Tính chất ba đường cao của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay nhất, chi tiết sách Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Tính chất ba đường cao của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) - Cánh diều

Lý thuyết Tính chất ba đường cao của tam giác

1. Đường cao của tam giác

– Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là một đường cao của tam giác đó.

Trong hình vẽ trên, đoạn thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC. Đôi khi, ta cũng gọi đường thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC.

Ví dụ: Quan sát hình vẽ dưới đây và xác định các đường cao của tam giác ABC (nếu có):

Hướng dẫn giải

Ta có A là đỉnh của ∆ABC mà AE không vuông góc với BC nên đoạn thẳng AE không là đường cao của ∆ABC.

Ta có B là đỉnh của ∆ABC và BH ⊥ AC tại H nên đoạn thẳng BH là đường cao của ∆ABC.

Ta lại có C là đỉnh của ∆ABC và CK ⊥ AB tại K nên đoạn thẳng CK là đường cao của ∆ABC.

Chú ý:

+ Mỗi tam giác có ba đường cao.

+ Đường cao của tam giác có thể nằm trong, trên cạnh hoặc nằm ngoài tam giác.

2. Tính chất ba đường cao trong tam giác

– Trong một tam giác, ba đường cao cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

Nhận xét: Để xác định trực tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường cao bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Ví dụ: Cho ∆ABC có $\widehat{\text{BAC}}=60°$và hai đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Kẻ CH cắt AB tại M. Tính $\widehat{\text{ACM}}$

Hướng dẫn giải

Theo bài ta có hai đường cao AE và BF cắt nhau tại H nên H là trực tâm của ∆ABC.

Suy ra CH ⊥ AB tại M

Do đó $\widehat{\text{AMC}}=90°$ suy ra ∆AMC vuông tại M

Xét ∆AMC vuông tại M có $\widehat{\text{MAC}}+\widehat{\text{ACM}}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).

Hay $\widehat{\text{ACM}}=90°-\widehat{\text{MAC}}=90°-\widehat{\text{BAC}}=90°-60°=30°$

Vậy $\widehat{\text{ACM}}=30°.$

Bài tập Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài 1. Cho ∆ABC cân tại A có AD⊥ BC tại D. Qua D kẻ DI ⊥ AB tại I biết rằng $\widehat{\text{BDI}}=35°$ . Gọi H là trực tâm của ∆ABC. Tính $\widehat{\text{AHC}}$ .

Hướng dẫn giải

Kẻ CH cắt AB tại K.

Vì H là trực tâm của ∆ABC nên CH ⊥ AB hay CK ⊥ AB tại K.

Ta lại có DI ⊥ AB tại I.

Do đó DI //CK.

Suy ra $\widehat{\text{BDI}}=\widehat{\text{DCH}}=35°$(hai góc ở vị trí đồng vị)

Xét ∆DHC vuông tại D có $\widehat{\text{DHC}}+\widehat{\text{DCH}}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)

Hay $\widehat{\text{DHC}}\text{+ 35}°=90°$

Suy ra $\widehat{\text{DHC}}=90°-35°=55°.$

Ta lại có $\widehat{\text{DHC}}+\widehat{\text{AHC}}=180°$ (hai góc kề bù)

Hay $55°+\widehat{\text{AHC}}=180°$

Suy ra $\widehat{\text{AHC}}=180°-55°=135°$

Vậy $\widehat{\text{AHC}}=135°$ .

Bài 2. Cho ∆ABC cân tại A, vẽ BD ⊥ AC và CE ⊥ AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:

a) AH ⊥ BC.

b) AH là đường trung trực của ED.

Hướng dẫn giải

a) Theo bài ta có BD ⊥ AC và CE ⊥ AB do đó BD, CE là đường cao của ∆ABC.

Mà H là giao điểm của BD và CE.

Vì vậy H là trực tâm của ∆ABC.

Suy ra AH ⊥ BC (tính chất đường cao trong tam giác)

Vậy AH ⊥ BC.

b) • Xét ∆ACE và ∆ABD có:

$\widehat{\text{AEC}}=\widehat{\text{ADB}}=90°$ (vì BD ⊥ AC tại D và CE ⊥ AB tại E),

$\widehat{\text{BAC}}$ là góc chung,

AC = AB (vì ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ACE = ∆ABD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AE = AD (hai cạnh tương ứng)

Suy ra A nằm trên đường trung trực của ED (4)

• Ta có ∆ACE = ∆ABD (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{\text{ACE}}=\widehat{\text{ABD}}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{\text{DCH}}=\widehat{\text{EBH}}$

Ta lại có AB = AE + BE (1)

AC = AD + DC (2)

Mà AB = AC; AE = AD (chứng minh trên) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BE = CD.

Xét ∆BEH và ∆CDH có:

$\widehat{\text{BEH}}=\widehat{\text{CDH}}=90°$,

BE = CD (chứng minh trên),

$\widehat{\text{EBH}}=\widehat{\text{DCH}}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆BEH = ∆CDH (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra HE = HD (hai cạnh tương ứng)

Vì HE = HD nên H nằm trên đường trung trực của ED (5)

Từ (4) và (5) suy ra A, H nằm trên đường trung trực của ED.

Hay AH là đường trung trực của ED.

Vậy AH là đường trung trực của ED.

Bài 3. Cho ∆ABC có $\hat{\text{A}}=60°$ và BD, CE lần lượt là các đường cao hạ từ B, C sao cho BD = CE. Gọi H là giao điểm của BD và CE.

a) Chứng minh: ∆ABC đều.

b) Tính $\widehat{\text{BHC}}$.

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆BDC và ∆CEB có:

$\widehat{\text{BDC}}=\widehat{\text{CEB}}=90°$(vì BD, CE là đường cao ∆ABC),

BD = CE (giả thiết),

BC là cạnh chung.

Do đó ∆BDC = ∆CEB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\text{BCD}}=\widehat{\text{CBE}}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}.$

Xét ∆ABC có $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}$ suy ra ∆ABC cân tại A.

∆ABC cân tại A có $\widehat{\text{BAC}}=60°$ (giả thiết)

Do đó ∆ABC là tam giác đều.

Vậy ∆ABC là tam giác đều.

b) Xét DACE vuông tại E có $\widehat{\text{EAC}}+\widehat{\text{ACE}}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°) (1)

Xét DDHC vuông tại D có $\widehat{\text{DHC}}+\widehat{\text{HCD}}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)

Hay $\widehat{\text{DHC}}+\widehat{\text{ACE}}=90°$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{EAC}}=\widehat{\text{DHC}}=60°.$

Ta có $\widehat{\text{BHC}}+\widehat{\text{DHC}}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{\text{BHC}}=180°-\widehat{\text{DHC}}=180°-60°=120°$

Vậy $\widehat{\text{BHC}}=120°$ .

Bài 4. Cho ∆ABC cân tại A có đường cao AD. Kẻ DI ⊥ AB tại I, lấy điểm M trên AB sao cho I là trung điểm BM.

a) Chứng minh rằng: $\text{DM =}\frac{1}{2}\text{BC.}$

b) Gọi H là giao điểm của CM và AD. Chứng minh: H là trực tâm của ∆ABC.

Hướng dẫn giải

a) Theo bài ta có: DI ⊥ AB tại I mà I là trung điểm của BM (giả thiết)

Do đó DI là trung trực của BM.

Suy ra DB = DM (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

$\widehat{\text{ADB}}=\widehat{\text{ADC}}=90°$ (vì AD ⊥ BC tại D),

AB = AC (vì ∆ABC cân tại A),

AD là cạnh chung.

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra DB = DC (hai cạnh tương ứng)

Suy ra D là trung điểm của BC.

Do đó $\text{BD =}\frac{1}{2}BC$ .

Mà DB = DM (chứng minh trên)

Suy ra $\text{DM =}\frac{1}{2}\text{BC}$

Vậy $\text{DM =}\frac{1}{2}\text{BC}$ .

b) Theo phần a ta có : DM = DB = DC

Xét ∆DBM có DM = DB suy ra ∆DBM cân tại D

Do đó $\widehat{\text{DBM}}=\widehat{\text{DMB}}$ (tính chất tam giác cân) (1)

Xét ∆DMC có DM = DC suy ra ∆DMC cân tại D

Do đó $\widehat{\text{DMC}}=\widehat{\text{DCM}}$ (tính chất tam giác cân) (2)

Xét ∆BMC có: $\widehat{\text{BMC}}+\widehat{\text{MBC}}+\widehat{\text{MCB}}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác)

Hay $\widehat{\text{BMC}}+\widehat{\text{MBD}}+\widehat{\text{MCD}}=180°$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{\text{BMC}}+\widehat{\text{BMD}}+\widehat{\text{DMC}}=180°$

Hay $\widehat{\text{BMC}}+\widehat{\text{BMC}}=180°$

Suy ra $2\widehat{\text{BMC}}=180°$

Suy ra $\widehat{\text{BMC}}=90°$

Do đó CM ⊥ AB tại M.

Hay CM là đường cao của ∆ABC.

Xét ∆ABC có hai đường cao AD và CM cắt nhau tại H.

Suy ra H là trực tâm của ∆ABC (tính chất các đường cao trong tam giác).

Vậy H là trực tâm của ∆ABC.

Học tốt Tính chất ba đường cao của tam giác

Các bài học để học tốt Tính chất ba đường cao của tam giác Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

• Giải sbt Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác