Lý thuyết Toán 8 Cánh diều Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

❮ Bài trước Bài sau ❯

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Lý thuyết Toán 8 Cánh diều Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

A. Lý thuyết

1. Phép cộng các phân thức đại số

1.1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng các tử thức và giữ nguyên mẫu thức:

$\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$ .

Ví dụ: $\frac{x + 3}{x y} + \frac{y - 3}{x y} = \frac{(x + 3) + (y - 3)}{x y} = \frac{x + 3 + y - 3}{x y} = \frac{x + y}{x y}$ .

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng. Ta thường viết tổng này dưới dạng rút gọn.

1.2. Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Ví dụ:

$\frac{2 - x}{x y + x} + \frac{3}{y + 1} = \frac{2 - x}{x (y + 1)} + \frac{3}{y + 1}$

$= \frac{2 - x}{x (y + 1)} + \frac{3 x}{x (y + 1)} = \frac{2 - x + 3 x}{x (y + 1)} = \frac{2 + 2 x}{x (y + 1)}$ .

1.3. Tính chất của phép cộng phân thức

Giống như phép cộng phân số, phép cộng phân thức cũng có các tính chất sau: giao hoán, kết hợp, cộng với 0.

Ví dụ:

$P = \frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{x + 1}{x + 3} + \frac{3 - x}{x^{2} + 6 x + 9}$

$= (\frac{2 x}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{3 - x}{x^{2} + 6 x + 9}) + \frac{x + 1}{x + 3}$

$= \frac{2 x + 3 - x}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{x + 1}{x + 3}$

$= \frac{x + 3}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3}$

$= \frac{1}{x + 3} + \frac{x + 1}{x + 3}$

$= \frac{x + 2}{x + 3}$ .

2. Phép trừ các phân thức đại số

2.1. Quy tắc trừ hai phân thức

- Muốn trừ hai phân thức cùng mẫu, ta trừ tử của hân thức bị trù cho tử của phân thức trừ và giữ nguyên mẫu:

$\frac{A}{M} - \frac{B}{M} = \frac{A - B}{M}$ .

- Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

Ví dụ:

• $\frac{3 x + y}{x + y} - \frac{2 x - 2 y}{x + y} = \frac{(3 x + y) - (2 x - 2 y)}{x + y}$

$= \frac{3 x + y - 2 x + 2 y}{x + y} = \frac{x + 3 y}{x + y}$ .

• $\frac{2 - x}{x y + x} - \frac{3}{y + 1} = \frac{2 - x}{x (y + 1)} - \frac{3}{y + 1}$

$= \frac{2 - x}{x (y + 1)} - \frac{3 x}{x (y + 1)} = \frac{2 - x - 3 x}{x (y + 1)} = \frac{2 - 4 x}{x (y + 1)}$ .

Chú ý: Kết quả của phép trừ hai phân thức được gọi là hiệu. Ta thường viết hiệu này dưới dạng rút gọn.

2.2. Phân thức đối

- Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ kí hiệu là $- \frac{A}{B}$ . Ta có $\frac{A}{B} + (- \frac{A}{B}) = 0$ .

- Ta có: $- \frac{A}{B} = \frac{- A}{B} = \frac{A}{- B}$ .

- Phân thức đối của phân $- \frac{A}{B}$ là $\frac{A}{B}$ , tức là $- (- \frac{A}{B}) = \frac{A}{B}$ .

- Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ , ta có thể cộng $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của phân thức $\frac{C}{D}$ , tức là $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (- \frac{C}{D})$ .

Ví dụ:

Phân thức đối của phân thức $\frac{2 x}{x + y}$ là $- \frac{2 x}{x + y}$ .

$\frac{x - 3 y}{x - y} - \frac{2 y}{y - x} = \frac{x - 3 y}{x - y} + (- \frac{2 y}{y - x})$

$= \frac{x - 3 y}{x - y} + \frac{2 y}{x - y} = \frac{x - 3 y + 2 y}{x - y} = \frac{x - y}{x - y} = 1.$

B. Bài tập luyện tập

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{3 x + 2}{2} + \frac{2 x - 1}{2}$ ;

b) $\frac{3 x - 2 y}{x - y} + \frac{x + 2 y}{y - x}$ ;

c) $\frac{2 x + 1}{x^{2} - 4} + \frac{x - 1}{x - 2}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\frac{3 x + 2}{2} + \frac{2 x - 1}{2} = \frac{(3 x + 2) + (2 x - 1)}{2}$

$= \frac{3 x + 2 + 2 x - 1}{2} = \frac{5 x + 1}{2}$ .

b) $\frac{3 x - 2 y}{x - y} + \frac{x + 2 y}{y - x} = \frac{3 x - 2 y}{x - y} + (- \frac{x + 2 y}{x - y})$

$= \frac{3 x - 2 y - x - 2 y}{x - y} = \frac{2 x - 4 y}{x - y}$ .

c) $\frac{2 x + 1}{x^{2} - 4} + \frac{x - 1}{x - 2}$

$\begin{array}{l} = \frac{2 x + 1}{(x - 2) (x + 2)} + \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} \end{array}$

$= \frac{2 x + 1}{(x - 2) (x + 2)} + \frac{x^{2} + 2 x - x - 2}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{2 x - 1 + x^{2} + 2 x - x - 2}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{x^{2} + 3 x - 3}{(x - 2) (x + 2)}$ .

Bài 2. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 1}$ ;

b) $\frac{12}{x^{2} - 9} - \frac{2}{x - 3}$ ;

c) $\frac{1}{x - 5 x^{2}} - \frac{25 x - 15}{25 x^{2} - 1}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 1} = \frac{1 (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} - \frac{1 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)}$

$= \frac{x + 1 - x + 2}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{3}{(x + 1) (x - 2)}$ .

b) $\frac{12}{x^{2} - 9} - \frac{2}{x - 3}$

$= \frac{12}{(x - 3) (x + 3)} - \frac{2 (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

$= \frac{12 - 2 x - 6}{(x - 3) (x + 3)}$ $= \frac{- 2 x + 6}{(x - 3) (x + 3)}$

$= \frac{- 2 (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)}$ $= \frac{- 2}{x + 3}$ .

c) $\frac{1}{x - 5 x^{2}} - \frac{25 x - 15}{25 x^{2} - 1}$

$= \frac{1}{x (1 - 5 x)} - [- \frac{25 x - 15}{(1 - 5 x) (1 + 5 x)}]$

$= \frac{1 (1 + 5 x)}{x (1 - 5 x) (1 + 5 x)} + \frac{(25 x - 15) x}{x (1 - 5 x) (1 + 5 x)}$

$= \frac{1 + 5 x + 25 x - 15}{x (1 - 5 x) (1 + 5 x)} = \frac{30 x - 14}{x (1 - 5 x) (1 + 5 x)}$ .

Bài 3. Sử dụng quy tắc đổi dấu thực hiện phép tính sau theo cách hợp lí:

$\frac{4 x^{2} - 3 x + 17}{x^{3} - 1} + \frac{2 x - 1}{x^{2} + x + 1} + \frac{6}{1 - x}$ .

Hướng dẫn giải

$\frac{4 x^{2} - 3 x + 17}{x^{3} - 1} + \frac{2 x - 1}{x^{2} + x + 1} + \frac{6}{1 - x}$

$= \frac{4 x^{2} - 3 x + 17}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{2 x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{6}{x - 1}$

$= \frac{4 x^{2} - 3 x + 17}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{(2 x - 1) (x - 1)}{(x^{2} + x + 1) (x - 1)} - \frac{6 (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

$= \frac{4 x^{2} - 3 x + 17 + 2 x^{2} - 2 x - x + 1 - 6 x^{2} - 6 x - 6}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

$= \frac{- 12 x + 12}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{- 12 (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

$= \frac{- 12}{x^{2} + x + 1}$ .

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯