Bài 7.24 trang 59 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Cho tứ diện . Chứng minh rằng:

Giải Toán 11 Bài 26: Khoảng cách - Kết nối tri thức

Bài 7.24 trang 59 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.

Lời giải:

Bài 7.24 trang 59 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Xét tam giác ADB có AD = BD = a nên tam giác ADB cân tại D.

Vì M là trung điểm của AB nên DM là trung tuyến.

Vì tam giác ADB cân tại D, DM là trung tuyến nên DM đồng thời là đường cao hay DM $⊥$ AB.

Xét tam giác ABC có AC = BC = a nên tam giác ABC cân tại C mà CM là trung tuyến nên CM là đường cao hay CM $⊥$ AB.

Vì DM $⊥$ AB và CM $⊥$ AB nên AB $⊥$ (DCM), suy ra AB $⊥$ MN.

Xét tam giác ADC có AD = AC = a nên tam giác ACD cân tại A mà AN là trung tuyến nên AN đồng thời là đường cao hay AN $⊥$ CD.

Xét tam giác BCD có BD = BC = a nên tam giác BCD cân tại B mà BN là trung tuyến nên BN đồng thời là đường cao hay BN $⊥$ CD.

Vì AN $⊥$ CD và BN $⊥$ CD nên CD $⊥$ (ABN), suy ra CD $⊥$ MN.

Vì AB $⊥$ MN và CD $⊥$ MN nên MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Vì AB $⊥$ (DCM) nên AB $⊥$ CD.

Bài 7.24 trang 59 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Gọi E là trung điểm của BC.

Xét tam giác ABC có AB = AC = a nên tam giác ABC cân tại A mà AE là trung tuyến nên AE đồng thời là đường cao hay AE $⊥$ BC.

Xét tam giác BDC có BD = CD = a nên tam giác BCD cân tại D mà DE là trung tuyến nên DE đồng thời là đường cao hay DE $⊥$ BC.

Có AE $⊥$ BC và DE $⊥$ BC nên BC $⊥$ (ADE), suy ra BC $⊥$ AD.

Gọi F là trung điểm của BD.

Xét tam giác ADB có AB = AD = a nên tam giác ADB cân tại A mà AF là trung tuyến nên AF đồng thời là đường cao hay AF $⊥$ BD.

Xét tam giác BCD có BC = CD = a nên tam giác BCD cân tại C mà CF là trung tuyến nên CF đồng thời là đường cao hay CF $⊥$ BD.

Vì AF $⊥$ BD và CF $⊥$ BD nên BD $⊥$ (ACF), suy ra BD $⊥$ AC.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 26: Khoảng cách hay, chi tiết khác: