Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2023 có đáp án (4 đề)

---

Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2023 có đáp án (4 đề)

Haylamdo biên soạn và sưu tầm Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2023 có đáp án (4 đề) được tổng hợp chọn lọc từ đề thi môn Toán 9 của các trường trên cả nước sẽ giúp học sinh có kế hoạch ôn luyện từ đó đạt điểm cao trong các bài thi Toán lớp 9.

Đề thi Học kì 2 Toán 9 năm 2023 có ma trận (8 đề)

Xem thử

Chỉ 100k mua trọn bộ 60 Đề thi Cuối kì 2 Toán 9 bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

MA TRẬN ĐỀ THI

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Học kì 2

Năm học 2023

Bài thi môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 1)

Bài 1 (2,0 điểm): (Không dùng máy tính cầm tay)

a) Giải phương trình $2x^2+x-6=0$.

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=1\\ x-y=3\end{array}\right.$

Bài 2 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx − 4.

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Xác định m để (d) tiếp xúc với (P).

Bài 3 (2,0 điểm) Cho phương trình x² − (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (1) (với m là tham số).

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm tất cả các giá trị dương của m để biểu thức $x_1^2-x_1=x_2-x_2^2+8$

Bài 4 (3,50 điểm) Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O), A và B là các tiếp điểm. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng MB; C là giao điểm của AE và (O) (điểm C khác điểm A), H là giao điểm của AB và MO.

a) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh EB² = EC.EA.

c) Chứng minh HCEB là một tứ giác nội tiếp.

d) Gọi D là giao điểm của MC và (O) (điểm D khác điểm C). Chứng minh ∆ABD là tam giác cân.

Bài 5 (0,5 điểm): Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức:

$P=\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}$

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Học kì 2

Năm học 2023

Bài thi môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 2)

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)

Câu 1: Đồ thị của hàm số $y=\left(m-1\right)x^2$ đi qua điểm $A\left(-1;4\right)$ khi

A. m = 1.

B. m = 2.

C. m = 4.

D. m = 5.

Câu 2: Tích các nghiệm của phương trình $4x^2-5x+1=0$ bằng

A. 1.

B. $\frac{1}{4}.$

C. $\frac{5}{4}.$

D. 0.

Câu 3: Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=m-1\\ x-y=m+3\end{array}\right.$ có nghiệm $\left(x_0;y_0\right)$ thỏa mãn $x_0=y_0^2$ thì giá trị của m là

A. m = 4.

B. m = 3.

C. m = 2.

D. m = 1.

Câu 4: Giá trị nào của x dưới đây là nghiệm của phương trình $x^2-3x+2=0$?

A. x = -1.

B. x = -2.

C. x = 3.

D. x = 1.

Câu 5: Cho tam giác ABC đều có chu vi bằng 18cm nội tiếp đường tròn (O;R). Tính R.

A. $R=\sqrt{3}cm.$

B. $R=3\sqrt{3}cm.$

C. $R=3cm.$

D. $R=2\sqrt{3}cm.$

Câu 6: Tổng các nghiệm của phương trình $3x^4-x^2-6=0$ là

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. -2.

Câu 7: Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 2x-y=1\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất (x,y) là

A. (3;2)

B. (1;4)

C. (4;1)

D. (2;3)

Câu 8: Giá trị của m để phương trình: $x^2+2x+m=0$ (m là tham số) có nghiệm kép là

A. m = 1

B. m = -1

C. $m=\frac{1}{4}.$

D. $m=\frac{-1}{4}.$

Câu 9: Lúc 8 giờ, kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là

A. ${120}^0.$

B. ${80}^0.$

C. ${240}^0.$

D. ${40}^0.$

Câu 10: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=-3x^2$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $f\left(-4\right)<f\left(-2\right).$

B. $f\left(3\right)>f\left(2\right).$

C. $f\left(-1\right)>f\left(0\right).$

D. $f\left(1\right)>f\left(-1\right).$

Câu 11: Cặp số $\left(x,y\right)=\left(1;2\right)$ là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?

A. $\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 2x-y=1\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}2x-3y=1\\ y-x=1\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ 2x+y=4\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ x-y=1\end{array}\right.$

Câu 12: Phương trình $x^2-3x+m=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2(x_1<x_2)$ thỏa mãn $x_2-x_1=5$ khi

A. m = -5.

B. m = -4.

C. m = 4.

D. m = 5.

Câu 13: Trên đường tròn (O;R) lấy hai điểm A,B sao cho $\widehat{AOB}={45}^0$. Độ dài cung nhỏ AB bằng

A. $\frac{\pi R}{4}\cdot$

B. $4\pi R.$

C. $\frac{\pi R^2}{4}\cdot$

D. $\frac{\pi R}{2}\cdot$

Câu 14: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O;R). Biết $\widehat{ABC}={50}^0$, số đo cung nhỏ BC là

A. ${80}^0.$

B. ${160}^0.$

C. ${100}^0.$

D. ${50}^0.$

Câu 15: Khi hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}ax+y=1\\ x-by=2\end{array}\right.$ có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(1;-1\right)$ thì giá trị của biểu thức $a^2+b^2$ bằng

A. 4.

B. 3.

C. 5.

D. 6.

II. Tự luận

Câu 1 (1,0 điểm): Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-3y=1\\ x+3y=5\end{array}\right.\cdot$

Câu 2 (2,0 điểm): Cho phương trình $x^2-2x+3m-1=0\left(1\right),m$ là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi $m=\frac{1}{3}.$

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn:

$\left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)=4.$

Câu 3 (1,5 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Hưởng ứng lời kêu gọi toàn dân tham gia ủng hộ phòng chống dịch COVID-19, cùng chung tay đẩy lùi dịch bệnh. Một xưởng may có 67 công nhân của tổ I và tổ II đã may được 3000 chiếc khẩu trang để phát miễn phí cho người dân. Biết mỗi công nhân của tổ I may được 50 chiếc khẩu trang, mỗi công nhân của tổ II may được 40 chiếc khẩu trang. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu công nhân?

Câu 4 (2,0 điểm):

Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn (O). Từ điểm A bất kì trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Từ O kẻ OH vuông góc với đường thẳng d tại H. Dây BC cắt OA tại D và cắt OH tại E. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

b) $OA\perp BC$.

c) $OE.OH=R^2.$

Câu 5 (0,5 điểm):

Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình $x^3-5x^2+\left(m+6\right)x-2m=0$ có ba nghiệm dương phân biệt.

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Học kì 2

Năm học 2023

Bài thi môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 3)

Bài 1: (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=6\\ 2x-y=3\end{array}\right.$.

2. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình sau:

x² – 7x + 12 = 0.

Bài 2: (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình:

Máy thở là một thiết bị công nghệ hữu ích, có tác dụng hỗ trợ hô hấp cho những người rất kém hoặc không còn khả năng tự hô hấp. Đây là thiết bị sống còn giúp chống chọi với bệnh COVID-19 của các bệnh nhân đã mắc ở thể nặng. Theo ước tính có khoảng 10% bệnh nhân mắc bệnh COVID-19 phải dùng đến máy thở, do đó khi dịch bệnh bùng phát thì trên thế giới sẽ thiếu hụt nghiêm trọng các thiết bị này.

Để chủ động ứng phó dịch bệnh, một nhà máy được giao sản xuất 360 chiếc máy thở trong một thời gian hạn định. Trước tình hình dịch bệnh COVID-19 diễn biến hết sức phức tạp, xác định trách nhiệm tham gia bảo vệ sức khỏe cộng đồng nên nhà máy đã nâng cao năng lực sản xuất bằng cách tiến hành cải tiến kỹ thuật đồng thời kết hợp tăng ca để quyết tâm rút ngắn thời gian hoàn thành kế hoạch. Chính vì vậy, trên thực tế mỗi ngày nhà máy đã sản xuất tăng thêm 3 máy nên hoàn thành sớm trước 6 ngày so với kế hoạch được giao. Hỏi theo kế hoạch thì mỗi ngày nhà máy phải sản xuất bao nhiêu chiếc máy thở.

Bài 3: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên (O) lấy C không trùng với A, B sao cho CA > CB. Các tiếp tuyến của đường tròn tại A, tại C cắt nhau tại D. Kẻ CH vuông góc với AB, DO cắt AC tại E.

1. Chứng minh rằng: Tứ giác OECH nội tiếp.

2. CD cắt AB tại F. Chứng minh rằng: $2\widehat{BCF}+\widehat{CFB}={90}^0$

3. BD cắt CH ở M. Chứng minh rằng: ME song song AB.

Bài 4: (0,5 điểm) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\left|xy-4\right|=8-y^2\\ xy=2+x^2\end{array}\right.$

Bài 5: (2 điểm) Hiện nay các văn phòng thường sử dụng loại thùng rác văn phòng, màu sắc, chất liệu thân thiện với môi trường. Hình ảnh bên là một thùng rác văn phòng có chiều cao 0,8 m, đường kính 0,4 m. Thể tích của thùng rác bằng bao nhiêu?

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề thi số 4)

Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn:

A. 2x² - 3x + 1 = 0       B.-2x = 4

C. 2x + 3y = 7       D. 1/x + y = 3

Câu 2: Hệ phương trình có nghiệm là:

A. (-3; -1)       B. (3; 1)

C. (3; -1)       D. (1; -3)

Câu 3: Cho AB là dây cung của đường tròn (O; 4 cm), biết AB = 4 cm, số đo của cung nhỏ AB là:

A. 60^o       B. 120^o       C. 30^o       D. 90^o

Câu 4: Bán kính hình tròn nội tiếp hình vuông cạnh 2 cm là:

A.2 cm       B.√2 cm       C.1 cm       D.4 cm

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1 (1, 5 điểm) giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) x² - 7x + 5 = 0

Bài 2 (1, 5 điểm) Cho hai hàm số : y = x² (P) và y = - x + 2 (d)

a) Vẽ 2 đồ thì hàm số trên cùng 1 hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)

c) Viết phương trình đường thẳng d' song song với d và cắt (P) tại điểm có hoành độ -1.

Bài 3 (1, 5 điểm) Cho phương trình x² + (m – 2)x – m + 1 =0

a) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x₁² + x₂² -6x₁ x₂

Bài 4 (3,5 điểm) Cho (O;OA), dây BC vuông góc với OA tại K. Kẻ tiếp tuyến của (O) tại B và A, hai tiếp tuyến này cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác OBHA nội tiếp được đường tròn

b) Lấy trên O điểm M (M khác phía với A so với dây BC, dây BM lớn hơn dây MC). Tia MA và BH cắt nhau tại N. chứng minh ∠(NMC) = ∠(BAH)

c) Tia MC và BA cắt nhau tại D. Chứng minh tứ giác MBND nội tiếp được đường tròn.

d) Chứng minh OA ⊥ ND

Hướng dẫn giải

Phần trắc nghiệm (2 điểm)

1.C

2.C

3.A

4.B

Câu 4: Chọn đáp án C

Kẻ OH ⊥ AB. Do ABCD là hình vuông nên ∠OAH = 45^o

Tam giác ABC vuông tại B có: AC² = AB² + BC² = 2² + 2² = 8

Nên AC = 2√2cm

Vì O là trung điểm AC nên

Xét tam giác OAH vuông tại H có:

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh 2cm là 1cm

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1

a) x² - 7x + 5 = 0

Δ = 7² - 4.1.5 = 49 - 20 = 29 > 0

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (0; 3)

Bài 2

a) Xét hàm số: y = x² (P)

Tập xác định R

Bảng giá trị

x	- 2	- 1	0	1	2
y = x2	4	1	0	1	2

Đồ thị hàm số y = x² là đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và điểm O(0;0) là đỉnh và là điểm thấp nhất.

Xét hàm số: y = - x + 2 (d)

Tập xác định R

Bảng giá trị

x	0	2
y = - x + 2	2	0

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = -x + 2 ⇔ x² + x - 2 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm 1 và -2 ( phương trình dạng a + b + c = 0)

Với x = 1 ⇒ y = x² = 1

Với x = - 2 ⇒ y = x² = 4

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (1; 1) và (-2; 4)

c) Do d' // d nên phương trình của d' có dạng: y = -x + b (b ≠ 2)

Gọi A là giao điểm của d' và (P). A có hoành độ -1 ⇒ tung độ của A là 1

Do A (-1; 1) nên tọa độ của A thỏa mãn phương trình đường thẳng d'

⇒ 1 = -(-1) + b ⇒ b = 0

⇒ Phương trình đường thẳng d' là y = -x.

Bài 3 x² + (m – 2)x – m + 1 = 0

a) phương trình có 1 nghiệm x = 2 nên :

2² + (m-2).2 - m + 1 = 0

⇔ m = -1

Với m = -1, phương trình trở thành: x² – 3x + 2 = 0

Theo hệ thức Vi-et ta có: x₁ + x₂ = 3

Giả sử x₁ = 2 ⇒ x₂ = 1

Vậy với m = - 1 thì phương trình có 1 nghiệm là 2 và nghiệm còn lại là 1.

b) Δ = (m - 2)² -4.(-m + 1) = m² - 4m + 4 + 4m - 4 = m² ≥ 0 ∀ m

⇒ Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

c) Theo hệ thức Vi- et ta có:

A = x₁² + x₂² -6x₁ x₂ = (x₁ + x₂ )² - 8x₁ x₂

= (2 - m)² - 8(-m + 1) = m² - 4m + 4 + 8m - 8

= m² + 4m - 4 = (m + 2)² - 8

Ta có: (m + 2)² ≥ 0 ∀ m

⇒ (m + 2)² - 8 ≥ -8 ∀ m ⇔ A ≥ -8 ∀ m

Dấu bằng xảy ra khi (m + 2)² = 0 ⇔ m= -2

Vậy GTNN của A là -8, đạt được khi m = -2

Bài 4

a) Xét tứ giác OBHA có:

∠(OBH) = 90^o ( BH là tiếp tuyến của (O)

∠(OAH) = 90^o (AH là tiếp tuyến của (O)

⇒ ∠(OBH) + ∠(OAH) = 180^o

⇒ Tứ giác OBHA là tứ giác nội tiếp

b) Ta có: Một phần đường kính OA vuông góc dây BC

⇒ AB = AC ⇒ sđ cung AB = sđ cung AC

⇒ ∠(BAH) = ∠(ABC) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn 2 cung bằng nhau)

Tứ giác ABMC nội tiếp (O)

⇒ ∠(NMC) = ∠(ABC) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó: ∠(NMC) = ∠(BAH)

c) 2 tiếp tuyến HA và HB cắt nhau tại H

⇒ ΔHAB cân tại H ⇒ ∠(BAH) = ∠(HBA)

Theo ý b) ∠(NMC) = ∠(BAH)

⇒ ∠(NMC) = ∠(HBA)

Xét tứ giác MBND có: ∠(NMC) = ∠(HBA)

⇒ 2 đỉnh M và B cùng nhìn cạnh ND dưới 1 góc bằng nhau

⇒ MBND là tứ giác nội tiếp.

d) Xét tứ giác MBND nội tiếp có:

∠(BDN) = ∠(BMN) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN)

Xét tứ giác ABMC nội tiếp (O) có:

∠(ABC) = ∠(BMN) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung bằng nhau )

⇒ ∠(BDN) = ∠(ABC)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒ ND // BC

Mà BC ⊥ OA ⇒ ND ⊥ OA

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề thi số 5)

Bài 1: (1,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình

a) 2x² - 3x + 1 = 0

b) x³ - 3x² + 2 = 0

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = x²

b) Tìm m để đường thẳng (d) : y = 2x + m tiếp xúc với (P).

Bài 3: (1,5 điểm) Cho phương trình (ấn số x): x² – 4x + m – 2 = 0 (1)

a) Giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn 3x₁ – x₂ = 8

Bài 4: (1 điểm) Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng thêm 30 km/h thì thời gian đi sẽ giảm 1 giờ. Nếu vận tốc giảm bớt 15 km/h thì thời gian đi tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian đi từ A đến B của ô tô.

Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm của BD và CE; AH cắt BC tại I.

a) Chứng minh AI vuông góc với BC và EC là phân giác của góc IED.

b) Chứng minh BE.BA = BI.BC

c) Chứng minh tứ giác OIED nội tiếp.

d) Cho biết BC = 16cm. Tính BE.BA + CD.CA

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

a) 2x² - 3x + 1 = 0

a = 2; b = - 3; c = 1 ⇒ a + b + c = 0

Do đó phương trình có nghiệm x₁ = 1; x₂ = 1/2

b) x³ - 3x² + 2 = 0

⇔ x³ - x² - 2x² + 2 = 0

⇔ x²(x - 1) - 2(x² - 1) = 0

⇔ x²(x - 1) - 2(x + 1)(x - 1) = 0

⇔ (x - 1)[x² - 2(x + 1)] = 0

⇔ (x - 1)(x² - 2x - 2) = 0

* Ta có: x - 1 = 0 khi x = 1

* Xét x² – 2x - 2 = 0 (*)

Có ∆' = (-1)² - 1(-2) = 3 > 0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:

x₁ = 1 + √3; x₂ = 1 - √3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1 - √3; 1; 1 + √3}

Khi đó hệ phương trình trở thành:

Bài 2:

a) Tập xác định của hàm số: R

Bảng giá trị

x	- 2	- 1	0	1	2
y = x2	4	1	0	1	2

Đồ thị hàm số y = x² là đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và điểm O(0;0) là đỉnh và là điểm thấp nhất.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x² = 2x + m ⇔ x² - 2x - m = 0

Δ' = 1-(-m) = 1 + m

(d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d có một nghiệm duy nhất

⇔ Δ' = 0 ⇔ 1 + m = 0 ⇔ m = -1

Vậy với m = -1 thì d tiếp xúc với (P)

Bài 3:

a) Δ' = 2² - (m - 2) = 6 - m

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi Δ' ≥ 0

⇔ 6 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 6

Vậy với m ≤ 6 thì phương trình đã cho có nghiệm

b) Theo hệ thức Vi-et ta có:

Theo bài ra:

3x₁ - x₂ = 8

⇔ 3x₁ - x₂ = 2(x₁ + x₂)

⇔ x₁ = 3x₂

Khi đó: x₁ + x₂ = 4 ⇔ 3x₂ + x₂ = 4 ⇔ 4x₂ = 4 ⇔ x₂ = 1

⇒ x₁ = 3

⇒ x₁ x₂ = 3 ⇒ m - 2 = 3 ⇔ m = 5

Vậy với m = 5 thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4:

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) (x > 15)

Thời gian dự định đi của ô tô là y (h) (y > 1)

⇒ Quãng đường AB là xy (km)

Nếu vận tốc tăng 30 km/h thì thời gian giảm đi 1h nên ta có phương trình:

(x + 30)(y - 1) = xy ⇔ -x + 30y = 30 (1)

Nếu vận tốc giảm 15 km/h thì thời gian tăng 1h nên ta có phương trình

(x - 15)(y + 1) = xy ⇔ x - 15y = 15 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc đi từ A đến B là 60 km/h

Thời gian đi từ A đến B là 3h.

Bài 5:

a) Chứng minh AI BC

Ta có ∠BEC = BDC = 90^o (hai góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn)

d) Tính BE.BA + CD.CA

Chứng minh tương tự câu b, CD.CA = CI.CB

Từ đó BE.BA + CD.CA = BI.BC + CI.CB

= (BI + CI).BC = BC.BC = BC² = 16² = 256

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề thi số 6)

Câu 1: Cho hàm số y = -3x². Kết luận nào sau đây là đúng :

A. Hàm số trên luôn đồng biến

B. Hàm số trên luôn nghịch biến

C. Hàm số trên đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0

D. Hàm số trên đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

Câu 2: Cho phương trình bậc hai x² – 2(m + 1) x + 4m = 0. Phương trình có nghiệm kép khi m bằng:

A. 1       C. Với mọi m

B. –1       D. Một kết quả khác

Câu 3: Cung AB của đường tròn (O; R) có số đo là 60^o. Khi đó diện tích hình quạt AOB là:

Câu 4: Tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn khi:

A.∠(MNP) + ∠(NPQ) = 180^o

B.∠(MNP) = ∠(MPQ)

C. MNPQ là hình thang cân

D. MNPQ là hình thoi

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm)

1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức

2) Cho biểu thức với x > 0; x ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = A.B với x > 1

Bài 2 (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3dm. Nếu giảm chiều rộng đi 1dm và tăng chiều dài thêm 1dm thì diện tích tấm bìa là 66 Tính chiều rộng và chiều dài của tấm bìa lúc ban đầu.

Bài 3 (2,0 điểm)

1) Cho phương trình x⁴ + mx² - m - 1 = 0(m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2x + m (m là tham số).

a) Xác định m để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P). Tìm hoành độ tiếp điểm.

b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A, B nằm về hai phía của trục tung, sao cho diện tích có diện tích gấp hai lần diện tích (M là giao điểm của đường thẳng d với trục tung).

Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), dây AB. Trên cung lớn AB lấy điểm C sao cho A < CB. Các đường cao AE và BF của tam giác ABC cắt nhau tại I.

a) Chứng minh tứ giác AFEB là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CF.CB = CE.CA

c) Nếu dây AB có độ dài bằng R√3 , hãy tính số đo của (ACB)

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là K (K khác C). Vẽ đường kính CD của (O; R). Gọi P là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm K, P, D thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Phần trắc nghiệm (2 điểm)

1.D

2.A

3.B

4.C

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1

Biểu thức A xác định khi √x - 1 ≠ 0 ⇔ √x ≠ 1 ⇔ x ≠ 1

Vậy GTNN của P là 2√3 + 3 đạt được khi x = 4 + 2√3

Bài 2

Gọi chiều dài của tấm bìa là x (x > 3) (dm)

⇒ Chiều rộng của tấm bìa là x – 3 (dm)

Nếu tăng chiều dài 1 dm và giảm chiều rộng 1 dm thì diện tích là 66 dm² nên ta có phương trình:

(x + 1)(x – 3 – 1) = 66

⇔ (x + 1)(x – 4 ) = 66

⇔ x² – 3x – 4 – 66 = 0

⇔ x² – 3x – 70 = 0

Δ = 3² - 4.(-70) = 289 ⇒ √Δ = 17

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm

Do x > 3 nên x =10

Vậy chiều dài của tấm bìa là 10 dm

Chiều rộng của tấm bìa là 7 dm.

Bài 3

1) x⁴ + mx² - m - 1 = 0

a) Khi m = 2, phương trình trở thành: x⁴ + 2x² – 3 = 0

Đặt x² = t (t ≥ 0). Khi đó ta có phương trình: t² + 2t - 3 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm t = 1 và t = -3 (do phương trình có dạng a + b + c = 0)

Do t ≥ 0 nên t = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1

b) Đặt x² = t (t ≥ 0). Khi đó ta có phương trình: t² – mt – m – 1 = 0 (*)

Δ = m² - 4(-m - 1) = m² + 4m + 4 = (m + 2)²

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

2) parabol (P): y = x² ; đường thẳng (d): y = 2x + m (m là tham số).

a) phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = 2x + m ⇔ x² - 2x - m = 0

Δ'= 1 + m

(d) tiếp xúc với (P) khi phương trình hoành độ giao điểm có duy nhất 1 nghiệm

⇔ Δ'= 1 + m = 0 ⇔ m = -1

Khi đó hoành độ giao điểm là x = 1

b) (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B phân biệt nằm về 2 phía của trục tung khi và chỉ khi

Khi đó 2 nghiệm của phương trình là:

Kẻ BB' ⊥ OM ; AA' ⊥ OM

Ta có:

S_AOM = 1/2 AA'.OM ; S_BOM = 1/2 BB'.OM

Theo bài ra:

Do m > 0 nên m = 8

Vậy với m = 8 thì thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài 4

a) Xét tứ giác AEFB có:

∠(AFB) = 90^o ( AF là đường cao)

∠(AEB) = 90^o ( BE là đường cao)

⇒ 2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc bằng nhau

⇒ AEFB là tứ giác nội tiếp.

b) Xét ΔBEC và ΔAFC có:

∠(BCA) là góc chung

∠(BEC) = ∠(AFC) = 90 ^o

⇒ ΔBEC ∼ ΔAFC

c) Gọi P là trung điểm của AB

Do tam giác OAB cân tại O nên OP ⊥ AB

Tam giác OAP vuông tại P có:

⇒ Tứ giác CEIF là tứ giác nội tiếp và CI là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEIF

Ta có: IK ⊥ KC ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEIF)

DK ⊥ KC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

⇒ D; I; K thẳng hàng (1)

Ta có:

DB ⊥ BC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

AI ⊥ BC ( AI là đường cao của tam giác ABC)

⇒ AI // BD

DA ⊥ BA(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

BI ⊥ BA ( BI là đường cao của tam giác ABC)

⇒ AD // BI

Xét tứ giác ADBI có: AI // BD và AD // BI

⇒ ADBI là hình bình hành

Do P là trung điểm của AB ⇒ P là trung điểm của DI

Hay D; P; I thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) ⇒ D; P; K thẳng hàng.

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề thi số 7)

Bài 1: (1,5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) 3x² – 7x + 2 = 0

b) x⁴ – 5x + 4 = 0

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y= x²/4

b) Trên (P) lấy 2 điểm A và B có hoành độ lần lượt là 4 và 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B

Bài 3: (1,5 điểm) Cho phương trình (ẩn x) : x² – 2mx – 4m – 4 = 0(1)

a) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi Giá trị của m.

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁² + x₂² - x₁x₂ = 13

Bài 4: (1 điểm) Tìm kích thước của hình chữ nhật, biết chiều dài hơn chiều rộng 3m. Nếu tăng thêm mỗi chiều thêm 2 mét thì diện tích của hình chữ nhật tăng thêm 70m2.

Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ngoài đường tròn (O) sao cho OA = 3R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp và OA vuông góc với BC

b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn tâm (O) tại D (D khác B), AD cắt đường tròn (O) tại E (E khác D). Tính tích AD.AE theo R.

c) Tia BE cắt AC tại F. Chứng minh F là trung điểm AC.

d) Tính theo R diện tích tam giác BDC.

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

a) 3x² – 7x + 2 = 0

Δ= 7² -4.3.2 = 49 - 24 = 25 > 0 ⇒ √Δ = 5

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; 1/3}

b) x⁴ - 5x² + 4 = 0

Đặt t = x² ≥ 0 , ta có phương trình:

t² - 5t + 4 = 0 (dạng a + b + c = 1 -5 + 4 = 0)

t₁ = 1 (nhận) ; t₂ = 4 (nhận)

với t = 1 ⇔ x² = 1 ⇔ x = ± 1

với t = 4 ⇔ x² = 4 ⇔ x = ± 2

Vậy nghiệm của phương trình x = ±1; x = ± 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = ( √5; -1)

Bài 2:

a) Tập xác định của hàm số: R

Bảng giá trị:

x	-4	-2	0	2	4
y = x2 / 4	4	1	0	1	4

Đồ thị hàm số y = x² / 4 là một đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và điểm O(0;0) là đỉnh và là điểm thấp nhất.

b) Với x = 4, ta có: y = x²/4 = 4 ⇒ A (4; 4)

Với x = 2, ta có y = x²/4 = 1 ⇒ B ( 2; 1)

Giả sử đường thẳng đi qua 2 điểm A, B là y = ax + b

Đường thẳng đi qua A (4; 4) nên 4 = 4a + b

Đường thẳng đi qua B (2; 1) nên : 1= 2a + b

Ta có hệ phương trình

Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B là y = 3/2 x - 2

Bài 3:

a) Δ' = m² - (-4m - 4) = m² + 4m + 4 = (m + 2)² ≥ 0 ∀m

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x₁ ; x₂ lần lượt là 2 nghiệm của phương trình đã cho

Theo hệ thức Vi-et ta có:

x₁² + x₂² -x₁ x₂ = (x₁ + x₂ )² - 3x₁ x₂ = 4m² + 3(4m + 4)

Theo bài ra: x₁² + x₂² - x₁ x₂=13

⇒ 4m² + 3(4m + 4) = 13 ⇔ 4m² + 12m - 1 = 0

Δ_m = 12² -4.4.(-1) = 160 ⇒ √(Δ_m ) = 4√10

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy với thì phương trình có 2 nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện x₁² + x₂² - x₁ x₂ = 13

Bài 4:

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (m) ( x > 0 )

⇒ Chiều dài của hình chữ nhật là x + 3 (m)

Khi đó diện tích của hình chữ nhật là x(x + 3) (m² )

Nếu tăng thêm mỗi chiều thêm 2 mét thì diện tích của hình chữ nhật tăng thêm 70m² nên ta có phương trình:

(x + 2)(x + 3 + 2) = x(x + 3) + 70

⇔ (x + 2)(x + 5) = x(x + 3) + 70

⇔ x² + 7x + 10 = x² + 3x + 70

⇔ 4x = 60

⇔ x = 15

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 15m

Chiều dài của hình chữ nhật là 18m

Bài 5: