Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây)

Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (0

Giải sách bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 - Kết nối tri thức

Bài 1.67 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (0 < x < 2π).

a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo P và x.

b) Tính thể tích của hình nón theo R và x.

c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Lời giải:

a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài $\stackrel{⏜}{AB}$ của quạt tròn dùng làm phễu nên ta có: 2πr = Rx ⇔ r = $\frac{Rx}{2\pi }$.

Mặt khác h = $\sqrt{R^2-r^2}$ = $\sqrt{R^2-\frac{R^2{x}^2}{4{\pi }^2}}$ = $\frac{R}{2\pi }\sqrt{4{\pi }^2-x^2}$.

b) Thể tích của hình nón là:

V = $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ = $\frac{R^3}{24{\pi }^2}{x}^2\sqrt{4{\pi }^2-x^2}$, 0 < x < 2π.

c) Ta cần tìm x ∈ (0; 2π) sao cho thể tích V đạt giá trị lớn nhất.

Xét hàm số f(x) = $\frac{R^3}{24{\pi }^2}{x}^2\sqrt{4{\pi }^2-x^2}$, x ∈ (0; 2π).

Ta có: f'(x) = $\frac{R^3}{24{\pi }^2}.\frac{x\left(8{\pi }^2-3x^2\right)}{\sqrt{4{\pi }^2-x^2}}$

          f'(x) = 0 ⇔ x =$\frac{2\pi \sqrt{6}}{3}$ ≈ 1,63π.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hình nón có thể tích lớn nhất khi x = $\frac{2\pi \sqrt{6}}{3}$ ≈ 1,63π.

Khi đó: $\underset{x\in (0;2\pi )}{\max }V=f\left(\frac{2\pi \sqrt{6}}{3}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{27}\pi R^3$ .

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài tập cuối chương 1 hay khác:

• Bài 1.51 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a;b). Xét các mệnh đề sau: ....

• Bài 1.52 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó? ....

• Bài 1.53 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số ....

• Bài 1.54 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x – 1)²(x + 2)⁴ với mọi x ∈ ℝ. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: ....

• Bài 1.55 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{x^2+mx+1}{x+m}$ . Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi ....

• Bài 1.56 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=e^{-\frac{x^2}{2}}$  có đồ thị (C). Xét các mệnh đề sau: ....

• Bài 1.57 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Xét các mệnh đề sau: (I) Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó ....

• Bài 1.58 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{2x^2-4x+2}{x^2-6x+5}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng? ....

• Bài 1.59 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x² – 8lnx trên đoạn [1; e] là: ....

• Bài 1.60 trang 35 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như dưới đây: ....

• Bài 1.61 trang 35 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{ax+b}{cx+d}$  có đồ thị như hình vẽ sau: ....

• Bài 1.62 trang 35 SBT Toán 12 Tập 1: Biết đường thẳng y = 2x – 3 cắt đồ thị hàm số y = $\frac{2x+3}{x+3}$  tại hai điểm A và B ....

• Bài 1.63 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{1}{3}$ x³ + (m – 1)x² + (2m – 3)x + $\frac{2}{3}$ .a) Khảo sát sự biến thiên ....

• Bài 1.64 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2 có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho ....

• Bài 1.65 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{\left(m+1\right)x-2m+1}{x-1}$. a) Tìm m để tiệm cận ngang của ....

• Bài 1.66 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{m{x}^2+\left(2m-1\right)x-1}{x+2}$ với m là tham số ....

• Bài 1.68 trang 37 SBT Toán 12 Tập 1: Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng một lăng trụ đứng (xem hình bên) ....