Lý thuyết Toán 8 Cánh diều Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Lý thuyết Toán 8 Cánh diều Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến

A. Lý thuyết

1. Cộng hai đa thức

Để cộng hai đa thức theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

- Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang;

- Nhóm các đơn thức: đồng dạng với nhau

- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ: Cho hai đa thức A = x² + 2xy + y² và B = x² – 2xy + y²

Ta có: A + B = ( x² + 2xy + y²) + ( x² – 2xy + y²)

                 = x² + 2xy + y² + x² – 2xy + y²

                 = (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

                 = 2x² + 2y²

2. Trừ hai đa thức

Để trừ hai đa thức P cho đa thức Q theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

- Viết P – Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc;

- Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn của đa thức Q, nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;

- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ: Cho hai đa thức A = x² + 2xy + y² và B = x² – 2xy

Ta có:

A – B = ( x² + 2xy + y²) – ( x² – 2xy)

= x² + 2xy + y² – x² + 2xy

= (x² - x²) + (2xy + 2xy) + y²

= 4xy + y²

3. Nhân hai đa thức

3.1. Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức nhiều biến ta có thể làm như sau:

- Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau:

- Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Ví dụ: 3xy . 2x²y³ = (3 . 2)(xyx²y³) = 6x³y⁴.

3.2. Nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

xy² . (x + y + y²) = xy²x + xy²y + xy² y²

= x²y² + xy³ + xy⁴.

3.3. Nhân hai đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau/

Ví dụ: (x + y)(x – y) = x² – xy + xy – y² = x² – y² .

4. Chia đa thức cho đơn thức

4.1. Phép chia hết một đơn thức cho một đơn thức

- Đơn thức A chia hết cho đơn thức B (B ≠ 0) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

- Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta có thể làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B;

+ Chia lũy thừa của từng biến trong đơn thức A cho từng lũy thừa của cùng biến đó trong B;

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Ví dụ:

(20x⁴y²z³) : (4xyz) = (20 : 4)(x⁴ : x)(y² : y)(z³ : z)

= 5x³yz²

4.2. Phép chia hết một đa thức cho một đơn thức

- Đa thức A chia hết cho đơn thức B (B ≠ 0) khi mỗi đơn thức của A chia hết cho B.

- Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta chia mỗi đơn thức của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

(15x²y³ + 25xy² – 35x⁴y⁴) : (5xy)

= (15x²y³ : 5xy) + (25xy² : 5xy) – (35x⁴y⁴ : 5xy)

= 3xy² + 5y – 7x³y³

B. Bài tập luyện tập

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) (x – y)(x² + 2xy + y²);

b) (x + 2y)(3xy +5y² + x).

Hướng dẫn giải

a) (x – y)(x² + 2xy + y²)

= x . x² + x . 2xy + x . y² + (–y) . x² + (–y) . 2xy + (–y) . y²

= x³ + 2x²y + xy² – x²y – 2xy² – y³

= x³ + x²y – xy² – y³

b) (x + 2y)(3xy +5y² + x)

= x . 3xy + x . 5y²  + x . x + 2y . 3xy + 2y . 5y²  + 2y . x

= 3x²y + 5xy² + x² + 6xy² + 10y³ + 2xy

= 3x²y + 11xy² + x² + 10y³ + 2xy

Bài 2. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

A = (x + y)(x – y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²) tại x = 1,2; y = 3

Hướng dẫn giải

A = (x + y)(x – y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²) + 5xy

= x . x – x . y + y . x  + y . (–y) + (xy⁴ : xy²) – (x³y² : xy²) + 5xy

= x² – xy + xy – y² + y² – x² + 5xy

= 5xy

Thay x = 1,2; y = 3 vào biểu thức A, ta được:

A = 5 . 1,2 . 3 = 18.

Vậy với x = 1,2; y = 3 thì A = 18.