Haylamdo biên soạn và sưu tầm với 15 bài tập trắc nghiệm Tính chất ba đường cao của tam giác Toán lớp 7 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 7.
15 Bài tập Tính chất ba đường cao của tam giác (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7
Câu 1. Cho ∆ABC nhọn có H là trực tâm. Trực tâm của ∆HAB là:
A. Điểm B;
B. Điểm H;
C. Điểm C;
D. Điểm A.
Đáp án đúng là: C
Vì H là trực tâm của ∆ABC nên ta có:
+) AH ⊥ BC;
+) BH ⊥ AC;
+) CH ⊥ AB.
∆HAB có CB ⊥ AH và CA ⊥ BH.
Suy ra CB, CA là hai đường cao của ∆HAB.
Lại có CA cắt CB tại C.
Suy ra C là trực tâm của ∆HAB.
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 2. Cho ∆ABC cân tại A có M là trung điểm BC, đường cao CN cắt AM tại H. Một tính chất của cặp đường thẳng BH và AC là:
A. BH // AC;
B. BH trùng AC;
C. BH cắt AC nhưng không vuông góc với AC;
D. BH ⊥ AC.
Đáp án đúng là: D
∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến.
Suy ra M là trung điểm của BC.
Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
AM là cạnh chung,
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
BM = CM (do M là trung điểm BC).
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).
Suy ra (cặp góc tương ứng).
Lại có (hai góc kề bù).
Suy ra .
Do đó AM ⊥ BC.
Vì vậy AM cũng là đường cao của ∆ABC.
∆ABC có AM, CN là hai đường cao.
Mà H là giao điểm của AM và CN.
Do đó H là trực tâm của ∆ABC.
Suy ra BH ⊥ AC.
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 3. Cho ∆ABC cân tại A. Gọi H là trực tâm của ∆ABC và . Xét hai khẳng định sau:
(I) ∆ABC là tam giác vuông cân;
(II) ∆ABC là tam giác đều.
Chọn câu trả lời đúng.
A. Chỉ (I) đúng;
B. Chỉ (II) đúng;
C. Cả (I) và (II) đều đúng;
D. Cả (I) và (II) đều sai.
Đáp án đúng là: B
Vì H là trực tâm của ∆ABC nên AH ⊥ BC.
Gọi I là giao điểm của AH và BC.
Suy ra AI ⊥ BC.
Xét ∆ABI và ∆ACI, có:
AI là cạnh chung,
,
AB = AC (do ∆ABC cân tại A).
Do đó ∆ABI = ∆ACI (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra (cặp góc tương ứng)
Hay .
Do đó .
Mà ∆ABC cân tại A.
Suy ra ∆ABC là tam giác đều.
Tam giác đều có cả ba góc đều bằng 60° nên tam giác đều không thể là tam giác vuông cân được.
Vì vậy (I) sai, (II) đúng.
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 4. Cho ∆ABC đều có G là trọng tâm của tam giác. Trực tâm của ∆GAB là:
A. Điểm G;
B. Điểm B;
C. Điểm A;
D. Điểm C.
Đáp án đúng là: D
∆ABC đều có G là trọng tâm.
Suy ra AG là đường trung tuyến của ∆ABC.
Gọi M là giao điểm của AG và BC.
Ta suy ra M là trung điểm BC.
Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
AM là cạnh chung,
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
BM = CM (do M là trung điểm BC).
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).
Suy ra (cặp góc tương ứng).
Mà (hai góc kề bù).
Do đó .
Vì vậy AM ⊥ BC hay AG ⊥ BC.
Chứng minh tương tự, ta được CG ⊥ AB.
∆GAB có BC, CG là hai đường cao.
Hơn nữa C là giao điểm của BC và CG.
Do đó C là trực tâm của ∆GAB.
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 5. Cho ∆ABC nhọn có AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trên AH lấy điểm D sao cho . Một tính chất của cặp đường thẳng BD và AC là:
A. BD trùng AC;
B. BD // AC;
C. BD ⊥ AC;
D. BD cắt AC nhưng không vuông góc với AC.
Đáp án đúng là: C
Gọi E là giao điểm của AB và CD.
Xét ∆EBC có: (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra (1).
Xét ∆ABH có: (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra (2).
Lại có (giả thiết) hay (3).
Từ (1), (2), (3), ta suy ra .
Ta có AH ⊥ BC tại H (giả thiết).
Suy ra .
Vì vậy .
Khi đó CE ⊥ AB.
∆ABC có AH, CE là hai đường cao.
Mà D là giao điểm của AH, CE.
Suy ra D là trực tâm của ∆ABC.
Do đó BD ⊥ AC.
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 6. Cho ∆ABC có ba góc nhọn (AB < AC), đường cao AH. Lấy D là điểm thuộc đoạn HC, vẽ DE ⊥ AC (E ∈ AC). Gọi K là giao điểm của AH và DE. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AD // KC;
B. AD trùng KC;
C. AD cắt KC nhưng không vuông góc với KC;
D. AD ⊥ KC.
Đáp án đúng là: D
∆AKC có CH, KE là hai đường cao.
Mà CH cắt KE tại D.
Suy ra D là trực tâm của ∆AKC.
Do đó AD ⊥ KC.
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 7. Cho ∆ABC có , AB < AC. Tia phân giác cắt BC tại D, kẻ BF ⊥ AC tại F, lấy điểm E thuộc AC sao cho AE = AB. Gọi H là giao điểm của AD và BF.
Cho các khẳng định sau:
(I) H là trực tâm của ∆ABE;
(II) .
Chọn câu trả lời đúng nhất.
A. Chỉ (I) đúng;
B. Chỉ (II) đúng;
C. Cả (I), (II) đều đúng;
D. Cả (I), (II) đều sai.
Đáp án đúng là: A
Gọi I là giao điểm của AD và BE.
Xét ∆ABI và ∆AEI, có:
AI là cạnh chung,
AB = AE (giả thiết),
(do AI là đường phân giác của ∆ABE).
Do đó ∆ABI = ∆AEI (c.g.c).
Suy ra (cặp góc tương ứng).
Mà (hai góc kề bù).
Vì vậy .
Do đó AI ⊥ BE.
Suy ra AI là đường cao của ∆ABE.
Mà H là giao điểm của hai đường cao AD và BF.
Suy ra H là trực tâm của ∆ABE.
Do đó (I) đúng.
Vì AI là đường phân giác của ∆ABE nên .
∆AHF vuông tại F: (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)
Suy ra .
Vì H thuộc AI nên ba điểm A, H, I thẳng hàng.
Suy ra (hai góc kề bù)
Do đó .
Vì vậy (II) sai.
Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 8. Cho ∆ABC có , AD vuông góc với BC tại D, BE vuông góc với AC tại E. Gọi F là giao điểm của đường thẳng AD và BE. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB ⊥ FC;
B. AB // FC;
C. AB cắt FC nhưng không vuông góc với FC;
D. AB trùng FC.
Đáp án đúng là: A
Xét ∆FBC có CE và FD là hai đường cao.
Mà CE, FD cắt nhau tại A.
Suy ra A là trực tâm của ∆FBC.
Do đó BA ⊥ FC.
Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 9. Cho ∆ABC cân tại A có , đường cao BH cắt đường trung tuyến AM (M ∈ BC) tại K. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
A. K là trực tâm của ∆ABC;
B. CK ⊥ AB;
C. ;
D. Cả A, B đều đúng.
Đáp án đúng là: D
• ∆ABC có AM là đường trung tuyến.
Suy ra M là trung điểm BC.
Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
AM là cạnh chung,
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
BM = CM (do M là trung điểm BC),
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).
Suy ra (cặp góc tương ứng).
Mà (hai góc kề bù).
Vì vậy .
Do đó AM ⊥ BC.
Suy ra AM là đường cao của ∆ABC.
∆ABC có AM, BH là hai đường cao.
Mà AM cắt BH ở K.
Suy ra K là trực tâm của ∆ABC.
Do đó đáp án A đúng.
• Vì K là trực tâm của ∆ABC nên CK ⊥ AB.
Do đó đáp án B đúng.
• ∆ABC cân tại A nên (tính chất tam giác cân)
Mà (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Do đó
Ta có (cùng phụ với ).
Vì K thuộc AM nên ba điểm A, K, M thẳng hàng.
Suy ra (hai góc kề bù).
Do đó .
Vì vậy đáp án C sai.
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 10. Cho ∆ABC có , , đường cao AH. Trên canh AC lấy điểm D sao cho . Kẻ tia phân giác của cắt BC tại E. Khẳng định nào sau đây sai?
A. ∆ABD cân tại B;
B. ;
C. AE ⊥ BD;
D. .
Đáp án đúng là: A
• Xét ∆BCD có (tính chất góc ngoài của tam giác)
Suy ra .
Do đó đáp án D đúng.
• Xét ∆ABC có: (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra
Do đó .
Mà
Suy ra .
Vì vậy .
Do đó đáp án B đúng.
•Ta có .
Suy ra ∆ABD cân tại A.
Do đó đáp án A sai.
• Gọi I là giao điểm của AE và BD.
Xét ∆ABI và ∆ADI, có:
AI là cạnh chung,
(do AE là tia phân giác của ),
AB = AD (do ∆ABD cân tại A)
Do đó ∆ABI = ∆ADI (c.g.c).
Suy ra (cặp góc tương ứng).
Mà (hai góc kề bù).
Vì vậy .
Suy ra AI ⊥ BD hay AE ⊥ BD.
Vì vậy đáp án C đúng.
Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 11. Cho ∆ABC có BD và CE lần lượt là các đường cao hạ từ B, C và BD = CE. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Khẳng định nào sau đây sai?
A. ∆ABC cân tại A;
B. ∆ABC cân tại B;
C. H là trực tâm của ∆ABC;
D. AH là đường phân giác của ∆ABC.
Đáp án đúng là: B
• Xét ∆DBA và ∆ECA, có:
,
BD = CE (giả thiết),
(cùng phụ với ).
Do đó ∆DBA = ∆ECA (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra AB = AC (cặp cạnh tương ứng).
Vì vậy ∆ABC cân tại A.
Do đó đáp án A đúng.
• Xét ∆ABC có BD, CE là hai đường cao.
Mà BD cắt CE tại H.
Suy ra H là trực tâm của ∆ABC.
Do đó đáp án C đúng.
• ∆ABC có H là trực tâm.
Suy ra AH là đường cao thứ ba của ∆ABC.
Gọi F là giao điểm của AH và BC.
Ta suy ra AF ⊥ BC.
Xét ∆ABF và ∆ACF, có:
,
AF là cạnh chung,
AB = AC (do ∆ABC cân tại A).,
Do đó ∆ABF = ∆ACF (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra (cặp góc tương ứng).
Suy ra AF là đường phân giác của ∆ABC hay AH là đường phân giác của ∆ABC.
Do đó đáp án D đúng.
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 12. Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kì (M ≠ A, C). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại N. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại P. Gọi D là giao điểm của AB và CP. Khẳng định nào sau đây sai?
A. M là trực tâm của ∆DBC;
B. DM ⊥ BC;
C. M, N, D thẳng hàng;
D. AB, MN, CP không đồng quy tại điểm D.
Đáp án đúng là: D
• Xét ∆DBC có CA, BP là hai đường cao.
Mà M là giao điểm của CA và BP.
Do đó M là trực tâm của ∆DBC.
Vì vậy đáp án A đúng.
• Vì M là trực tâm của ∆DBC nên DM ⊥ BC.
Do đó đáp án B đúng.
• Ta có DM ⊥ BC (chứng minh trên).
Mà MN ⊥ BC (giả thiết).
Suy ra D, M, N thẳng hàng.
Do đó đáp án C đúng.
•Ta có:
+) D ∈ MN (chứng minh trên);
+) D ∈ AB (giả thiết);
+) D ∈ CP (giả thiết).
Suy ra AB, MN, CP cùng đồng quy tại điểm D.
Do đó đáp án D sai.
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 13. Cho ∆ABC vuông tại A, đường trung tuyến BM. Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AB tại D. Vẽ điểm E sao cho M là trung điểm DE. Cho các khẳng định sau:
(I) M là trực tâm của DBCD.
(II) AE // DC.
(III) AE ⊥ BM;
Số khẳng định đúng là:
A. 0;
B. 1;
C. 2;
D. 3.
Đáp án đúng là: D.
• Xét ∆DBC có CA, DM là hai đường cao.
Mà M là giao điểm của CA và DM.
Do đó M là trực tâm của ∆DBC.
Suy ra BM ⊥ CD (1).
Do đó (I) đúng.
• Xét ∆MEA và ∆MDC, có:
MA = MC (do BM là đường trung tuyến của ∆ABC),
(hai góc đối đỉnh),
ME = MD (do M là trung điểm DE).
Do đó ∆MEA = ∆MDC (c.g.c)
Suy ra (cặp góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Nên AE // CD (2).
Do đó (II) đúng.
Từ (1), (2), ta suy ra BM ⊥ AE.
Do đó (III) đúng.
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 14. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH và CH. Một tính chất của cặp đường thẳng BM và AN là:
A. BM trùng AN;
B. BM cắt AN nhưng không vuông góc với AN;
C. BM ⊥ AN;
D. BM // AN.
Đáp án đúng là: C
Trên tia đối của tia NM, lấy điểm M' sao cho NM = NM'.
Xét ∆NMH và ∆NM'C, có:
NM = NM' (theo cách vẽ),
(hai góc đối đỉnh),
HN = CN (do N là trung điểm CH).
Do đó ∆NMH = ∆NM'C (c.g.c)
Suy ra MH = M'C và (các cặp cạnh và cặp góc tương ứng).
Ta có (chứng minh trên).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Ta suy ra HM // CM’ hay AM // CM’.
Xét ∆AMM’ và ∆M’CA, có:
AM = CM’ (= MH).
(cặp góc so le trong của AM // CM’).
AM’ là cạnh chung.
Do đó ∆AMM’ = ∆M’CA (c.g.c)
Suy ra (cặp góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Ta suy ra AC // MM’.
Mà AC ⊥ AB (do ∆ABC vuông tại A).
Suy ra MM’ ⊥ AB hay MN ⊥ AB.
∆ABN có AH, MN là hai đường cao.
Mà M là giao điểm của AH và MN.
Suy ra M là trực tâm của ∆ABN.
Do đó BM ⊥ AN.
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 15. Cho ∆ABC cân tại A có . Kẻ đường trung tuyến AM, đường trung trực của cạnh AC cắt AB tại D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = BD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. BE vuông góc với AC;
B. CD vuông góc với AB;
C. Ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy tại một điểm;
D. Ba đường thẳng AM, BE, CD không đồng quy tại một điểm.
Đáp án đúng là: D
• Vì điểm D thuộc đường trung trực của cạnh AC nên DA = DC.
Do đó ∆ACD cân tại D.
Suy ra (tính chất tam giác cân)
• Xét ∆ACD cân tại D có
Nên ∆ACD vuông cân tại D.
Suy ra CD ⊥ AB.
Vì vậy đáp án B đúng.
• Xét ∆BCD và ∆CBE, có:
BC là cạnh chung.
CE = BD (giả thiết).
(do ∆ABC cân tại A).
Do đó ∆BCD = ∆CBE (c.g.c)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Vì vậy BE ⊥ AC.
Do đó đáp án A đúng.
• Vì ∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến.
Suy ra M là trung điểm BC.
Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
AM là cạnh chung,
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
BM = CM (do M là trung điểm BC).
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).
Suy ra (cặp góc tương ứng).
Mà (hai góc kề bù).
Suy ra .
Do đó AM ⊥ BC.
Vì vậy AM là đường cao của ∆ABC.
∆ABC có AM, BE, CD là ba đường cao.
Suy ra AM, BE, CD đồng quy tại một điểm, điểm đó là trực tâm của ∆ABC.
Do đó đáp án C đúng, đáp án D sai.
Vậy ta chọn đáp án D.
Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 7 Cánh diều có đáp án hay khác:
