HĐ9 trang 93 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

HĐ9 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{h}=1$ và đẳng thức e^{x + h} – e^x = e^x(e^h – 1), tính đạo hàm của hàm số y = e^x tại x bằng định nghĩa.

b) Sử dụng hằng đẳng thức a^x = e^xlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = a^x.

Lời giải:

a)

Với x bất kì và h = x – x₀, ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x_0+h}-e^{x_0}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x_0}\left(e^h-1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }{e}^{x_0}.\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=e^{x_0}$.

Vậy hàm số y = e^x có đạo hàm là hàm số y' = e^x.

b)

Ta có: a^x = e^{x.ln a} nên (a^x)' = (e^{x.ln a})' = (x.ln a)' . e^{x.ln a} = e^{x.ln a}.ln a = a^x.ln a.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 88 Toán 11 Tập 2: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ....

• HĐ1 trang 88 Toán 11 Tập 2: Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xⁿ ....

• HĐ2 trang 88 Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ ....

• HĐ3 trang 89 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng ....

• Luyện tập 1 trang 90 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau ....

• HĐ4 trang 90 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp ....

• Luyện tập 2 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (2x – 3)¹⁰ ....

• HĐ5 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x ....

• Luyện tập 3 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sin \left(\frac{\pi }{3}-3x\right)$ . ....

• HĐ6 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x ....

• Luyện tập 4 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=2cos\left(\frac{\pi }{4}-2x\right)$ . ....

• HĐ7 trang 92 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x ....

• Luyện tập 5 trang 92 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=2{\tan }^{2}x+3\cot \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)$ . ....

• Vận dụng 1 trang 92 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động có phương trình s(t) = $4\cos \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)$ (m) ....

• HĐ8 trang 92 Toán 11 Tập 2: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit ....

• Luyện tập 6 trang 93 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau a) $y=e^{x^2-x}$ ....

• HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit ....

• Luyện tập 7 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = log₂(2x – 1) ....

• Vận dụng 2 trang 94 Toán 11 Tập 2: Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH ....

• Bài 9.6 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x³ – 3x² + 2x + 1 ....

• Bài 9.7 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau ....

• Bài 9.8 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = xsin²x ....

• Bài 9.9 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau y = $2^{3x-x^2}$ ....

• Bài 9.10 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = $2{\sin }^2\left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$ ....

• Bài 9.11 trang 94 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t) = 100 – 4,9t² ....

• Bài 9.12 trang 94 Toán 11 Tập 2: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) = 12 + 0,5sin(4πt) ....