Cho hàm số y trang 36 SBT Toán 12 Tập 1

❮ Bài trước Bài sau ❯

Giải sách bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 - Kết nối tri thức

Bài 1.63 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{1}{3}$ x³ + (m – 1)x² + (2m – 3)x + $\frac{2}{3}$ .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x₁ và x₂ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$

c) Tìm m để hàm số đồng biến trên ℝ.

d) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Lời giải:

a) Khi m = 2, ta có: y = $\frac{1}{3}$ x³ + x² + x + $\frac{2}{3}$ .

y' = x² + 2x + 1 = (x + 1)² ≥ 0 với mọi x.

Hàm số luôn đồng biến trên ℝ.

Hàm số không có cực trị.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Cho hàm số y trang 36 SBT Toán 12 Tập 1

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty; \lim_{x \to - \infty} y = - \infty$

Đồ thị hàm số nhận điểm I $(- 1; \frac{1}{3})$ làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số có hình vẽ như sau:

Cho hàm số y trang 36 SBT Toán 12 Tập 1

b) Ta có: y = $\frac{1}{3}$ x³ + (m – 1)x² + (2m – 3)x + $\frac{2}{3}$

y' = x² + 2(m – 1)x + 2m – 3

y' = x² + 2mx – 2x + 2m – 3

y' = (x² – 2x – 3) + (2mx + 2m)

y' = (x + 1)(x – 3) + 2m(x + 1).

y' = (x + 1) (x – 3 + 2m)

y' = 0 khi x = −1 hay x = 3 – 2m

Để hàm số có hai nghiệm phân biệt thì x₁ ≠ x₂ hay 3 – 2m ≠ −1 hay m ≠ 2.

Ta có: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$

(−1)² + (3 – 2m)² = 5

(3 – 2m)² = 4

Suy ra 3 – 2m = 2 hoặc 3 – 2m = −2

⇒ m = $\frac{5}{2}$ hoặc m = $\frac{1}{2}$ .

Vậy m ∈ $\{\frac{5}{2}; \frac{1}{2}\}$ .

c) Ta có: y' = x² + 2(m – 1)x + 2m – 3

Để hàm số đồng biến trên ℝ

⇔ $\{\begin{cases} a = 1 > 0 \\ Δ \leq 0 \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} a = 1 > 0 \\ 4 {(m - 1)}^{2} - 4 (2 m - 3) \leq 0 \end{cases}$

m² – 2m + 1 – 2m + 3 ≤ 0

m² – 4m + 4 ≤ 0

(m – 2)² ≤ 0

⇒ m = 2.

d) Ta có: y' = x² + 2(m – 1)x + 2m – 3

y' = 0 ⇔ $[\begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 - 2 m \end{matrix}$

Trường hợp 1: −1 ≤ 3 – 2m ⇔ m ≤ 2. Ta có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y trang 36 SBT Toán 12 Tập 1

Để hàm số đồng biến trên (1; +∞) thì 3 – 2m ≤ 1 ⇔ m ≥ 1.

Vậy kết hợp điều kiện ta được 1 ≤ m ≤ 2.

Trường hợp 2: 3 – 2m < −1 ⇔ m > 2. Có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y trang 36 SBT Toán 12 Tập 1

Trường hợp này hàm số đồng biến trên (−1; +∞) nên hiển nhiên đồng biến trên (1; +∞).

Vậy trường hợp này m > 2.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) khi và chỉ khi m ≥ 1.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài tập cuối chương 1 hay khác:

SBT Toán 12 Kết nối

Cho hàm số y trang 36 SBT Toán 12 Tập 1

Giải sách bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 - Kết nối tri thức

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: