Ước chung. Ước chung lớn nhất (Lý thuyết Toán lớp 6) | Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 6 Bài 11: Ước chung, Ước chung lớn nhất hay nhất, chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 6.

Ước chung. Ước chung lớn nhất (Lý thuyết Toán lớp 6) | Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Ước chung. Ước chung lớn nhất

1. Ước chung

- Một số được gọi là ước chung của hai hay nhiều số nếu nó là ước của tất cả các số đó.

- Tập hợp các ước chung của hai số a và b kí hiệu là ƯC(a, b).

x $\in$ ƯC(a, b) nếu a ⋮ x và b ⋮ x.

- Tương tự, tập hợp các ước chung của a, b, c kí hiệu là ƯC(a, b, c).

x $\in$ ƯC(a, b, c) nếu a ⋮ x, b ⋮ x và c ⋮ x.

Ví dụ:

Ta có: Ư(9) = {1; 3; 9}; Ư(21) = {1; 3; 7; 21}.

Các số 1 và 3 vừa là ước của 9 vừa là ước của 21. Ta nói 1 và 3 là các ước chung của 9 và 21 và viết ƯC(9, 21) = {1; 3}.

Cách tìm ước chung của hai số a và b:

- Viết tập hợp các ước của a và của b: Ư(a), Ư(b).

- Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b).

Ví dụ:

Ư(8) = {1; 2; 4; 8}

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Do đó ƯC(8; 12) = {1; 2; 4}.

2. Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

Tương tự, ước chung lớn nhất của a, b và c là ƯCLN(a, b, c).

Nhận xét: Tất cả các ước chung của hai hay nhiều số đều là ước của ƯCLN của các số đó.

Ví dụ:

ƯC(16, 24) = {1; 2; 4; 8} nên ƯCLN(16, 24) = 8, vì 8 là số lớn nhất trong số các ước chung của 16 và 24. Các ước chung của 36 và 45 là 1; 2; 4; 8 đều là ước của 8.

Nhận xét: Với mọi số tự nhiên a và b, ta có:

ƯCLN(a, 1) = 1; ƯCLN(a, b, 1) = 1.

Ví dụ: ƯCLN(9, 1) = 1; ƯCLN(5, 18, 1) = 1.

3. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Quy tắc:

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ: Tìm ƯCLN (36; 60).

Hướng dẫn giải

Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

36 = 2² . 3²

60 = 2² . 3 . 5

Bước 2: Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.

Bước 3: Số mũ nhỏ nhất của thừa số 2 là 2 và của 3 là 1.

ƯCLN(18; 30) = 2² . 3 = 12.

Chú ý: Hai số có ƯCLN bằng 1 gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ: ƯCLN(15; 23) = 1 nên 15 và 23 được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.

4. Ứng dụng trong rút gọn về số tối giản

Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho ước chung khác 1 (nếu có) của chúng.

Phân số tối giản: ab là phân số tối giản nếu ƯCLN(a, b) = 1.

Đưa một phân số chưa tối giản về phân số tối giản:

Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN(a, b).

Ví dụ: Phân số $\frac{9}{24}$ là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

Hướng dẫn giải

Vì ƯCLN(9, 24) = 3 ≠ 1 nên $\frac{9}{24}$ chưa phải là phân số tối giản.

Ta có:  

Khi đó, ta được $\frac{3}{8}$ là phân số tối giản.

Bài tập Ước chung. Ước chung lớn nhất

Bài 1: Tìm các ước chung lớn hơn 20 của 144 và 192.

Hướng dẫn giải

UCLN(144, 192) = 48.

Ước của 48 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 48}

Các ước của 48 lớn hơn 20 là 24 và 48.

Vậy các ước chung lớn hơn 20 của 144 và 192 là 24 và 48.

Bài 2. Một bác thợ mộc muốn làm kệ để đồ từ hai tấm gỗ dài 18 dm và 30 dm. Bác muốn cắt hai tấm gỗ này thành các thanh gỗ có cùng độ dài mà không để thừa mẩu gỗ nào. Em hãy giúp bác thợ mộc tìm độ dài lớn nhất có thể của mỗi thanh gỗ được cắt.

Hướng dẫn giải

Độ dài lớn nhất các thanh gỗ được cắt chính là ƯCLN của 18 và 30.

Ta có: 18 = 2 . 3²; 30 = 2 . 3. 5.

Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.

Số mũ lớn nhất của 2 là 1 và của 3 là 1.

Do đó ƯCLN(18; 30) = 2. 3 = 6.

Vậy độ dài lớn nhất có thể của các thanh gỗ được cắt là 6 dm.

Bài 3. Tìm hai số tự nhiên a, b, biết rằng: a + b = 162 và ƯCLN(a, b) = 18.

Lời giải

Giả sử a ≤ b.

Ta có: a + b = 162, ƯCLN(a, b) = 18.

Khi đó a ⋮ 18, b ⋮ 18.

Đặt a = 18m; b = 18n với ƯCLN(m, n) = 1, m ≤ n.

Từ a + b = 162 nên 18(m + n) = 162 suy ra m + n = 9.

Ta có ba cặp số (m; n) thỏa mãn m + n = 9 và ƯCLN(m, n) = 1, m ≤ n là:

(1; 8); (2; 7); (4; 5) (loại cặp số (3; 6) vì ƯCLN(3; 6) = 3 ≠ 1).

Ta có bảng sau:

m	1	2	4
n	8	7	5
a	18	36	72
b	144	126	90

Vậy các bộ hai số tự nhiên cần tìm là: (18; 144); (36; 126); (72; 90).

Học tốt Ước chung. Ước chung lớn nhất

Các bài học để học tốt Ước chung. Ước chung lớn nhất Toán lớp 6 hay khác:

• Giải sgk Toán 6 Bài 11: Ước chung. Ước chung lớn nhất

• Giải sbt Toán 6 Bài 11: Ước chung. Ước chung lớn nhất