Bài 7.25 trang 59 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'cạnh a.

Giải Toán 11 Bài 26: Khoảng cách - Kết nối tri thức

Bài 7.25 trang 59 Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh a.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC)và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC), (BC'A'). Tính d((D'AC), (BC'A')).

Lời giải:

Bài 7.25 trang 59 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Vì AA' // CC' và AA' = CC' (do chúng cùng song song và bằng BB') nên AA'C'C là hình bình hành, suy ra AC // A'C' do đó A'C' // (D'AC).

Vì AB // C'D' và AB = C'D' (do chúng cùng song song và bằng CD) nên ABC'D' là hình bình hành suy ra BC' // AD', do đó BC' // (D'AC).

Vì A'C' // (D'AC) và BC' // (D'AC) nên (BC'A') // (D'AC).

Vì ABCD là hình vuông nên AC $⊥$ BD.

Vì BB' $⊥$ (ABCD) nên BB' $⊥$ AC mà AC $⊥$ BD nên AC $⊥$ (BB'D), suy ra AC $⊥$ DB'.

Vì AC // A'C' mà AC $⊥$ DB' nên A'C' $⊥$ DB'.

Do AD $⊥$ (ABB'A') nên AD $⊥$ A'B.

Vì ABB'A' là hình vuông nên AB' $⊥$ A'B mà AD $⊥$ A'B nên A'B $⊥$ (ADB').

Suy ra A'B $⊥$ DB'.

Có A'C' $⊥$ DB' và A'B $⊥$ DB' nên DB' $⊥$ (BC'A').

Vì A'D' // BC và A'D' = BC (do chúng cùng song song và bằng AD) nên A'D'CB là hình bình hành, suy ra A'B // D'C mà A'B $⊥$ DB' nên D'C $⊥$ DB'.

Có AC $⊥$ DB' và D'C $⊥$ DB' nên DB' $⊥$ (D'AC).

b) Gọi O và O' lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'.

Trong mặt phẳng (BDD'B'), có DB' $\cap$ D'O = E. Khi đó DB' $\cap$ (D'AC) = E.

Trong mặt phẳng (BDD'B'), có DB' $\cap$ BO' = F. Khi đó DB' $\cap$ (BC'A') = F.

Vì (BC'A') // (D'AC) nên d((D'AC), (BC'A')) = d(E, (BC'A')) = EF (vì DB' $⊥$ (BC'A')).

Vì DB' $⊥$ (BC'A') nên DB' $⊥$ BO' và DB' $⊥$ (D'AC) nên DB' $⊥$ D'O, suy ra BO' // D'O.

Xét tam giác DBF, có OE // BF nên theo định lí Ta lét, ta có: $\frac{D E}{E F} = \frac{D O}{O B} = 1$ $\Rightarrow D E = E F$ .

Xét tam giác B'D'E có O'F // D'E nên theo định lí Ta lét, ta có: $\frac{B^{'} F}{E F} = \frac{B^{'} O^{'}}{O^{'} D^{'}} = 1$ $\Rightarrow$ B'F = EF.

Do đó B'F = EF = DE $\Rightarrow$ EF = $\frac{1}{3}$ DB' .

Xét tam giác BCD vuông tại C, có $B D^{2} = B C^{2} + C D^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}$ .

Xét tam giác B'BD vuông tại B, có $B^{'} D^{2} = B^{'} B^{2} + B D^{2} = a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{2}$

$\Rightarrow B^{'} D = a \sqrt{3}$ $\Rightarrow E F = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Vậy d((D'AC), (BC'A')) = $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 26: Khoảng cách hay, chi tiết khác: