Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 1 - Kết nối tri thức

Bài 1.56 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a) $A = \sin (\frac{π}{4} + x) - \cos (\frac{π}{4} - x)$ ;

b) $B = \cos (\frac{π}{6} - x) - \sin (\frac{π}{3} + x)$ ;

c) $C = \sin^{2} x + \cos (\frac{π}{3} - x) \cos (\frac{π}{3} + x)$ ;

d) $D = \frac{1 - \cos 2 x + \sin 2 x}{1 + \cos 2 x + \sin 2 x} . \cot x$ .

Lời giải:

a) Cách 1:

$A = \sin (\frac{π}{4} + x) - \cos (\frac{π}{4} - x)$

$= (\sin \frac{π}{4} \cos x + \cos \frac{π}{4} \sin x) - (\cos \frac{π}{4} \cos x + \sin \frac{π}{4} \sin x)$

$= (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x) - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x) = 0 \forall x$ .

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

Cách 2:

$A = \sin (\frac{π}{4} + x) - \cos (\frac{π}{4} - x)$

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

$= \sin (\frac{π}{4} + x) - \sin (\frac{π}{4} + x) = 0 \forall x$ .

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

b) $B = \cos (\frac{π}{6} - x) - \sin (\frac{π}{3} + x)$

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

$= \cos (\frac{π}{6} - x) - \cos (\frac{π}{6} - x) = 0 \forall x$ .

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.

c) $C = \sin^{2} x + \cos (\frac{π}{3} - x) \cos (\frac{π}{3} + x)$

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

$= \sin^{2} x + \frac{1}{2} (\cos \frac{2 π}{3} + \cos (- 2 x))$

$= \sin^{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos 2 x)$

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

$= \sin^{2} x + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 2 \sin^{2} x)$

$= \sin^{2} x + \frac{1}{4} - \sin^{2} x = \frac{1}{4} \forall x$ .

Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.

d) $D = \frac{1 - \cos 2 x + \sin 2 x}{1 + \cos 2 x + \sin 2 x} . \cot x$

$= \frac{1 - (1 - 2 \sin^{2} x) + 2 \sin x \cos x}{1 + (2 \cos^{2} x - 1) + 2 \sin x \cos x} . \cot x$

$= \frac{2 \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x}{2 \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x} . \cot x$

$= \frac{2 \sin x (\sin x + \cos x)}{2 \cos x (\cos x + \sin x)} . \cot x$

$= \frac{\sin x}{\cos x} . \cot x = \tan x . \cot x = 1 \forall x$ .

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 hay khác: