Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 1 Chân trời sáng tạo

---

Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 1: Biểu thức đại số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết cùng các bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 8 Chương 1.

Tổng hợp Lý thuyết Toán 8 Chương 1 Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết

1. Đơn thức và đa thức nhiều biến

1.1. Đơn thức và đa thức

– Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

– Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Chú ý:

• Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức (chỉ chứa một hạng tử).

• Số 0 được gọi đơn thức không, cũng gọi là đa thức không.

1.2. Đơn thức thu gọn

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến chỉ xuất hiện một lần dưới dạng nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Thừa số là một số nói trên được gọi là hệ số, tích của các thừa số còn lại phần biến của đơn thức thu gọn.

Chú ý 1:

• Tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức (có hệ số khác 0) gọi là bậc của đơn thức đó.

• Ta coi một số khác 0 là đơn thức thu gọn, có hệ số bằng chính số đó và có bậc bằng 0.

• Đơn thức không (số 0) không có bậc.

• Khi viết đơn thức thu gọn ta thường viết hệ số trước, phần biến sau và các biến được viết theo thứ tự bảng chữ cái.

Chú ý 2:

• Để thu gọn một đơn thức, ta nhóm các thừa số là các số rồi tính tích của chúng, nhóm các thừa số cùng một biến rồi viết tích của chúng thành lũy thừa của biến đó.

• Từ nay, khi nói đến đơn thức, nếu không nói gì thêm, ta hiểu đó là đơn thức thu gọn.

1.3. Cộng, trừ đơn thức đồng dạng

– Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

– Để cộng, trừ (hay tìm tổng, hiệu) hai đơn thức đồng dạng, ta cộng, trừ hệ số của chúng và giữ nguyên phần biến.

1.4. Đa thức thu gọn

Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai hạng tử nào đồng dạng.

Chú ý:

• Biến đổi một đa thức thành đa thức thu gọn gọi là thu gọn đa thức đó.

• Để thu gọn một đa thức, ta nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau và cộng các hạng tử đồng dạng đó với nhau.

• Bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức gọi là bậc của đa thức đó.

2. Các phép toán với đa thức nhiều biến

2.1. Cộng, trừ hai đa thức

Muốn cộng, trừ hai đa thức ta làm như sau:

– Viết hai đa thức trong ngoặc và nối với nhau bằng dấu cộng “+” hay trừ “–”.

– Bỏ dấu ngoặc rồi thu gọn đa thức thu được.

2.2. Nhân hai đa thức

2.2.1. Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các lũy thừa cùng biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau.

2.2.2. Nhân hai đa thức

– Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

–Để nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.

2.3. Chia đa thức cho đơn thức

2.3.1. Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (với A chia hết cho B), ta làm như sau:

– Chia hệ số của A cho hệ số của B.

– Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

– Nhân các kết quả tìm được với nhau.

2.3.2. Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó, rồi cộng các kết quả tìm được với nhau.

3. Hằng đẳng thức

– Hai biểu thức (đại số) A và B có giá trị bằng nhau với bất kì giá trị nào của các biến thì ta nói hai biểu thức A và B bằng nhau hoặc đồng nhất với nhau.

Ta viết A = B, là một đồng nhất thức hoặc hằng đẳng thức.

3.1. Bình phương của một tổng

– Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

(A + B)² = A² + 2AB + B².

3.2. Bình phương của một hiệu

– Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

(A – B)² = A² – 2AB + B².

3.3. Hiệu của hai bình phương

Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

A² – B² = (A – B)(A + B).

3.4. Lập phương của một tổng

Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

3.5. Lập phương của một hiệu

Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³.

3.6. Tổng của hai lập phương

Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²).

3.7. Hiệu của hai lập phương

Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²).

=> CHÚ Ý: Các hằng đẳng thức ở trên được sử dụng thường xuyên trong các biến đổi đại số nên ta gọi chúng là các hằng đẳng thức đáng nhớ.

4. Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành một tích của những đa thức. Mỗi đa thức này gọi là một nhân tử của đa thức đã cho.

4.1. Phương pháp đặt nhân tử chung

• Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

• Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho

nhân tử chung.

4.2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

• Tùy trường hợp ta có thể sử dụng những hằng đẳng thức khác nhau để phân tích một đa thức thành nhân tử.

•Cần vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để phù hợp với các nhân tử.

4.3. Phương pháp nhóm hạng tử

•Ta ghép các hạng tử của đa thức thành các nhóm để làm xuất hiện nhân tử chung.

• Tiếp theo, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa cho thành nhân tử.

Chú ý:

+ Có thể sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp để nhóm các số hạng của đa thức một cách linh hoạt (một đa thức có thể có nhiều cách nhóm hạng tử).

+ Khi phân tích đa thức thành nhân tử, ta phải phân tích triệt để đến khi không phân tích được nữa.

+ Khi nhóm các hạng tử của đa thức cần chú ý đến dấu của mỗi số hạng trong đa thức.

5. Phân thức đại số

5.1. Phân thức đại số

– Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ , trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức không.

– A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Chú ý: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1.

– Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để mẫu thức B khác 0.

Khi thay các biến của phân thức đại số bằng các giá trị nào đó (thỏa mãn điều kiện xác định), ta nhận được một biểu thức số. Giá trị của biểu thức này được gọi là giá trị của phân thức đại số tại các giá trị đã cho của biến.

5.2. Hai phân thức bằng nhau

Ta nói hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ bằng nhau nếu A . D = B . C.

Khi đó, ta viết $\frac{A}{B}$ = $\frac{C}{D}$

5.3. Tính chất cơ bản của phân thức

– Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A.C}{B.C}$ (C là một đa thức khác đa thức không).

– Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A\text{: D}}{B\text{: D}}$ (D là một nhân tử chung của A và B).

Chú ý: Để rút gọn phân thức, ta thường thực hiện như sau:

+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

6. Các phép toán với phân thức

6.1. Cộng, trừ phân thức

6.1.1. Cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu

Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng (hoặc trừ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

$\frac{A}{B}+\frac{C}{B}=\frac{A+C}{B};$

$\frac{A}{B}-\frac{C}{B}=\frac{A-C}{B}.$

Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp tương tự như đối với phân số.

6.1.2. Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu

Nhận xét:

• Quy đồng mẫu thức hai phân thức là biến đổi hai phân thức đã cho thành hai phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng hai phân thức đã cho.

•Mẫu thức của hai phân thức mới đó gọi là mẫu thức chung của hai phân thức đã cho.

Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu

Muốn cộng, trừ hai phân thức khác mẫu thức, ta thực hiện các bước:

+ Quy đồng mẫu thức:

+ Cộng, trừ các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

Chú ý 1: Cho hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$.

• Ta có $\frac{A}{B}=\frac{A.D}{B.D}$ và $\frac{C}{D}=\frac{C.B}{D.B}$.

• Nếu D là một nhân tử của B (B = D . P với P là một đa thức) thì lấy mẫu thức chung là B. Khi đó, ta quy đồng mẫu thức:

$\frac{C}{D}=\frac{C.\text{P}}{D.\text{P}}=\frac{C.\text{P}}{B}$ (giữ nguyên phân thức $\frac{A}{B}$).

(Tương tự cho trường hợp B là một nhân tử của D).

• Nếu B và D có nhân tử chung là E (B = E . M, D = E . N với M và N là những đa thức) thì lấy mẫu thức chung là E . M . N. Khi đó, ta quy đồng mẫu thức:

$\frac{A}{B}=\frac{A.\text{N}}{B.\text{N}}=\frac{A.N}{E.M.N}$ và $\frac{C}{D}=\frac{C.\text{M}}{D.\text{M}}=\frac{C.\text{M}}{\text{E}.\text{N . M}}=\frac{C.\text{M}}{\text{E}.\text{M . N}}$.

Chú ý 2:

• Phép cộng các phân thức cũng có tính chất giao hoán, kết hợp:

$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B}$ và $\left(\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\right)+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{F}\right).$

Nhờ tính chất kết hợp, trong một dãy phép cộng nhiều phân thức, ta không cần đặt dấu ngoặc.

•Hai phân thức đối nhau khi tổng của chúng bằng 0.

Phân thức đối của $\frac{A}{B}$ kí hiệu là $-\frac{A}{B}$. Tương tự như với phân số, ta có tính chất:

$-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}.$

• Phép trừ phân thức có thể chuyển thành phép cộng với phân thức đối:

6.2. Nhân hai phân thức

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A.C}{B.D}.$

Cũng tương tự phép nhân phân số, phép nhân các phân thức có các tính chất sau:

+ Tính chất giao hoán:

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{C}{D}.\frac{A}{B}.$

+ Tính chất kết hợp:

+ Tính chất phân phối đối với phép cộng:

6.3. Chia hai phân thức

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$cho phân thức $\frac{C}{D}$(C khác đa thức không), ta nhân phân thức $\frac{A}{B}$ với phân thức $\frac{C}{D}$ .

$\frac{A}{B}\text{:}\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\text{.}\frac{D}{C}.$

Nhận xét: Phân thức $\frac{D}{C}$ được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{A}{B}$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1.Chỉ ra các đơn thức, đa thức trong các biểu thức sau:

$1+\frac{x}{y};2-x;3\text{x}yz;5\sqrt{x};x^{2}y;\frac{1}{3}+x^2+y.$

Hướng dẫn giải

Các đơn thức là: 3xyz; x²y.

Các đa thức gồm:

+ Các đơn thức 3xyz; x²y;

+ Đa thức $\frac{1}{3}+x^2+y$ và 2 – x.

Bài 2.Thu gọn các đơn thức sau, chỉ ra phần biến, hệ số của mỗi đơn thức đó.

$\frac{1}{3}x\frac{2}{3}y\frac{4}{3}x\text{z;}–5a^{3}b3cb.$

Hướng dẫn giải

Ta có

Đơn thức trên có hệ số là , bậc bằng 2 + 1 + 1 = 4;

•Ta có – 5a³b3cb = (–5 . 3)a³(b . b)c = – 15a³b²c

Đơn thức trên có hệ số là –15, bậc bằng 3 + 2 + 1 = 6.

Bài 3.Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức:

a) A = 2x⁵y + 7xy² – x⁵ + x⁵y – 10.

b) B = x²y² – 3xy² + 2x²y² + 5x²y.

Hướng dẫn giải

a) A = 2x⁵y + 7xy² – x⁵ + x⁵y – 10

= (2x⁵y + x⁵y) + 7xy² – x⁵ – 10

= 3x⁵y + 7xy² – x⁵ – 10

Các hạng tử của A lần lượt có bậc là 6; 3; 5; 0

Do đó bậc của A bằng 6.

b) B = x²y² – 3xy² + 2x²y² + 5x²y

= (x²y² + 2x²y²) – 3xy² + 5x²y

= 3x²y² – 3xy² + 5x²y

Các hạng tử của B lần lượt có bậc là 4; 3; 3

Do đó bậc của A bằng 4.

Bài 4. Có hai bể hình hộp chữ nhật A (đầy nước) và B (bể rỗng) có các kích thước (đơn vị: mét) như hình vẽ.

a) Viết biểu thức biểu thị phần nước còn lại ở bể A sau khi đổ nước từ bể A sang bể B (coi phần nước bị đổ ra ngoài khi đổ từ bể A sang bể B không đáng kể).

b) Khi x = 0,2 (m) và y = 0,5 (m) thì trong bể A còn lại khoảng bao nhiêu lít nước (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hướng dẫn giải

a) Thể tích bể A là:

3x . 2y . 2x = (3 . 2 . 2)(x . x)y = 12x²y (m³).

Thể tích bể B là:

Phần nước còn lại ở bể A sau khi đổ nước từ bể A sang bể B là:

$12{\text{x}}^{2}y-\frac{8}{3}{\text{x}}^{2}y=\frac{28}{3}{\text{x}}^{2}y$(m³).

b) Thay x = 0,2 (m) và y = 0,5 (m) vào biểu thức $\frac{28}{3}{\text{x}}^{2}y$ta được:

Vậy trong bể A còn lại khoảng 186,7 lít nước.

Bài 5.Tính:

a) 5x – y + (x + 3y);

b) x² + 3y + 2xy² – (x + xy – xy² + 3x²y);

c) $\frac{3}{4}x+2\text{x}{y}^2-x^2{y}^2+\left(x-\frac{1}{2}y-3{\text{x}}^2{y}^2-1\right)$

d) xy(2x – 3y + xy – x² + 6);

e) (3x – y)(x²y + xy² + 1).

g) 15x⁵y² : (3x²y);

h) (x³y – 2xy² + 7x²y²) : (–xy).

Hướng dẫn giải

a) 5x – y + (x + 3y)

= 5x – y + x + 3y

= (5x + x) + (–y + 3y)

= 6x + 2y.

b) x² + 3y + 2xy² – (x + xy – xy² + 3x²)

= x² + 3y + 2xy² – x – xy + xy² – 3x²

= (x² – 3x²) + 3y + (2xy² + xy²) – x – xy

= –2x² + 3y + 3xy² – x – xy.

d) xy(2x – 3y + xy – x² + 6)

= xy . 2x – xy . 3y + xy . xy – xy . x² + xy . 6

= 2x²y – 3xy² + x²y² – x³y + 6xy.

e) (3x – y)(x²y + xy² + 1)

= 3x(x²y + xy² + 1) – y(x²y + xy² + 1)

= 3x . x²y + 3x . xy² + 3x . 1 – y . x²y– y . xy² – y . 1

= 3x³y + 3x²y² + 3x – x²y² – xy³ – y

= 3x³y + 2x²y² + 3x – xy³ – y.

g) 15x⁵y² : (3x²y) = (15 : 3) . (x⁵ : x²) . (y² : y) = 5x³y.

h) (x³y – 2xy² + 7x²y²) : (–xy)

= [x³y : (–xy)] + [–2xy² : (–xy)] + [7x²y² : (–xy)]

= – (x³ : x) . (y : y) + [–2 : (–1)] . (x : x) . (y² : y) + [7: (–1)] . (x² : x) . (y² : y)

= – x² + 2y – 7xy.

Bài 6.

a) Tính chiều dài của hình chữ nhật có diện tích bằng 15x² + 9xy và chiều rộng bằng 3x.

b) Tính cạnh còn thiếu của tam giác trong hình vẽ sau biết chu vi tam giác bằng 5x + 6y.

Hướng dẫn giải

a) Chiều dài của hình chữ nhật là:

(15x² + 9xy) : (3x)

= 15x² : 3x + 9xy : 3x

= (15 : 3) . (x² : x) + (9 : 3) . (xy : x)

= 5x + 3y.

b) Cạnh còn lại của tam giác là:

(5x + 6y) – (x + 2y) – (3x + y)

= 5x + 6y – x – 2y – 3x – y

= (5x – x – 3x) + (6y – 2y – y)

= x + 3y.

Bài 7.Viết các biểu thức sau thành đa thức

a) (3x + 7y)²;

b) (x – 5y)²;

c) (x – 3y)(x + 3y);

d) (2a – b)(4a² + 2ab + b²);

e) (a – 2)(a² + 4)(a + 2);

f) (a + 5b)(a² + 5ab + 25b²);

g) (–x + y)³;

h) (–x – xy)³.

Hướng dẫn giải

a) (3x + 7y)²

= (3x)² + 2 . 3x . 7y + (7y)²

= 9x² + 42xy + 49y²;

b) (x – 5y)²

= x² – 2 . x . 5 y + (5y)²

= x² – 10xy + 25y²;

c) (x – 3y)(x + 3y)

= x² – (3y)²

= x² – 9y².

d) (2a – b)(4a² + 2ab + b²)

= (2a – b)[(2a)² + 2a . b + b²]

= (2a – b)³;

e) (a – 2)(a² + 4)(a + 2)

= [(a – 2)(a + 2)](a² + 4)

= (a² – 4)(a² + 4)

= (a²)² – 4²

= a⁴ – 16;

f) (a + 5b)(a² + 5ab + 25b²)

= (a + 5b)[a² + a . 5b + (5b)²]

= (a + 5b)³.

g) (–x + y)³

= (–x)³ + 3.(–x)²y + 3(–x).y² + y³

= –x³ + 3x²y – 3xy² + y³.

h) (–x – xy)³

= (–x)³ – 3.(–x)²xy + 3.(–x).(xy)² – (xy)³

= –x³ – 3x³y – 3x³y² – x³y³.

Bài 8.Viết các biểu thức sau thành bình phương hoặc lập phương của một tổng hay một hiệu:

a) 9x² + 6x + 1;

b) $\frac{1}{4}{x}^2+xy+y^2$

c) x³ – 3x² + 3x – 1;

d) x³ + 9x²y + 27xy² + 27y³.

Hướng dẫn giải

a) 9x² + 6x + 1

= (3x)² + 2 . 3x . 1 + 1²

= (3x + 1)²;

c) x³ – 3x² + 3x – 1

= (x – 1)³;

d) x³ + 9x²y + 27xy² + 27y³

= x³ + 3.x².3y + 3.x.(3y)² + (3y)³

= (x + 3y)³.

Bài 9.Tính nhanh:

a) 98²;

b) 45 . 55;

c) 67² – 33².

Hướng dẫn giải

a) 98²

= (100 – 2)²

= 100² – 2 . 100 . 2 + 2²

= 10 000 – 400 + 4

= 9 604;

b) 45 . 55

= (50 – 5)(50 + 5)

= 50² – 5²

= 2 500 – 25

= 2 475;

c) 67² – 33²

= (67 – 33)(67 + 33)

= 34 . 100

= 3 400.

Bài 10.Cho x + y = 3, xy = 10. Tính:

a) A = x³ + y³;

b) B = (x – y)².

Hướng dẫn giải

a) A = x³ + y³

= (x + y)(x² – xy + y²)

= (x + y)(x² + 2xy + y² – 3xy)

= (x + y)[(x + y)² – 3xy]

Thay x + y = 3, xy = 10 vào biểu thức A ta có

A = 3 . (3² – 3 . 10) = 3 . (9 – 30) = 3 . (–21) = –63.

b) B = (x – y)²

= x² – 2xy + y²

= x² + 2xy + y² – 4xy

= (x + y)² – 4xy

Thay x + y = 3, xy = 10 vào biểu thức B ta có

B = 3² – 4 . 10 = 9 – 40 = –31.

Bài 11.Cho hình lập phương có cạnh bằng 3 cm. Thể tích hình lập phương sẽ tăng bao nhiêu nếu các cạnh đều tăng a cm?

Hướng dẫn giải

Thể tích hình lập phương là

V = 3 . 3 . 3 = 27 (cm³)

Khi các cạnh đều tăng thêm a cm thì độ dài các cạnh của hình lập phương là3 + a (cm)

Thể tích hình lập phương mới là

V = (3 + a)(3 + a)(3 + a)

= (3 + a)³

= 3³ + 3 . 3² . a + 3 . 3 . a² + a³

= a³ + 9a² + 27a + 27 (cm³)

Thể tích hình lập phương sẽ tăng thêm là

a³ + 9a² + 27a + 27 – 27 = a³ + 9a² + 27a (cm³)

Vậy thể tích hình lập phương sẽ tăng thêm a³ + 9a² + 27a cm³.

Bài 12.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) xy + 2y²;

b) (x – 1)² + 3(1 – x).

c) (y + 6)² – 4;

d) 8x² + 32xy + 32y²;

e) x⁵ – x².

g) x³ – 2x² + x – 2;

h) x³ – 3y³ + 3x²y – xy².

Hướng dẫn giải

a) xy + 2y²

= y . x + y . 2y

= y(x + 2y);

b) (x – 1)² + 3(1 – x)

= (x – 1)(x – 1) – 3(x – 1)

= (x – 1)(x – 1 – 3)

= (x – 1)(x – 4).

c) (y + 6)² – 4

= (y + 6)² – 2²

= (y + 6 – 2)(y + 6 + 2)

= (y + 4)(y + 8);

d) 8x² + 32xy + 32y²

= 8(x² + 4xy + 4y²)

= 8[x² + 2 . x . 2y + (2y)²]

= 8(x + 2y)²;

e) x⁵ – x² = x² . x ³ – x²

= x²(x³ – 1)

= x²(x – 1)(x² + x + 1).

g) x³ – 2x² + x – 2

= (x³ + x) – 2(x² + 1)

= x(x² + 1) – 2(x² + 1)

= (x² + 1)(x – 2);

h) x³ – 3y³ + 3x²y – xy²

= (x³ – xy²) + (3x²y – 3y³)

= x(x² – y²) + 3y(x² – y²)

= (x² – y²)(x + 3y)

= (x – y)(x + y)(x + 3y).

Bài 13. Tìm x, biết:

a) (x – 3)² = (3 + x)².

b) 1 – 9x² = (3x + 1)².

c) x²(x + 8) + x² = –8x.

d) x² – 6x + 8 = 0.

Hướng dẫn giải

a) (x – 3)² = (3 + x)²

(x – 3) – (3 + x)² = 0

(x – 3 + 3 + x)(x – 3 – 3 – x) = 0

2x.(–6) = 0

2x = 0

x = 0.

Vậy x = 0.

b) 1 – 9x² = (3x + 1)²

(1 – 3x)(1 + 3x) – (3x + 1)² = 0

(3x + 1)(1 – 3x – 3x – 1) = 0

(3x + 1)(–6x) = 0

Suy ra 3x + 1 = 0 hoặc –6x = 0

3x = –1 hoặc x = 0

$x=-\frac{1}{3}$ hoặc x = 0.

Vậy

c) x²(x + 8) + x² = –8x

x²(x + 8) + x² + 8x = 0

x²(x + 8) + x(x + 8) = 0

(x + 8)(x² + x) = 0

(x + 8).x.(x + 1) = 0

Suy ra x + 8 = 0 hoặc x = 0 hoặc x + 1 = 0

x = – 8 hoặc x = 0 hoặc x = –1.

Vậy x ∈ {–8; 0; –1}.

d) x² – 6x + 8 = 0.

x² – 2x – 4x + 8 = 0

x(x – 2) – 4(x – 2) = 0

(x – 2)(x – 4) = 0

Suy ra x – 2 = 0 hoặc x – 4 = 0

x = 2 hoặc x = 4.

Vậy x ∈ {2; 4}.

Bài 14.Cho x > 0. Tìm độ dài cạnh hình vuông có diện tích bằng 36x² + 60x + 25.

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh hình vuông là a (a > 0)

Khi đó diện tích hình vuông là a²

Tức là 36x² + 60x + 25= a².

Ta sẽ phân tích đa thức 36x² + 60x + 25thành nhân tử có dạng a².

Ta có:

36x² + 60x + 25 = (6x)² + 2 . 6x . 5 + 5² = (6x + 5)²

Suy ra a² = (6x + 5)²

Do đó a = 6x + 5

Vậy độ dài cạnh hình vuông có diện tích bằng 36x² + 60x + 25 là 6x + 5.

Bài 15.Trong các biểu thức sau biểu thức nào là phân thức?

$\frac{\sqrt{x}-2}{2\text{x}+3};\frac{x+y}{x-y};3{\text{x}}^2-x+5.$

Hướng dẫn giải

Trong các biểu thức trên có $\frac{x+y}{x-y};3{\text{x}}^2-x+5$là phân thức.

Biểu thức $\frac{\sqrt{\text{x}}-2}{2\text{x}+3}$không phải là phân thức vì $\sqrt{\text{x}}$không phải là đa thức.

Bài 16.Tìm điều kiện xác định và giá trị của mỗi phân thức:

a) $\text{A}=\frac{2\text{x}-y}{4x^2-y^2}$ tại x = 5, y = 2;

b) $B=\frac{6{\text{x}}^2+12x+6}{x+1}$ tại x = 3.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phân thức A là 4x² – y² ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn 4x² – y² ≠ 0)

Ta có:

Khi x = 5, y = 2 thì 4x² – y² = 96 ≠ 0 thỏa mãn điều kiện xác định nên ta có:

$A=\frac{1}{2.5+2}=\frac{1}{12}.$

b) Điều kiện xác định của phân thức B là x + 1 ≠ 0 hay x ≠ – 1.

Ta có:

Khi x = 3 (thỏa mãn điều kiện xác định), ta có:

B = 6 . (3 + 1) = 6 . 4 = 24.

Bài 17. Giả sử các biểu thức đều có nghĩa, thực hiện các phép tính phân thức sau:

a) $\frac{{\left(x-xy\right)}^2}{x^{2}y}-\frac{{\left(x+xy\right)}^2}{x^{2}y}$

b) $\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a^2+2\text{a}+1}$

c) $\frac{5\text{x}-1}{x-5}+\frac{2\text{x}+3}{5-x}-\frac{x}{x-5}$

d) $\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}.\frac{x+y}{x^2-y^2}$

e) $\frac{a^2+6\text{a}+9}{a^3+27}:\frac{a+1}{a^2+3\text{a}+9}$

g)

Hướng dẫn giải

Bài 18.An chèo thuyền từ điểm A đến điểm B cách nhau 5km với vận tốc x (km/h). Lượt đi từ B về A thuận chiều gió nên vận tốc nhanh hơn 2km/h (coi vận tốc của dòng nước bằng 0).

a) Viết biểu thức biểu thị tổng thời gian T hai lượt đi và lượt về.

b) Viết biểu thức biểu thị hiệu thời gian t lượt đi đối với lượt về.

c) Tính giá trị của T và t khi x = 7 km/h.

Hướng dẫn giải

a) Thời gian An chèo thuyền từ A đến B là $\frac{5}{x}$(giờ)

Vận tốc của An khi chèo thuyền từ B về A là: x + 2 (km/h)

Thời gian An đi từ B về A là $\frac{5}{x+2}$(giờ)

Tổng thời gian T hai lượt đi và lượt về là:

b) Hiệu thời gian t lượt đi đối với lượt về là:

c) Khi x = 7 (km/h) ta có: