Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 3 Chân trời sáng tạo

---

Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 3: Định lí Pythagore. Các loại tứ giác thường gặp sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết cùng các bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 8 Chương 3.

Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 3 Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết

1. Định lí Pythagore

1.1. Định lí Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài của cạnh huyền bằng tổng các bình phương độ dài của hai cạnh góc vuông.

GT	∆ABC, $\hat{A}=90°$
KL	BC2 = AB2 + AC2

1.2. Định lí Pythagore đảo

Nếu một tam giác có bình phương độ dài của một cạnh bằng tổng các bình phương độ dài của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

GT	∆ABC, BC2 = AB2 + AC2
KL	$\hat{A}=90°$

1.3. Vận dụng định lí Pythagore

Ta có thể vận dụng định lí Pythagore để tính nhiều yếu tố khoa học và đời sống như tính độ dài đoạn thẳng, khoảng cách giữa hai điểm, chiều dài, chiều cao của vật, …

2. Tứ giác

2.1. Tứ giác

a) Tứ giác

Định nghĩa tứ giác:

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Đỉnh và cạnh của tứ giác:

– Tứ giác ABCD còn được gọi là tứ giác ADCB, BADC, BCDA, CBAD, CDAB, DCBA, DABC.

– Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh.

– Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA gọi là các cạnh.

b) Tứ giác lồi

Định nghĩa tứ giác lồi:

Tứ giác lồi là tứ giác có luôn nằm trong cùng một phần mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

Chú ý: Từ nay, khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.

Cạnh, góc, đường chéo của tứ giác

Trong một tứ giác:

a) Hai cạnh kề nhau là hai cạnh có chung một đỉnh.

b) Hai cạnh kề nhau tạo thành một góc của tứ giác.

c) Hai cạnh đối nhau là hai cạnh không có chung đỉnh nào.

d) Hai đỉnh đối nhau là hai đỉnh không cùng nằm trên một cạnh.

e) Đường chéo của đoạn thẳng nối hai đỉnh với nhau.

Ví dụ. Cho hình vẽ dưới đây:

Trong tứ giác ABCD, có:

• BA và BC; AB và AD; CB và CD; DA và DC là các cặp cạnh kề nhau.

• các góc $\widehat{DAB},\widehat{ABC},\widehat{BCD},\widehat{CDA}$. Các cặp góc $\widehat{DAB}$ và $\widehat{BCD}$; $\widehat{ABC}$ và $\widehat{CDA}$ được gọi là cặp góc đối.

• AB và DC; AD và BC là các cặp cạnh đối nhau.

• Đỉnh A và C; đỉnh B và D là các cặp đỉnh đối nhau.

• AC và BD là hai đường chéo.

2.2. Tổng các góc của một tứ giác

Định lí:Tổng số đo các góc của một tứ giác bằng 360°.

3. Hình thang – Hình thang cân

3.1. Hình thang – Hình thang cân

Định nghĩa:

– Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hình 1là hình thang ABCD với AB // CD. Ta có:

+ Các đoạn thẳng AB, CD gọi là các cạnh đáy (hoặc đáy).

Nếu AB < CD thì AB gọi là đáy nhỏ, CD gọi là đáy lớn.

+ Các đoạn thẳng AD, BC gọi là các cạnh bên.

+ AE là đường vuông góc kẻ từ E đến đường thẳng CD, đoạn thẳng AE gọi là đường cao của hình thang ABCD.

– Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Hình 2 là hình thang cân DEFG với hai đáy là DE và FG có $\hat{D}=\hat{E}$; $\hat{F}=\hat{G}$.

–Hình thang có một góc vuông được gọi là hình thang vuông.

Hình 3 là hình thang vuông MNPK với hai đáy là MN và KP có $\hat{K}=90°$.

3.2. Tính chất của hình thang cân

Tính chất của hình thang cân:

Trong hình thang cân:

– Hai cạnh bên bằng nhau.

– Hai đường chéo bằng nhau.

Chú ý:Nếu một hình thang là hình thang cân thì nó có hai cạnh bên bằng nhau, nhưng một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì chưa chắc là hình thang cân.

3.3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

– Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

– Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

4. Hình bình hành

4.1. Định nghĩa hình bình hành

Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

ABCD là hình bình hành có AB // CD và AD // BC.

4.2. Tính chất của hình bình hành

Định lí:

Trong hình bình hành:

– Các cạnh đối bằng nhau.

– Các góc đối bằng nhau.

– Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

4.3. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Ta có các dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình bình hành như sau:

(1) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

(2) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

(3) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

(4) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

(5) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

5. Hình thoi

5.1. Định nghĩa hình thoi

Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

5.2. Tính chất của hình thoi

Nhận xét: Hình thoi cũng là hình bình hành nên hình thoi có đầy đủ tính chất của hình bình hành.

Định lí

Trong hình thoi:

– Hai đường chéo vuông góc với nhau.

– Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

5.3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Ta có dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình thoi như sau:

(1) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

(2) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

(3) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

6. Hình chữ nhật

6.1. Định nghĩa hình chữ nhật
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Hình chữ nhật ABCD có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90°$

6.2. Tính chất của hình chữ nhật

Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là hình thang cân và cũng là hình bình hành nên có tất cả các tính chất của hình thang cân, hình bình hành.

Định lí:

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

6.3. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

Ta có các dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình chữ nhật như sau:

(1) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

(2) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Chú ý:

– Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

– Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

7. Hình vuông

7.1. Định nghĩa hình vuông

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Hình vuông ABCD có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90°$và AB = BC = CD = DA.

7.2. Tính chất của hình vuông

Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

7.3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Ta có dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình vuông như sau:

(1) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

(2) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

(3) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

Chú ý:

– Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

– Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A.

a) Tính độ dài cạnh AB nếu biết BC = 20 dm, AC = 12 dm.

b) Tính độ dài cạnh AC nếu biết BC = 8 m, AB = $\sqrt{15}$ m.

c) Tính độ dài cạnh BC nếu biết AB = 12 cm, AC = 9 cm.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC²

a) AB² = BC² – AC² = 20² – 12² = 400 – 144 = 256 = 16².

Vậy cạnh AB dài 16 dm.

b) AC² = BC² – AB² = 8² – ${\left(\sqrt{15}\right)}^2$ = 64 – 15 = 49 = 7².

Vậy cạnh AC dài 7 m.

c) BC² = AB² + AC² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225 = 15².

Vậy cạnh BC dài 15 cm.

Bài 2. Chứng minh tam giác ABC vuông trong các trường hợp sau:

a) AB = 10 cm, AC = 8 cm, BC = 6 cm.

b) AB = 8 dm, AC = 15 dm, BC = 17 dm.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 10² = 8² + 6², suy ra AB² = AC² + BC².

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại C.

b) Ta có: 17² = 8² + 15², suy ra BC² = AB² + AC²

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

Bài 3. Hình dưới mô tả một cánh buồm có dạng tam giác vuông, được buộc vào cột buồm thẳng đứng, với độ dài hai cạnh góc vuông là 12 m và 5 m (hình vẽ).

a) Tính độ dài cạnh huyền của cánh buồm.

b) Vật liệu dùng để làm cánh buồm là vải. Tính diện tích vải dùng để làm một cánh buồm như vậy.

Hướng dẫn giải

a) Gọi x là độ dài cạnh huyền của cánh buồm.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông, ta có:

x² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13²

Vậy độ dài cạnh huyền của cánh buồm là 13 m.

b) Diện tích vải dùng để làm cánh buồm đó là: $\frac{5.12}{2}$ = 30 (m²).

Bài 4. Tính x trong mỗi hình sau:

Hướng dẫn giải

a) Theo định lí tổng các góc của một tứ giác, trong tứ giác ABCD có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}={360}^o$

Suy ra $x=\hat{A}={360}^o-\left(\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}\right)$

$x={360}^o-\left({60}^o+{60}^o+{120}^o\right)={360}^o-{240}^o={120}^o$

Vậy $x={120}^o$.

b) Theo định lí tổng các góc của một tứ giác, trong tứ giác EGHF có:

$\hat{E}+\hat{G}+\hat{H}+\hat{F}={360}^o$

Suy ra $x=\hat{H}={360}^o-\left(\hat{E}+\hat{G}+\hat{F}\right)$

$x={360}^o-\left({140}^o+{130}^o+{55}^o\right)={360}^o-{325}^o={35}^o$

Vậy $x={35}^o$.

Bài5.Tứ giác ABCD có $\hat{C}=50°$; $\hat{B}=60°$; $\hat{A}-\hat{B}=40°$. Tính số đo các góc A và D.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết:$\hat{A}-\hat{B}={40}^o$ nên $\hat{A}={40}^o+\hat{B}={40}^o+{60}^o={100}^o$

Theo định lí tổng các góc của một tứ giác, trong tứ giác ABCD có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}={360}^o$

Suy ra $\hat{D}={360}^o-\left(\hat{B}+\hat{C}+\hat{A}\right)$

$\hat{D}={360}^o-\left({60}^o+{50}^o+{100}^o\right)={360}^o-{210}^o={150}^o$

Vậy $\hat{A}={100}^o;\hat{D}={150}^o$.

Bài 6. Tính số đo các góc chưa biết của hình thang IJGH (IJ // GH) trong các trường hợp sau:

a) $\hat{H}=50°$, $\hat{J}=110°$.

b) IJGH là hình thang cân và $\hat{H}=30°$.

c) $\hat{H}=90°$, $\hat{G}=50°$.

Hướng dẫn giải

a)

Do IJ // GH nên ta có:

$\hat{I}+\hat{H}=180°$, suy ra $\hat{I}=180°-\hat{H}=180°-50°=130°$

$\hat{J}+\hat{G}=180°$, suy ra $\hat{G}=180°-\hat{J}=180°-110°=70°$

Vậy hình thang IJGH có: $\hat{I}=130°$; $\hat{G}=70°$.

b)

Hình thang cân IJGH (IJ // GH) có $\hat{I}=\hat{J}$ và $\hat{G}=\hat{H}=30°$ (tính chất hình thang cân).

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác, ta có:

$\hat{I}+\hat{J}+\hat{G}+\hat{H}=360°$

Suy ra $2\hat{I}=360°-2\hat{H}=360°-2.30°=300°$

Do đó $\hat{I}=\hat{J}=150°$.

Vậy hình thang cân IJGH có: $\hat{G}=30°$; $\hat{I}=\hat{J}=150°$.

c)

$\hat{H}=90°$ nên hình thang IJGH là hình thang vuông, suy ra $\hat{H}=\hat{I}=90°$

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác, ta có:

$\hat{J}=360°-\left(\hat{I}+\hat{G}+\hat{H}\right)=360°-\left(90°+50°+90°\right)=360°-230°=130°$

Vậy hình thang vuông IJGH có: $\hat{I}=90°$, $\hat{J}=130°$.

Bài 7. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Hai tia phân giác của A và B cắt nhau tại điểm K nằm trên cạnh đáy DC. Từ K kẻ đoạn thẳng KM vuông góc với AB tại M.

a) Chứng minh ∆ABK là tam giác cân.

b) Chứng minh AM = BM.

Hướng dẫn giải

a) Do AK là tia phân giác của $\hat{A}$ nên $\widehat{DAK}=\widehat{KAB}=\frac{\widehat{DAB}}{2}$.

BK là tia phân giác của $\hat{B}$ nên $\widehat{CBK}=\widehat{KBA}=\frac{\widehat{CBA}}{2}$

Mà ABCD là hình thang cân nên $\widehat{DAB}=\widehat{CBA}$ (tính chất hình thang cân).

Do đó $\widehat{KAB}=\widehat{KBA}$, suy ra ∆ABK là tam giác cân tại K.

b) Vì ∆ABK là tam giác cân nên KM là đường cao và cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy AB.

Do vậy M là trung điểm của AB nên AM = BM.

Bài 8. Cho tam giác cân EFG có EF = EG. Trên các cạnh EF và EG, lần lượt lấy các điểm H và I sao cho EH = EI.

a) Chứng minh HIGF là hình thang.

b) Chứng minh HIGF là hình thang cân.

Hướng dẫn giải

a) Ta có EH = EI nên ∆EHI là tam giác cân tại E.

Suy ra $\widehat{EHI}=\widehat{EIH}=\frac{180°-\hat{E}}{2}$ (1)

Lại có EF = EG nên ∆EFG là tam giác cân tại E.

Suy ra $\widehat{EFG}=\widehat{EGF}=\frac{180°-\hat{E}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{EHI}=\widehat{EFG}$.

Mà $\widehat{EHI}$ và $\widehat{EFG}$ ở vị trí đồng vị nên HI // FG (dấu hiệu nhận biết).

Suy ra tứ giác HIGF là hình thang.

b) Vì ∆EFG là tam giác cân nên $\hat{F}=\hat{G}$.

Suy ra hình thang HIGF là hình thang cân.

Bài 9. Cho hình thang ABCD (AD // BC) có AC = BD.

a) Hình thang ABCD là hình thang gì? Vì sao?

b) Chứng minh $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì hai đường chéo của hình thang ABCD là AC và BD bằng nhau nên hình thang ABCD là hình thang cân.

b) Theo tính chất hình thang cân, ta có: AB = DC

Xét ∆ABD và ∆DCA có:

AD là cạnh chung;

AB = DC;

BD = AC.

Suy ra ∆ABD = ∆DCA (c.c.c)

Do đó $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$ (hai cạnh tương ứng).

Bài 10. Hình bình hành ABCD có $\hat{B}=65°$. Tính các góc A, C, D.

Hướng dẫn giải

ABCD là hình bình hành nên ta có: $\hat{D}=\hat{B}=65°$ và $\hat{A}=\hat{C}$ (tính chất hình bình hành)

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$

Suy ra $2\hat{A}=360°-2\hat{B}=360°-2.65°=230°$

Do đó $\hat{A}=\hat{C}=\frac{230°}{2}=115°$

Vậy $\hat{A}=\hat{C}=115°$và $\hat{D}=65°$.

Bài 11. Cho tam giác GHJ cân tại G. Đường trung tuyến kẻ từ G của tam giác cắt HJ tại K. Lấy điểm I trên tia GK sao cho KG = KI. Chứng minh GHIJ là hình thoi.

Hướng dẫn giải

• Ta có GK là trung tuyến của tam giác GHJ nên K là trung điểm của HJ.

Do KG = KI nên K là trung điểm của GI.

Tứ giác GHIJ có hai đường chéo GI và HJ cắt nhau tại trung điểm K của mỗi đường nên là hình bình hành.

• ∆GHJ cân tại G nên đường trung tuyến GK đồng thời là đường cao tương ứng với cạnh HJ nên GI ⊥ HJ.

Hình bình hành GHIJ có hai đường chéo GI và HJ vuông góc với nhau nên là hình thoi.

Bài 12.Cho tam giác ADC vuông tại D có đường trung tuyến DE (E ∈ AC). Trên tia đối của tia ED lấy điểm B sao cho EB = ED.

a) Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?

b) Biết AD = 5 dm, DC = 4 dm. Tính chu vi tứ giác ABCD.

Hướng dẫn giải

a) Vì DE là đường trung tuyến của tam giác ADC nên E là trung điểm của AC

Vì EB = ED nên E là trung điểm của BD

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.

Theo giả thiết, ta có $\widehat{ADC}=90°$nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

b) Chu vi hình chữ nhật ABCD là: (5 + 4) . 2 = 18 (dm).

Bài 13. Cho hình bình hành MNPQ (MQ < MN). Từ M kẻ đường phân giác của $\widehat{QMN}$ cắt QP tại E, từ P kẻ đường phân giác của $\widehat{NPQ}$ cắt MN tại F.

a) Chứng minh ∆MQE là tam giác cân.

b) Tứ giác MEPF là hình gì? Tại sao?

Hướng dẫn giải

a) Ta có MNPQ là hình bình hành nên MN // PQ

Do đó $\widehat{QEM}=\widehat{EMN}$ (so le trong).

ME là đường phân giác của $\widehat{QMN}$ nên $\widehat{QME}=\widehat{EMN}$

Suy ra $\widehat{QEM}=\widehat{QME}$

Vậy tam giác MQE là tam giác cân tại Q.

b) Do ME là đường phân giác của $\widehat{QMN}$ nên $\widehat{QME}=\widehat{EMN}=\frac{1}{2}\widehat{QMN}$

Do PF là đường phân giác của $\widehat{NPQ}$ nên $\widehat{NPF}=\widehat{QPF}=\frac{1}{2}\widehat{NPQ}$

Mà $\widehat{QMN}=\widehat{NPQ}$ (hai góc đối của hình bình hành)

Suy ra $\widehat{EMN}=\widehat{QPF}$ hay $\widehat{EMF}=\widehat{EPF}$

Mặt khác, MN // PQ nên $\widehat{EMF}=\widehat{MEQ}$ (so le trong)

Do đó $\widehat{MEQ}=\widehat{EPF}$, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên ME // PF

Xét tứ giác MEPF có ME // PF và MF // PE nên là hình bình hành.

Bài 14.Cho $\widehat{xOy}=90°$ và tia phân giác Om. Lấy điểm A bất kì trên tia Om. Kẻ AB, AC lần lượt vuông góc với Ox, Oy. Chứng minh OBAC là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có: AB ⊥ Ox, AC ⊥ Oy nên $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90°$.

Lại có $\widehat{xOy}=90°$ nên tứ giác OBAC có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Mà A nằm trên tia phân giác Om của $\widehat{xOy}$ nên OA là tia phân giác của $\widehat{BOC}$

Do đó hình chữ nhật OBAC là hình vuông.

Bài 15. Cho hình thoi ABCD có B là góc tù. Từ B hạ BM ⊥ AD, BN ⊥ CD. Từ D hạ DP ⊥ AB, DQ ⊥ BC. Gọi H là giao điểm của MB và PD, K là giao điểm của BN và DQ, O là giao điểm của AC và BD.

a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABD.

b) Chứng minh A, H, K, C thẳng hàng.

c) Chứng minh $\widehat{PDQ}=\widehat{MBN}$.

d) Chứng minh $\widehat{PHM}=\widehat{QKN}$.

e) Chứng minh tứ giác BHDK là hình thoi.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABD có hai đường cao BM, DP cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác.

b) ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD tại O, do đó A, O, C thẳng hàng (1)

Do H là trực tâm của DABD suy ra AH ⊥ BD tại O nên H ∈ AO (2)

Chứng minh tương tự câu a ta có K là trực tâm DBCD

Suy ra CK ⊥ BD tại O nên K ∈ CO (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A, H, K, C thẳng hàng.

c) Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường

Suy ra AC là đường trung trực của BD

Do đó HB = HD nên DHBD cân tại H, suy ra ${\hat{B}}_1={\hat{D}}_1$

Tương tự, ${\hat{B}}_2={\hat{D}}_2$

Suy ra ${\hat{B}}_1+{\hat{B}}_2={\hat{D}}_1+{\hat{D}}_2$ hay $\widehat{MBN}=\widehat{PDQ}$.

d) ABCD là hình thoi nên $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$

Tứ giác APHM có $\widehat{PHM}=360°-90°-90°-\widehat{BAD}$

Tứ giác CQKN có $\widehat{QKN}=360°-90°-90°-\widehat{BCD}$

Suy ra $\widehat{PHM}=\widehat{QKN}$.

e) Ta có: ${\hat{A}}_1+{\hat{H}}_2=90°$ và ${\hat{C}}_1+{\hat{K}}_2=90°$

Mà ${\hat{A}}_1={\hat{C}}_1$ nên ${\hat{H}}_2={\hat{K}}_2$

Lại có ${\hat{H}}_1={\hat{H}}_2$ (đối đỉnh) và ${\hat{K}}_1={\hat{K}}_2$ (đối đỉnh) nên ${\hat{H}}_1={\hat{K}}_1$

Suy ra DBHK cân tại B, nên BH = BK

Mà BH = DH và BK = DK nên BH = HD = CK = KB

Suy ra tứ giác BHDK là hình thoi.

Bài 16. Cho hình vuông FIHG. Trên các cạnh FI, IH, HG, GF lần lượt lấy các điểm J, M, N, K sao cho FJ = IM = HN = GK.

a) Chứng minh các tam giác KFJ, JIM, MHN và KNG bằng nhau.

b) Tứ giác KJMN là hình gì? Tại sao?

Hướng dẫn giải

a) Vì FIHG là hình vuông nên $\widehat{KFI}=\widehat{FIH}=\widehat{IHG}=\widehat{HGK}=90°$ và FI = IH = HG = GF (1)

Theo giả thiết: FJ = IM = HN = GK (2)

Từ (1) và (2) suy ra: JI = MH = NG = KF

Xét ∆KFJ và ∆JIM có:

$\widehat{KFJ}=\widehat{JIM}=90°$;

FJ = IM (giả thiết);

KF = JI (chứng minh trên)

Do đó DKFJ = DJIM (hai cạnh góc vuông)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

∆JIM = ∆MHN; ∆MHN = ∆NGK (hai cạnh góc vuông).

Vậy ∆KFJ = ∆JIM = ∆MHN = ∆NGK.

b) Theo câu b, ∆KFJ = ∆JIM nên KJ = JM (hai cạnh tương ứng).

Tương tự, JM = MN, MN = NK

Suy ra KJ = JM = MN = KN.

Do đó tứ giác KJMN là hình thoi.

Do DKFJ = DJIM (theo câu b) nên $\widehat{JKF}=\widehat{MJI}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{KJF}+\widehat{JKF}=90°$ (hai góc nhọn trong tam giác vuông KFJ)

Suy ra $\widehat{KJF}+\widehat{MJI}=90°$

Lại có $\widehat{KJF}+\widehat{KJM}+\widehat{MJI}=180°$, nên $\widehat{KJM}=90°$

Hình thoi KJMN có $\widehat{KJM}=90°$ nên là hình vuông.

Bài 17. Cho DABC nhọn có AB < AC. Gọi N là trung điểm của AC. Lấy điểm D trên tia BN sao cho ND = NB.

a) Chứng minh ABCD là hình bình hành.

b) Kẻ AP ⊥ BC, CQ ⊥ AD. Chứng minh P, N, Q thẳng hàng.

c) DABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ABCD là hình vuông?

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Ta có: AP ⊥ BC, AQ // BC (do ACBD là hình bình hành)

Suy ra AP ⊥ AQ.

Tứ giác APCQ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo AC, PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà N là trung điểm của AC nên N là trung điểm của PQ

Do đó P, N, Q thẳng hàng.

c) Để tứ giác ABCD là hình vuông thì cần AB ⊥ BC, AB = BC

Hay DABC vuông cân tại B.