Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 1 Chân trời sáng tạo

---

Với tổng hợp lý thuyết Toán lớp 10 Chương 1: Mệnh đề và tập hợp sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 1 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết tổng hợp Toán 10 Chương 1

1. Mệnh đề

– Những khẳng định có tính hoặc đúng hoặc sai được gọi là mệnh đề logic (hay mệnh đề).

– Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.

• Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng.

• Một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.

• Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Chú ý:

+ Người ta thường sử dùng các chữ cái in hoa P, Q, R, … để kí hiệu các mệnh đề.

+ Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là mệnh đề toán học.

Ví dụ 1.

+ “Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0” là một mệnh đề.

+ “Số 2 là số chẵn” là mệnh đề đúng.

+ “Số 2 là số lẻ” là mệnh đề sai.

+ “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề nhưng không phải mệnh đề toán học vì không liên quan đến toán học.

+ “Số  là một số hữu tỉ” là mệnh đề toán học.

2. Mệnh đề chứa biến

– Mệnh đề chứa biến là mệnh đề chưa khẳng định được tính đúng sai, cần có giá trị cụ thể của biến mới có thể khẳng định tính đúng sai của mệnh đề đó.

– Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n).

– Một mệnh đề chứa biến có thể chứa một biến hoặc nhiều biến.

Ví dụ 2.

+ “18 chia hết cho 9”: không phải là mệnh đề chứa biến vì không có biến trong mệnh đề.

+ “3n chia hết cho 9” là mệnh đề chứa biến n.

• Khi n = 3 thì mệnh đề này là mệnh đề đúng.

• Khi n = 4 thì mệnh đề này là mệnh đề sai.

3. Mệnh đề phủ định

– Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu là $\overline{P}$ .

– Mệnh đề P và mệnh đề phủ định $\overline{P}$ của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là khi P đúng thì $\overline{P}$ sai, khi P sai thì $\overline{P}$ đúng.

Nhận xét:

+ Thông thường để phủ định một mệnh đề, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

Ví dụ 3.

+ Mệnh đề $\overline{P}$: “4 không chia hết cho 9” là mệnh đề phủ định của mệnh đề P: “4 chia hết cho 9”.

+ Mệnh đề P: “4 chia hết cho 9” là mệnh đề sai nên mệnh đề phủ định của nó là $\overline{P}$: “4 không chia hết cho 9” là mệnh đề đúng.

4. Mệnh đề kéo theo

– Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu là P ⇒ Q.

– Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Nhận xét:

+ Mệnh đề P ⇒ Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.

+ Để xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q, ta chỉ cần xét trường hợp P đúng.

Khi đó, nếu Q đúng thì mệnh đề đúng, nếu Q sai thì mệnh đề sai. Ta đã quen với điều này khi chứng minh nhiều định lí ở Trung học cơ sở.

Ví dụ 4. Cho hai mệnh đề: P: “9 chia hết cho 9”; Q: “9 chia hết cho 3”.

“Nếu 9 chia hết cho 9 thì 9 chia hết cho 3” là mệnh đề kéo theo có dạng P ⇒ Q.

P là mệnh đề đúng và Q là mệnh đề đúng nên mệnh đề kéo theo P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

– Khi mệnh đề P ⇒ Q là định lí, ta nói:

• P là giả thiết, Q là kết luận của định lí;

• P là điều kiện đủ để có Q;

• Q là điều kiện cần để có P.

Ví dụ 5. Định lí Ta – lét: “Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì đường thẳng đó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ”.

Định lí có mệnh đề P: “Một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại” là giả thiết, mệnh đề Q: “Đường thẳng đó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ” là kết luận.

Khi đó ta cũng có thể phát biểu định lí trên như sau: “Một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại là điều kiện đủ để đường thẳng đó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ”.

5. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

– Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

Ví dụ 6. Cho hai mệnh đề:

P: “n = 0”; Q: “n là số nguyên”.

Mệnh đề P ⇒ Q là “Nếu n = 0 thì n là số nguyên”.

Mệnh đề Q ⇒ P là: “Nếu n là số nguyên thì n = 0”.

+ Mệnh đề Q ⇒ P: “Nếu n là số nguyên thì n = 0” là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu n = 0 thì n là số nguyên”.

+ Mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng còn mệnh đề Q Þ P không đúng.

– Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu là P ⇔ Q (đọc là “P tương đương Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”).

– Khi đó ta cũng nói P là điều kiện cần và đủ để có Q (hay Q là điều kiện cần và đủ để có P).

Nhận xét: Hai mệnh đề P và Q tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng sai.

Ví dụ 7. Cho 2 mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”;

Q: “Tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song”.

Mệnh đề P ⇒ Q là: “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song” là mệnh đề .

Mệnh đề Q ⇒ P là: “Nếu tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song thì tứ giác ABCD là hình bình hành”.

Hai mệnh đề này đều đúng nên P và Q là hai mệnh đề tương đương.

Khi đó ta kí hiệu P ⇔ Q.

6. Mệnh đề chứa kí hiệu ∀ và ∃

– Kí hiệu ∀ đọc là “với mọi”.

– Kí hiệu ∃ đọc là “tồn tại”.

– Mệnh đề “∀x ∈ M, P(x)” đúng nếu với mọi x₀ ∈ M, P(x₀) là mệnh đề đúng.

Mệnh đề “∃x ∈ M, P(x)” đúng nếu có x₀ ∈ M sao cho P(x₀) là mệnh đề đúng.

Ví dụ 8. 

+ Phát biểu “Với mọi số tự nhiên n” có thể kí hiệu là ∀n ∈ ℕ.

+ Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n” có thể kí hiệu là ∃n ∈ ℕ.

+ Với mọi x là số tự nhiên, mệnh đề “x + 1 > 0” là mệnh đề đúng.

Vậy mệnh đề “∀n ∈ ℕ, x + 1 > 0” là mệnh đề đúng.

+ Tồn tại số thực x, mệnh đề “x² ≤ 0” là mệnh đề đúng. Chẳng hạn x = 0.

Vậy mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x² ≤ 0” là mệnh đề đúng.

7. Nhắc lại về tập hợp

– Trong toán học, người ta dùng từ tập hợp để chỉ một nhóm đối tượng nào đó hoàn toàn xác định. Mỗi đối tượng trong nhóm gọi là một phần tử của tập hợp đó.

– Người ta thường kí hiệu tập hợp bằng các chữ cái in hoa A, B, C, … và kí hiệu phần tử của tập hợp bằng các chữ cái in thường a, b, c, ….

– Chú ý: Đôi khi, để ngắn gọn, người ta dùng từ “tập” thay cho “tập hợp”.

Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc là “a thuộc A”). Để chỉ a không là phần tử của tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc là “a không thuộc A”).

Ví dụ 1.

+ Để chỉ 5 là phần tử của tập số tự nhiên ℕ, ta viết 5 ∈ ℕ.

+ Để chỉ –1 không là phần tử của tập số tự nhiên ℕ, ta viết –1 ∉ ℕ.

– Một tập hợp có thể không chứa phần tử nào. Tập hợp như vậy gọi là tập rỗng, kí hiệu ∅.

– Người ta thường kí hiệu các tập hợp số như sau: ℕ là tập hợp các số tự nhiên, ℤ là tập hợp các số nguyên, ℚ là tập hợp các số hữu tỉ, ℝ là tập hợp các số thực.

Ví dụ 2. Muốn kí hiệu phần tử 5 thuộc tập số thực, ta kí hiệu: 5 ∈ ℝ.

*Cách xác định tập hợp

Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;

Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Chú ý:

– Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta có một số chú ý sau đây:

+ Các phần tử có thể được viết theo thứ tự tùy ý.

Chẳng hạn, để viết tập hợp A các nghiệm của phương trình x.(x – 1) = 0, ta có thể viết A = {0; 1} hoặc A = {1; 0}.

+ Mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần.

Chẳng hạn, nếu kí hiệu B là tập hợp các chữ cái tiếng Anh trong từ “mathematics” thì B = {m; a; t; g; e; i; c; s}.

+ Nếu quy tắc xác định các phần tử đủ rõ thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.

Chẳng hạn, tập hợp các số tự nhiên không quá 100 có thể viết là {0; 1; 2; …; 100}.

– Có những tập hợp ta có thể đếm hết các phần tử của chúng. Những tập hợp như vậy được gọi là tập hợp hữu hạn.

Ví dụ 3. Cho tập hợp D các số tự nhiên chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nhưng nhỏ hơn 10. Mô tả tập hợp D theo hai cách:

Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp: D = {6; 9}.

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phẩn tử: D = {n ∈ ℕ | n ⋮ 3, 3 < n < 10}.

8. Tập con và hai tập hợp bằng nhau

– Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nói tập hợp A là tập con của tập hợp B và kí hiệu A ⊂ B (đọc là A chứa trong B), hoặc B ⊃ A (đọc là B chứa A).

Nhận xét:

+ A ⊂ A và ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A.

+ Nếu A không phải là tập con của B thì ta kí hiệu A ⊄ B (đọc là A không chứa trong B hoặc B không chứa A).

+ Nếu A ⊂ B hoặc B ⊂ A thì ta nói A và B có quan hệ bao hàm.

– Trong toán học, người ta thường minh họa một tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường cong kín, gọi là biểu đồ Ven.

Ta có thể minh họa A là tập con của B bằng biểu đồ Ven như hình sau:

Chú ý: Giữa các tập hợp số quen thuộc (tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ, tập số thực), ta có quan hệ bao hàm:  ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Ví dụ 4. Cho tập hợp T = {2; 3; 5}; S = {2; 3; 5; 7; 9}; M = {2; 3; 4; 5}.

+ Tập hợp T là tập con của tập hợp S vì tất cả phần tử của T đều có trong tập hợp S.

Ta kí hiệu T ⊂ S.

+ Tập hợp M không là tập hợp con của tập hợp S vì tập M có phần tử 4 không thuộc tập hợp S.

Ta kí hiệu M ⊄ S.

– Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B, nếu A ⊂ B và B ⊂ A.

Nói cách khác, hai tập hợp A và B bằng nhau nếu mỗi phần tử của tập hợp này cũng là phần tử của tập hợp kia và ngược lại.

Ví dụ 5. Cho 2 tập hợp: T = {n ∈ ℕ | n ⋮ 9, 7 < n < 14} và S = {n ∈ ℕ | n ⋮ 3, 8 < n < 10}.

Tìm các phần tử của T và S ta có T = {9} và S = {9} nên T = S.

9. Một số tập con của tập hợp số thực

Ta thường sử dụng các tập con của tập số thực sau đây (a và b là các số thực, a < b):

Tên gọi và kí hiệu	Tập hợp	Biểu diễn trên trục số
Tập số thực (-∞; +∞)	ℝ
Đoạn [a; b]	{x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
Khoảng (a; b)	{x ∈ ℝ | a < x < b}
Nửa khoảng [a; b)	{x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
Nửa khoảng (a; b]	{x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
Nửa khoảng (-∞; a]	{x ∈ ℝ | x ≤ a}
Nửa khoảng [a; +∞)	{x ∈ ℝ | x ≥ a}
Khoảng (-∞; a)	{x ∈ ℝ | x < a}
Khoảng (a; +∞)	{x ∈ ℝ | x > a}

Trong các kí hiệu trên, kí hiệu –∞ đọc là âm vô cực (âm vô cùng), kí hiệu +∞ đọc là dương vô cực (dương vô cùng).

Ví dụ 6.

• Số x thỏa mãn 2 < x ≤ 6 thì ta kí hiệu x ∈ (2; 6].

Biểu diễn trên trục số:

• Số x thỏa mãn x ≥ 7 thì ta kí hiệu x ∈ [7; +∞).

10. Hợp và giao của các tập hợp

– Cho hai tập hợp A và B.

Tập hợp các phần tử thuộc A hoặc thuộc B gọi là hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B.

A ∪ B = {x| x ∈ A hoặc x ∈ B}.

Tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp A và B gọi là giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B.

A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}.

Nhận xét:

+ Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).

+ Đặc biệt, nếu A và B không có phần tử chung, tức A ∩ B = ∅, thì n(A ∪ B) = n(A) + n(B).

Ví dụ 1.

a) Cho hai tập hợp S = {1; 2; 3; 4} và T = {5; 6; 7}. Hãy xác định N = S ∪ T.

b) Cho hai tập hợp A = {x ∈ ℝ| (2x – x²)(2x² – 3x – 2) = 0} và B = {n ∈ ℕ| 3 < n² < 30}. Hãy xác định A ∩ B.

Hướng dẫn giải

a) Hợp của hai tập hợp S và T là tập hợp N = S ∪ T = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

b) Xét tập hợp A = {x ∈ ℝ| (2x – x²)(2x² – 3x – 2) = 0} ta có (2x – x²)(2x² – 3x – 2) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}2x-x^2=0\\ 2x^2-3x-2=0\end{array}\right.$⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-\frac{1}{2}\\ x=2\end{array}\right.$⇒ A = {0; 2; $\frac{1}{2}$}

Xét tập hợp B = {n ∈ ℕ| 3 < n² < 30} = {2; 3; 4; 5}.

Do đó A ∩ B = {2}.

11. Hiệu của hai tập hợp, phần bù của tập con

– Cho hai tập hợp A và B.

Tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B, kí hiệu A\B.

A\B = {x | x ∈ A và x ∉ B}.

Nếu A là tập con của E thì hiệu E\A gọi là phần bù của A trong E, kí hiệu C_EA.

Chú ý: Trong các chương sau, để tìm các tập hợp là hợp, giao, hiệu, phần bù của những tập con của tập số thực, ta thường vẽ sơ đồ trên trục số.

Ví dụ 2. Cho hai tập hợp S = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} và T = {4; 5; 6; 7}.

Hãy xác định S\T và C_ST.

Hướng dẫn giải

Hiệu của S và T là S\T = {2; 3; 8; 9}.

Ta thấy T là tập con của S nên phần bù của T trong S chính là:

C_ST = S\T = {2; 3; 8; 9}.

Ví dụ 3. Xác định tập hợp:

a) A = [–3; 3] ∩ (1; +∞);

b) B = (7; 12] ∪ (‒∞; 9].

Hướng dẫn giải

a) Để xác định tập hợp A, ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy A = (1; 3].

b) Để xác định tập hợp B, ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy B = (‒∞; 12].

Bài tập tổng hợp Toán 10 Chương 1

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tìm mệnh đề kéo theo của hai mệnh đề “x là số lẻ” và “x chia hết cho 2”.

A. “Nếu x là số lẻ thì x chia hết cho 2”;

B. “Nếu x là số chẵn thì x chia hết cho 2”;

C. “Nếu x không là số lẻ thì x không chia hết cho 2”;

D. “Nếu x chia hết cho 2 thì x là số lẻ”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mệnh đề kéo theo là mệnh đề có dạng “Nếu … (mệnh đề 1) thì … (mệnh đề 2)”.

Vậy mệnh đề kéo theo của hai mệnh đề “x là số lẻ” và “x chia hết cho 2” là “Nếu x là số lẻ thì x chia hết cho 2”.

Ta chọn phương án A.

Câu 2. Mệnh đề chứa biến: “x³ – 3x² + 2x = 0” đúng với giá trị nào của x?

A. x ∈ {0; 2};

B. x ∈ {0; 3};

C. x ∈ {0; 2; 3};

D. x ∈ {0; 1; 2}.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Giải phương trình x³ – 3x² + 2x = 0 ta được nghiệm là x = 0; x = 1; x = 2.

Vậy mệnh đề chứa biến: “x³ – 3x² + 2x = 0” đúng với giá trị x ∈ {0; 1; 2}.

Câu 3. Mệnh đề P ⇒ Q sai khi nào?

A. P đúng, Q đúng;

B. Q đúng, P sai;

C. P sai, Q sai;

D. Q sai, P đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q khi mệnh đề P đúng, do đó để mệnh đề P ⇒ Q sai thì P đúng và Q sai.

Câu 4. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào bằng nhau:

A. A = {0; 2; 4; 6; 8}, B = {x| x ∈ ℕ| x ⋮ 2 và x < 12};

B. A = {x ∈ ℕ| x ⋮ 2 và 2 < x < 6}, B = {x ∈ ℕ| x ⋮ 4 và 1 < x < 5};

C. A = {2; 4; 6; 8}, B = {x ∈ ℕ| x ⋮ 2 và x < 10};

D. A = {x ∈ ℕ| x ⋮ 3 và x < 12}, B = {x ∈ ℕ| x ⋮ 4 và x < 12}.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

• Liệt kê các phần tử của các tập hợp phương án A:

A = {0; 2; 4; 6; 8}; B = {0; 2; 4; 6; 8; 10}.

Vậy tập hợp A không bằng tập hợp B.

• Liệt kê các phần tử của các tập hợp phương án B:

A = {4}; B = {4}.

Vậy tập hợp A bằng tập hợp B.

• Liệt kê các phần tử của các tập hợp phương án C:

A = {2; 4; 6; 8}; A = {0; 2; 4; 6; 8}.

Vậy tập hợp A không bằng tập hợp B.

• Liệt kê các phần tử của các tập hợp phương án D:

A = {0; 3; 6; 9}; B = {0; 4; 8}.

Vậy tập hợp A không bằng tập hợp B.

Ta chọn phương án B.

Câu 5. Tất cả các tập con của tập hợp B = {x| x ∈ ℕ, x < 3} là:

A. {0}, {1}, {2};

B. {0}, {1}, {2}, {0; 1}, {0; 2}, {1; 2};

C. {0}, {1}, {2}, {0; 1}, {0; 2}, {1; 2}; {0; 1; 2};

D. {0}, {1}, {2}, {0; 1}, {0; 2}, {1; 2}; {0; 1; 2}; ∅.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Liệt kê phần tử của tập B: B = {0; 1; 2}.

Các tập hợp {0}, {1}, {2}, {0; 1}, {0; 2}, {1; 2}; {0; 1; 2} đều là tập con của tập B vì đều có các phần tử của tập B, ngoài ra tập rỗng ∅ cũng là tập con của B.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 6. Tập nào dưới đây có biểu diễn trên trục số như sau:

A. (1; 4);

B. (‒1; 4];

C. [‒1; 4];

D. [1; 4).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cách 1:

Ta thấy trên trục số biểu diễn [‒1; 4].

Cách 2:

Phương án A: (1; 4)

Phương án B: (‒1; 4]

Phương án C: [‒1; 4]

Phương án D: [1; 4)

Vậy kí hiệu [‒1; 4] là đúng.

Ta chọn phương án C.

Câu 7. Cho A = {(x; y)| x, y ∈ ℝ, 3x – y = 7}, B = {(x; y)| x, y ∈ ℝ, x – y = 1}.

Tập hợp A ∩ B là:

A. {(3; 2)};

B. {3}, {2};

C. {3; 2};

D. ∅.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tập hợp A ∩ B là tập hợp cặp số (x; y) thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}3x-y=7\\ x-y=1\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}\right.$⇒ (x; y) = (3; 2)

Vậy A ∩ B = {(3; 2)}.

Ta chọn phương án A.

Câu 8. Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào bằng tập hợp M = ℝ\(–∞; 2):

A. A = (‒∞; –2);

B. B = (‒∞; 2);

C. C = (2; +∞);

D. D = [2; +∞).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có tập hợp M = ℝ\(–∞; 2) = [2; +∞).

Vậy phương án D đúng.

Câu 9. Cho các tập hợp A, B, C được minh hoạ bằng biểu đồ Ven như hình vẽ dưới đây:

Phần tô màu xám trong hình vẽ biểu diễn của tập hợp nào sau đây?

A. A ∩ B ∩ C;

B. (A\B) ∪ (A\C);

C. (A ∪ B) \ C;

D. (A ∩ B) \ C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn tập hợp các điểm vừa thuộc A, thuộc B mà không thuộc C.

Đó chính là tập (A ∩ B) \ C.

Ta chọn phương án D.

Câu 10. Cho A = (2; +∞) và B = (m; +∞). Điều kiện cần và đủ của m để B là tập con của A là:

A. m ≤ 2;

B. m = 2;

C. m > 2;

D. m ≥ 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có B ⊂ A khi và chỉ khi mọi phần tử x của B đều thuộc A.

Do đó m ≥ 2.

Vậy ta chon phương án D.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề đúng, mệnh đề sai, mệnh đề chứa biến?

a) “5 là số vô tỉ”;

b) “x chia hết cho y”;

c) “Số 9999 là một số rất đẹp”;

d) “x có phải là số nguyên không?”.

Hướng dẫn giải

a) “5 là số vô tỉ”: là mệnh đề và là mệnh đề sai vì đây là khẳng định sai.

b) “x chia hết cho y”: là mệnh đề chứa biến vì khi x = 6 và y = 2 thì đây là khẳng định đúng, nhưng khi x = 3 và y = 2 thì đây là khẳng định sai.

c) “Số 9999 là một số rất đẹp”: đây không là mệnh đề do không có tính hoặc đúng hoặc sai (do không đưa ra tiêu chí thế nào là số rất đẹp).

d) “x có phải là số nguyên không?”: đây là câu hỏi nên không phải là mệnh đề.

Bài 2. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai mệnh đề phủ định đó:

a) P: “Số 21 chia hết cho 6”.

b) P: “7 là một số nguyên tố”.

Hướng dẫn giải

a) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P: “Số 21 chia hết cho 6” là $\overline{P}$: “Số 21 không chia hết cho 6”. Mệnh đề phủ định này là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P: “7 là một số nguyên tố” là $\overline{P}$: “7 không là một số nguyên tố”. Mệnh đề phủ định này là mệnh đề sai.

Bài 3. Phát biểu mệnh đề và xét mệnh đề đúng hay sai, viết mệnh đề phủ định của mệnh đề sau:

a) ∀x ∈ ℤ, x² ≥ 0.

b) ∃x ∈ ℤ, x < 0.

Hướng dẫn giải

a) Phát biểu mệnh đề: “Mọi số nguyên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng 0”.

Đây là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định là: “∃x ∈ ℤ, x² < 0”.

b) Phát biểu mệnh đề: “Tồn tại số nguyên nhỏ hơn 0”.

Đây là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định là: “∀x ∈ ℤ, x ≥ 0”.

Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC có ba góc bằng nhau”.

Q: “Tam giác ABC là tam giác đều”.

Hai mệnh đề P và Q có tương đương nhau không? Nếu có, phát biểu bằng nhiều cách?

Hướng dẫn giải

– Ta có:

• P ⇒ Q: “Tam giác ABC có ba góc bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều”.

Do đó mệnh đề P ⇒ Q đúng.

• Q ⇒ P: “Tam giác ABC là tam giác đều thì tam giác ABC có ba góc bằng nhau”.

Do đó mệnh đề Q ⇒ P đúng.

• P và Q là hai mệnh đề tương đương nhau bởi hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng.

– Phát biểu nhiều cách:

+ Tam giác ABC có ba góc bằng nhau tương đương tam giác ABC là tam giác đều.

+ Tam giác ABC có ba góc bằng nhau khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.

+ Để tam giác có ba góc bằng nhau, điều kiện cần và đủ là tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 5. Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp:

a) A = {0; 4; 8; 12}.

b) B = {15; 24; 35; 48}.

Hướng dẫn giải

a) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 4, x < 13}.

b) B = {n ∈ ℕ | n² – 1, 3 < n < 8}.

Bài 6. Hãy viết tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:

a) A = {x ∈ ℤ| x² – 1 và ‒1 < x < 2};

b) B = {x ∈ ℝ | x ⋮ 5, 0 ≤ x < 50}.

Hướng dẫn giải

a) A = {1; 0}.

b) B = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45}.

Bài 7. Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng viết tập hợp sau và vẽ chúng trên trục số:

a) {x ∈ ℝ | 7 < x ≤ 12}.

b) {x ∈ ℝ | x + 5 ≤ 0}.

Hướng dẫn giải

a) Kí hiệu: (7; 12].

Biểu diễn trên trục số:

b) Ta có: x + 5 ≤ 0

⇔ x ≤ –5.

Kí hiệu: (‒∞; ‒5].

Biểu diễn trên trục số:

Bài 8. Xác định tập hợp A ∩ B và A ∪ B trong mỗi trường hợp sau:

a) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 4, x < 30}, B = {x ∈ ℕ | x ⋮ 5, x < 30}.

b) C = {x ∈ ℝ| 2x + 4 > 0, x < 5} và D = {x ∈ ℝ| (x + 3)(x – 4) ≤ 0}.

Hướng dẫn giải

a) Ta xác định các phần tử của tập hợp A và tập hợp B.

A = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}.

B = {0; 5; 10; 15; 20; 25}.

Suy ra A ∩ B = {0; 20};

A ∪ B = {0; 4; 5; 8; 10; 12; 15; 16; 20; 24; 25; 28}.

b) Ta xác định các phần tử của tập hợp C và tập hợp D.

• Ta có $\left\{\begin{array}{l}2x+4>0\\ x<5\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x>-2\\ x<5\end{array}\right.$⇔ -2 < x < 5

Do đó: C = (–2; 5).

• Ta có: (x + 3)(x – 4) ≤ 0

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x+3\ge 0\\ x-4\le 0\end{array}\right.$hoặc $\left\{\begin{array}{l}x+3\le 0\\ x-4\ge 0\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge -3\\ x\le 4\end{array}\right.$hoặc $\left\{\begin{array}{l}x\le -3\\ x\ge 4\end{array}\right.$(vô lí)

⇔ –3 ≤ x ≤ 4.

Do đó: D = [–3; 4].

Ta có sơ đồ sau:

Từ sơ đồ, ta thấy C ∩ D = (–2; 4] và C ∪ D =  [–3; 5).

Bài 9. Lớp 10A của trường có 33 học sinh, trong đó có 20 học sinh thích môn Toán, 18 học sinh thích môn Ngữ Văn và 10 học sinh thích cả môn Toán và Ngữ Văn. Hỏi lớp 10A có:

a) Bao nhiêu học sinh thích ít nhất 1 trong 2 môn Toán và môn Ngữ Văn?

b) Bao nhiêu học sinh không thích môn nào?

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là tập hợp số học sinh thích môn Toán.

B là tập hợp số học sinh thích môn Ngữ Văn.

Số phần tử của A và B lần lượt là n(A) và n(B) thì n(A) = 20, n(B) = 18.

Ta có:

+) Tập hợp số học sinh thích cả môn Toán và Ngữ Văn là A ∩ B nên n(A ∩ B) = 10.

+) Tập hợp số học sinh thích ít nhất 1 trong 2 môn Toán và môn Ngữ Văn là A ∪ B.

Nên tổng số học sinh thích ít nhất 1 trong 2 môn Toán và môn Ngữ Văn là n(A ∪ B).

Suy ra n(A ∪ B) = n(A) + n(B) ‒ n(A ∩ B) = 20 + 18 – 10 = 28.

Vậy có 28 học sinh thích ít nhất 1 trong 2 môn Toán và môn Ngữ Văn.

b) Số học sinh không thích môn học nào là: 33 – 28 = 5 (học sinh)

Vậy có 5 học sinh không thích môn học nào trong hai môn Toán và môn Ngữ Văn.

Bài 10. Cho U = {x ∈ ℕ | x < 20}, A = {x ∈ U | x là bội của 4}, B = {x ∈ U | x là ước của 12}. Xác định các tập hợp A\B, B\A, C_UA, C_UB, C_U(A ∪ B), C_U( A ∩ B).

Hướng dẫn giải

Ta xác định các phần tử của tập hợp U, A, B.

U = {x ∈ ℕ | x < 20} = {0; 1; 2; 3; 4; …; 19}.

A = {x ∈ U | x là bội của 4} = {0; 4; 8; 12; 16}.

B = {x ∈ U | x là ước của 12} = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Khi đó ta có:

A\B = {0; 8; 16}.

B\A = {1; 2; 3; 6}.

C_UA = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 18; 19}.

C_UB = {0; 5; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19}.

A ∩ B = {4; 12}, A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16}.

C_U(A ∪ B) = {5; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 18; 19}.

C_U(A ∩ B) = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19}.

Bài 11. Cho hai tập hợp A = [1; 3] và B = [m; m + 1]. Tìm m để B là tập con của A.

Hướng dẫn giải

Ta có: B ⊂ A khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}m\ge 1\\ m+1\le 3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge 1\\ m\le 2\end{array}\right.$

Vậy 1 ≤ m ≤ 2.

Bài 12. Lớp 10E của trường có 25 học sinh thích môn Vật lí, 15 học sinh thích môn Hóa học và 10 học sinh thích cả môn Vật lí và Hóa học và 5 học sinh không thích cả hai môn Vật lí và Hoá học. Hỏi lớp 10A có:

a) Bao nhiêu học sinh thích ít nhất 1 trong 2 môn Lí và môn Hóa?

b) Tất cả bao nhiêu học sinh?

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là tập hợp số học sinh thích môn Vật lí.

B là tập hợp số học sinh thích môn Hóa học.

Số phần tử của A và B lần lượt là n(A) và n(B) thì n (A) = 25, n(B) = 15.

Khi đó:

+) Tập hợp số học sinh thích cả môn Vật lí và Hóa học là A ∩ B. Do đó n(A ∩ B) = 10.

+) Tập hợp số học sinh thích ít nhất 1 trong 2 môn Vật lí và môn Hóa học là A ∪ B.

Ta có: tổng số học sinh thích ít nhất 1 trong 2 môn Vật lí và môn Hóa học là n(A ∪ B).

Suy ra n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 25 + 15 – 10 = 30.

Vậy có 30 học sinh thích ít nhất một trong hai môn Vật lí và Hoá học.

b) Gọi M là tập hợp số học sinh của lớp 10E.

N là tập hợp số học sinh không thích cả hai môn học Vật lí và Hoá học. Do đó n(N) = 5.

Ta có: A ∪ B = C_MN

Số học sinh cả lớp 10E là tổng của số học sinh thích ít nhất một trong hai môn với số học sinh không thích môn học nào.

Do đó số học sinh của lớp 10E là: 30 + 5 = 35 (học sinh).

Vậy lớp 10E có 35 học sinh.

Học tốt Toán 10 Chương 1

Các bài học để học tốt Chương 1 Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài tập cuối chương 1