Lý thuyết Toán 8 Cánh diều Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

❮ Bài trước Bài sau ❯

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Lý thuyết Toán 8 Cánh diều Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

A. Lý thuyết

1. Phép nhân các phân thức đại số

1.1. Quy tắc nhân hai phân thức đại số

Muốn nhân hai phân thức đại số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau:

$\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{A . C}{B . D}$ .

Ví dụ: $\frac{2 x}{x + 1} . \frac{3}{y} = \frac{2 x . 3}{(x + 1) y} = \frac{6 x}{x y + y}$ .

Chú ý: Kết quả phép nhân hai phân thức được gọi là tích. Ta thường viết tích này dưới dạng rút gọn.

1.2. Tính chất của phép nhân phân thức

- Giao hoán: $\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{C}{D} . \frac{A}{B};$

- Kết hợp: $(\frac{A}{B} . \frac{C}{D}) . \frac{M}{N} = \frac{A}{B} . (\frac{C}{D} . \frac{M}{N});$

- Phân phối đối với phép cộng: $\frac{A}{B} . (\frac{C}{D} + \frac{M}{N}) = \frac{A}{B} . \frac{C}{D} + \frac{A}{B} . \frac{M}{N}$ ;

- Nhân với số 1: $\frac{A}{B} .1 = 1. \frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ .

Ví dụ:

• Giao hoán: $\frac{x}{3 y} . \frac{2}{y} = \frac{2}{y} . \frac{x}{3 y}$ .

• Kết hợp: $(\frac{3 x}{2 y} . \frac{2}{x}) . \frac{1}{2 x} = \frac{3 x}{2 y} (\frac{2}{x} . \frac{1}{2 x})$ .

• Phân phối vđối với phép cộng: $\frac{2}{x} (\frac{1}{2 x} + \frac{3 y}{x + 1}) = \frac{2}{x} . \frac{1}{2 x} + \frac{2}{x} . \frac{3 y}{x + 1}$ .

• Nhân với số 1: $\frac{4}{x + 2} .1 = 1. \frac{4}{x + 2} = \frac{4}{x + 2}$ .

2. Phép chia các phân thức đại số

2.1. Phân thức nghịch đảo

Phân thức $\frac{B}{A}$ được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{A}{B}$ với A, B là các đa thức khác 0.

Ví dụ: Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{x + 1}{2 y - 1}$ là $\frac{2 y - 1}{x + 1}$ .

2.2. Phép chia phân thức đại số

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0, ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$ .

$\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{A}{B} . \frac{D}{C}$ với $\frac{C}{D}$ khác 0.

Ví dụ: $\frac{2 y - 1}{x + 1} : \frac{4 y - 2}{3} = \frac{2 y - 1}{x + 1} . \frac{3}{4 y - 2}$

$= \frac{2 y - 1}{x + 1} . \frac{3}{2 . (2 y - 1)} = \frac{3}{2 x + 2}$ .

B. Bài tập luyện tập

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{2 x + 3}{2 x - 4} . \frac{x - 2}{4 x + 6}$ ;

b) $\frac{x y - 1}{x + 3} . {(x + 3)}^{2}$ ;

c) $\frac{x^{3} - 1}{x + 2} . \frac{2 x + 4}{x^{2} + x + 1}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2 x + 3}{2 x - 4} . \frac{x - 2}{4 x + 6} = \frac{2 x + 3}{2 (x - 2)} . \frac{x - 2}{2 (2 x + 3)} = \frac{1}{4}$ .

b) $\frac{x y - 1}{x + 3} . {(x + 3)}^{2} = (x y - 1) (x + 3) = x^{2} y + 3 x y - x - 3$ .

c) $\frac{x^{3} - 1}{x + 2} . \frac{2 x + 4}{x^{2} + x + 1} = \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x + 2} . \frac{2 (x + 2)}{x^{2} + x + 1}$

$= \frac{(x - 1) .2}{1} = 2 x - 2$ .

Bài 2. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{30 x y^{2}}{5 x} : \frac{6 y}{10 x}$ ;

b) $\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 1} : \frac{x + 2}{x^{2} + 1}$ ;

c) $\frac{3 x - 1}{2 y + 5} : {(3 x - 1)}^{2}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\frac{30 x y^{2}}{5 x} : \frac{6 y}{10 x} = \frac{30 x y^{2}}{5 x} . \frac{10 x}{6 y}$

$= \frac{6 y . 5 x y}{5 x} . \frac{5 x . 2}{6 y}$ $= \frac{6 y . 5 x y . 5 x . 2}{5 x . 6 y} = 10 x y$ .

b) $\frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 1} : \frac{x + 2}{x^{2} + 1}$

$= \frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 1} . \frac{x^{2} + 1}{x + 2} = \frac{- (x^{2} - 4)}{x^{2} + 1} . \frac{x^{2} + 1}{x + 2}$

$= \frac{- (x - 2) . (x + 2)}{x^{2} + 1} . \frac{x^{2} + 1}{x + 2} = - x + 2$ .

c) $\frac{3 x - 1}{2 y + 5} : {(3 x - 1)}^{2} = \frac{3 x - 1}{2 y + 5} . \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

$= \frac{1}{(2 y + 5) (3 x - 1)}$ .

Bài 3. Tính một cách hợp lí:

$\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 3} . (\frac{x^{2} + 3}{x - 6} - \frac{x^{2} + 3}{x + 6})$ .

Hướng dẫn giải

$\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 3} . (\frac{x^{2} + 3}{x - 6} - \frac{x^{2} + 3}{x + 6})$

$= \frac{(x - 6) (x + 6)}{x^{2} + 3} . [\frac{(x^{2} + 3) (x + 6)}{(x - 6) (x + 6)} - \frac{(x^{2} + 3) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}]$

$= \frac{(x - 6) (x + 6)}{x^{2} + 3} . \frac{(x^{2} + 3) (x + 6) - (x^{2} + 3) (x - 6)}{(x - 6) (x + 6)}$

$= \frac{(x - 6) (x + 6)}{x^{2} + 3} . \frac{(x^{2} + 3) (x + 6 - x + 6)}{(x - 6) (x + 6)}$

$= \frac{(x - 6) (x + 6)}{x^{2} + 3} . \frac{(x^{2} + 3) .12}{(x - 6) (x + 6)} = 12$ .

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯