Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

– Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng

ax + by + c < 0; ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ 0,

trong đó a, b, c là những số cho trước; a, b không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn.

Ví dụ: Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 5x + 2y – 4 < 0;

b) 5x + 2y – 3z > 3;

c) x – y² ≤ 0;

d) x – 2y ≥ 3.

Hướng dẫn giải

a) Bất phương trình 5x + 2y – 4 < 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c < 0 với a = 5, b = 2 và c = –4.

b) Bất phương trình 5x + 2y – 3z > 3 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình này chứa 3 ẩn x, y, z ở bậc nhất.

c) Bất phương trình x – y² ≤ 0 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình có chứa y².

d) Bất phương trình x – 2y ≥ 3 Û x – 2y – 3 ≥ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≥ 0 với a = 1, b = –2 và c = –3.

2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xét bất phương trình ax + by + c < 0.

Mỗi cặp số (x₀; y₀) thỏa mãn ax₀ + by₀ + c < 0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Chú ý: Nghiệm của các bất phương trình ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ 0 được định nghĩa tương tự.

Ví dụ: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4?

a) (‒1;‒2);

b) (4; ‒1);

c) (0; 0).

Hướng dẫn giải

Bất phương trình 5x + 2y < 4 $\iff$ 5x + 2y – 4 < 0.

a) Với x = ‒1, y = ‒2 ta có: 5.(‒1) + 2.(‒2) – 4 = –13 < 0 nên (‒1;‒2) là nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4.

b) Với x = 4, y = ‒1 ta có: 5.4 + 2.(‒1) – 4 = 14 > 0 nên (4;‒1) là không là nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4.

c) Với x = 0, y = 0 ta có: 5. 0 + 2. 0 – 4 = –4 < 0 nên (0;0) là nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4.

3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

– Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x₀; y₀) sao cho ax₀ + by₀ + c < 0 được gọi là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.

Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a, b không đồng thời bằng 0) xác định một đường thẳng ∆. Đường thẳng ∆ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng, trong đó một nửa (không kể bờ ∆) là tập hợp các điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c > 0, nửa còn lại (không kể bờ ∆) là tập hợp các điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c < 0.

Ta có thể biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c < 0 như sau:

+ Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: ax + by +c = 0.

+ Bước 2: Lấy một điểm (x₀; y₀) không thuộc ∆. Tính ax₀ + by₀ + c.

+ Bước 3: Kết luận

• Nếu ax₀ + by₀ + c < 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) chứa điểm (x₀; y₀).

• Nếu ax₀ + by₀ + c > 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) không chứa điểm (x₀; y₀).

Chú ý: Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≤ 0 (hoặc ax + by + c ≥ 0) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 (hoặc ax + by + c > 0) kể cả bờ.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 2 > 0 trên mặt phẳng tọa độ:

Hướng dẫn giải

• Vẽ đường thẳng ∆: x + 2y – 2 = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(0; 1) và B(2; 0).

• Lấy điểm O (0; 0) không thuộc ∆.

Thay x = 0, y = 0 vào x + 2y – 2 > 0 ta được 0 + 2.0 – 2 = ‒2 > 0 là mệnh đề sai.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ ∆ (không kể bờ ∆) không chứa điểm O (miền nghiệm là miền không bị gạch trên hình).

Bài tập Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là phần tô đậm trong hình vẽ của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét đường thẳng x + y – 2 = 0 là đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 0) và B(0; 2). Do đó ta loại phương án C và D.

Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình ta có 0 + 0 = 0 ≤ 2 là mệnh đề đúng, vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Do vậy miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ là đường thẳng x + y = 2) và chứa điểm O(0; 0) (phần tô đậm).

Theo hình vẽ ta chọn phương án A.

Câu 2. Cho các khẳng định sau:

(I) 2x + y – 1 = 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

(II) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

(III) Điểm A(0; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 1 > 0.

(IV) Cặp số (x; y) = (3; 4) là nghiệm của bất phương trình x + y > 0.

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét câu (I): 2x + y – 1 = 0 là phương trình bậc nhất hai ẩn, do đó câu (I) sai.

Xét câu (II): Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm, do đó câu (II) đúng.

Xét câu (III): Thay x = 0, y = 1 vào bất phương trình x + 2y – 1 > 0 ta có 0 + 2. 1 – 1 = 1 > 0 là mệnh đề đúng, vậy điểm A(0; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 1 > 0, do đó câu (III) đúng.

Xét câu (IV): Thay x = 3, y = 4 vào bất phương trình x + y > 0 ta có 3 + 4 = 7 > 0 là mệnh đề đúng, vậy cặp (x; y) = (3; 4) là nghiệm của bất phương trình x + y > 0, do đó câu (IV) đúng.

Vậy có 3 câu đúng, ta chọn phương án C.

Câu 3. Miền nghiệm của bất phương trình: 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm:

A. (0; 0);

B. (‒4; 2);

C. (‒2; 2);

D. (‒5; 3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3

$\iff$ 3x – 3 + 4y – 8 < 5x – 3

$\iff$ –2x + 4y – 8 < 0

Xét điểm (0; 0): Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình trên ta được:

–2.0 + 4.0 – 8 < 0.

Đây là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình đã cho chứa điểm (0; 0).

Vậy ta chọn phương án A.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 3x + 5y ‒ 7 < 0

b) 2x² – y ‒ 1 > 0

c) 4y² – 3 ≤ 0

d) 4x – 5 < 3y

e) 2x – 5y + 6t ≥ 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

a) Bất phương trình 3x + 5y ‒ 7 < 0 có dạng ax + by + c < 0 với a = 3, b = 5 và c = ‒ 7.

Do đó bất phương trình a) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Bất phương trình 2x² – y ‒ 1 > 0 có chứa x² nên bất phương trình b) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

c) Bất phương trình 4y² – 3 ≤ 0 có chứa ẩn y² nên bất phương trình c) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) Bất phương trình 4x – 5 < 3y$\iff$ 4x – 3y ‒ 5 < 0 có dạng ax + by + c < 0 với a = 4, b = ‒ 3 và c = ‒ 5.

Do đó bất phương trình d) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

e) Bất phương trình 2x – 5y + 6t ≥ 0 là bất phương trình bậc nhất ba ẩn x, y, t.

Do đó bất phương trình e) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy cá bất phương trình 3x + 5y ‒ 7 < 0; 4x – 5 < 3ylà các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2. Bất phương trình sau có phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? Nếu có biểu diễn miền nghiệm của nó trên trục tọa độ Oxy: 2x + y – 4 ≤ 0?

Hướng dẫn giải

– Bất phương trình 2x + y – 4 ≤ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có dạng ax + by + c ≤ 0 với a = 2, b = 1 và c = ‒ 4.

– Biểu diễn miền nghiệm trên trục tọa độ Oxy:

+ Vẽ đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(0; 4) và B(2; 0).

+ Lấy điểm O(0;0) không thuộc ∆.

Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình 2x + y – 4 ≤ 0 ta có: 2. 0 + 0 – 4 = ‒ 4 ≤ 0 là một mệnh đề đúng.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên trục tọa độ Oxy là nửa mặt phẳng bờ ∆ (kể cả bờ ∆) chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm (miền không bị gạch) biểu diễn trên trục tọa độ Oxy:

Bài 3. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: 3x + y < 20. Cặp số (x; y) nào trong các cặp số (2; 5), (4; 8), (5; 6), (4; 7), (11; 12) là nghiệm của bất phương trình trên?

Hướng dẫn giải

Xét bất phương trình: 3x + y < 20 $\iff$ 3x + y – 20 < 0.

Thay (x; y) = (2; 5) vào bất phương trình ta có: 3. 2 + 5 – 20 = –9 < 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp số (2;5) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (4; 8) vào bất phương trình ta có: 3. 4 + 8 – 20 = 0 < 0 là mệnh đề sai. Do đó cặp số (4;8) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (5; 6) vào bất phương trình ta có: 3. 5 + 6 – 20 = 1 < 0 là mệnh đề sai. Do đó cặp số (5;6) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (4; 7) vào bất phương trình ta có: 3. 4 + 7 – 20 = –1 < 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp số (4;7) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay (x; y) = (11; 12) vào bất phương trình ta có: 3. 11 + 12 – 20 = 25 < 0 mệnh đề sai. Do đó cặp số (11;12) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy ta có cặp nghiệm (x; y) là: (2; 5); (4; 7).

Bài 4. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn: x + 4y – 20 ≤ 0.

a) Chỉ ra hai nghiệm của bất phương trình trên.

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên trên hệ trục tọa độ Oxy.

Hướng dẫn giải

a) Chọn (x; y) = (0; 0)

Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình đã cho ta được 0 + 4.0 – 20 = –20 ≤ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (0; 0) là nghiệm của bất phương trình.

Chọn (x; y) = (0; 1)

Thay x = 0 và y = 1 vào bất phương trình đã cho ta được 0 + 4.1 – 20 = – 16 ≤ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (0; 1) là nghiệm của bất phương trình.

Vậy hai cặp số (0; 0) và (0; 1) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Biểu diễn miền nghiệm trên trục tọa độ Oxy:

+ Vẽ đường thẳng ∆: x + 4y – 20 = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(0; 5) và B(20; 0).

+ Lấy điểm O(0;0) không thuộc ∆.

Theo câu a ta thấy cặp số (0; 0) là nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên trục tọa độ Oxy là nửa mặt phẳng bờ ∆ (kể cả bờ ∆) chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm (miền không bị gạch) biểu diễn trên trục tọa độ Oxy:

Học tốt Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Các bài học để học tốt Bất phương trình bậc nhất hai ẩn Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn