Người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng là một phần mặt cầu bằng phần mềm 3D

Người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng là một phần mặt cầu bằng phần mềm 3D.

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5

Bài 11 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng là một phần mặt cầu bằng phần mềm 3D.

Cho biết phương trình bề mặt của lều là (S): (x – 3)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 9, phương trình mặt phẳng chứa cửa lều là (P): x = 2, phương trình chứa sàn lêu là (Q): z = 0. Tìm tâm và bán kính đường tròn cửa lều và đường tròn sàn lều.

Lời giải:

Bề mặt của lều (S): (x – 3)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 9 có tâm I(3; 3; 1), bán kính R = 3.

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P): x = 2.

Ta có vectơ chỉ phương của d là ${\vec{a}}_{d} = (1; 0; 0)$

Suy ra d có phương trình tham số $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 3 \\ z = 1 \end{cases}$

Gọi A(3 + t; 3; 1) là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P): x = 2, ta được (3 + t) – 2 = 0 hay t = −1, suy ra A(2; 3; 1).

Bán kính r₁ của đường tròn có cửa lều là:

r₁ = $\sqrt{R^{2} - I A^{2}} = \sqrt{9 - 1} = 2 \sqrt{2}$

Vậy đường tròn cửa lều có tâm A(2; 3; 1), bán kính r₁ = $2 \sqrt{2}$

Gọi d' là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (Q): z = 0.

Ta có vectơ chỉ phương của d' là ${\vec{u}}_{d^{'}}$ = (0; 0; 1)

Suy ra d' có phương trình tham số: $\{\begin{cases} x = 3 \\ y = 3 \\ z = 1 + t . \end{cases}$

Gọi B(3; 3; 1 + t) là hình chiếu vuông góc của I trên (Q). Thay tọa độ của điểm B vào phương trình (Q): z = 0 ta được 1 + t = 0, suy ra t = −1, suy ra B(3; 3; 0).

Bán kính r₁ của đường tròn sàn lều là: r₂ = $\sqrt{R^{2} - I B^{2}} = \sqrt{9 - 1} = 2 \sqrt{2}$

Vậy đường tròn sàn lều có tâm B(3; 3; 0), bán kính r₂ = $2 \sqrt{2}$

Lời giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯