
Ta có dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình vuông như sau:
(1) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
(2) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
(3) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
Chú ý:
– Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
– Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Ví dụ 4. Trong các hình chữ nhật dưới đây hình nào là hình vuông? Hình chữ nhật nào không phải là hình vuông? Tại sao?
Hướng dẫn giải
Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông ta có:
– Hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC vuông góc với BD tại E nên là hình vuông.
– Hình chữ nhật FIGH có hay đường chéo FH là đường phân giác của nên hình chữ nhật FIGH là hình vuông.
– Hình chữ nhật JKLM có JK ≠ JM. Vì hai cạnh kề JK và JM không bằng nhau nên hình chữ nhật JKLM không phải là hình vuông.
– Hình chữ nhật ONQP có hai cạnh kề nhau ON = QN nên là hình vuông.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1.Cho tam giác ADC vuông tại D có đường trung tuyến DE (E ∈ AC). Trên tia đối của tia ED lấy điểm B sao cho EB = ED.
a) Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
b) Biết AD = 5 dm, DC = 4 dm. Tính chu vi tứ giác ABCD.
Hướng dẫn giải
a) Vì DE là đường trung tuyến của tam giác ADC nên E là trung điểm của AC
Vì EB = ED nên E là trung điểm của BD
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.
Theo giả thiết, ta có nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
b) Chu vi hình chữ nhật ABCD là: (5 + 4) . 2 = 18 (dm).
Bài 2.Cho và tia phân giác Om. Lấy điểm A bất kì trên tia Om. Kẻ AB, AC lần lượt vuông góc với Ox, Oy. Chứng minh OBAC là hình vuông.
Hướng dẫn giải
Ta có: AB ⊥ Ox, AC ⊥ Oy nên .
Lại có nên tứ giác OBAC có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Mà A nằm trên tia phân giác Om của nên OA là tia phân giác của
Do đó hình chữ nhật OBAC là hình vuông.
Bài 3. Cho hình vuông FIHG. Trên các cạnh FI, IH, HG, GF lần lượt lấy các điểm J, M, N, K sao cho FJ = IM = HN = GK.
a) Chứng minh các tam giác KFJ, JIM, MHN và KNG bằng nhau.
b) Tứ giác KJMN là hình gì? Tại sao?
Hướng dẫn giải
a) Vì FIHG là hình vuông nên và FI = IH = HG = GF (1)
Theo giả thiết: FJ = IM = HN = GK (2)
Từ (1) và (2) suy ra: JI = MH = NG = KF
Xét ∆KFJ và ∆JIM có:
FJ = IM (giả thiết);
KF = JI (chứng minh trên)
Do đó DKFJ = DJIM (hai cạnh góc vuông)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
∆JIM = ∆MHN; ∆MHN = ∆NGK (hai cạnh góc vuông).
Vậy ∆KFJ = ∆JIM = ∆MHN = ∆NGK.
b) Theo câu b, ∆KFJ = ∆JIM nên KJ = JM (hai cạnh tương ứng).
Tương tự, JM = MN, MN = NK
Suy ra KJ = JM = MN = KN.
Do đó tứ giác KJMN là hình thoi.
Do DKFJ = DJIM (theo câu b) nên (hai góc tương ứng)
Mà (hai góc nhọn trong tam giác vuông KFJ)
Suy ra
Lại có , nên
Hình thoi KJMN có nên là hình vuông.
Bài 4. Cho DABC nhọn có AB < AC. Gọi N là trung điểm của AC. Lấy điểm D trên tia BN sao cho ND = NB.
a) Chứng minh ABCD là hình bình hành.
b) Kẻ AP ⊥ BC, CQ ⊥ AD. Chứng minh P, N, Q thẳng hàng.
c) DABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ABCD là hình vuông?
Hướng dẫn giải
a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên là hình bình hành.
b) Ta có: AP ⊥ BC, AQ // BC (do ACBD là hình bình hành)
Suy ra AP ⊥ AQ.
Tứ giác APCQ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Khi đó hai đường chéo AC, PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà N là trung điểm của AC nên N là trung điểm của PQ
Do đó P, N, Q thẳng hàng.
c) Để tứ giác ABCD là hình vuông thì cần AB ⊥ BC, AB = BC
Hay DABC vuông cân tại B.