HĐ8 trang 92 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

HĐ8 trang 92 Toán 11 Tập 2: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến t = $\frac{1}{x}$ , tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ .

b) Với $y = {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ , tính ln y và tìm giới hạn của $\lim_{x \to 0} \ln y$ .

c) Đặt t = e^x – 1. Tính x theo t và tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$ .

Lời giải:

Ta có: t = $\frac{1}{x}$ , nên khi x → 0 thì t → + ∞ do đó:

$\lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to + \infty} {(1 + \frac{1}{t})}^{t} = e$ .

b) Với $y = {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ , ta có:

ln y $= \ln {(1 + x)}^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \ln (1 + x)$ .

Khi đó, $\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$ .

t = e^x – 1 ⇔ e^x = t + 1 ⇔ x = ln(t + 1).

Ta có: $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln (t + 1)} = 1$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác: