Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 2 Chân trời sáng tạo

---

Với Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết tổng hợp Toán 10 Chương 2

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

– Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng

ax + by + c < 0; ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ 0,

trong đó a, b, c là những số cho trước; a, b không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn.

Ví dụ: Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 5x + 2y – 4 < 0;

b) 5x + 2y – 3z > 3;

c) x – y² ≤ 0;

d) x – 2y ≥ 3.

Hướng dẫn giải

a) Bất phương trình 5x + 2y – 4 < 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c < 0 với a = 5, b = 2 và c = –4.

b) Bất phương trình 5x + 2y – 3z > 3 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình này chứa 3 ẩn x, y, z ở bậc nhất.

c) Bất phương trình x – y² ≤ 0 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình có chứa y².

d) Bất phương trình x – 2y ≥ 3 $\iff$ x – 2y – 3 ≥ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≥ 0 với a = 1, b = –2 và c = –3.

2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xét bất phương trình ax + by + c < 0.

Mỗi cặp số (x₀; y₀) thỏa mãn ax₀ + by₀ + c < 0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Chú ý: Nghiệm của các bất phương trình ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ 0 được định nghĩa tương tự.

Ví dụ: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4?

a) (‒1;‒2);

b) (4; ‒1);

c) (0; 0).

Hướng dẫn giải

Bất phương trình 5x + 2y < 4 $\iff$ 5x + 2y – 4 < 0.

a) Với x = ‒1, y = ‒2 ta có: 5.(‒1) + 2.(‒2) – 4 = –13 < 0 nên (‒1;‒2) là nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4.

b) Với x = 4, y = ‒1 ta có: 5.4 + 2.(‒1) – 4 = 14 > 0 nên (4;‒1) là không là nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4.

c) Với x = 0, y = 0 ta có: 5. 0 + 2. 0 – 4 = –4 < 0 nên (0;0) là nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4.

3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

– Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x₀; y₀) sao cho ax₀ + by₀ + c < 0 được gọi là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0.

Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a, b không đồng thời bằng 0) xác định một đường thẳng ∆. Đường thẳng ∆ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng, trong đó một nửa (không kể bờ ∆) là tập hợp các điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c > 0, nửa còn lại (không kể bờ ∆) là tập hợp các điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c < 0.

Ta có thể biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c < 0 như sau:

+ Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: ax + by +c = 0.

+ Bước 2: Lấy một điểm (x₀; y₀) không thuộc ∆. Tính ax₀ + by₀ + c.

+ Bước 3: Kết luận

• Nếu ax₀ + by₀ + c < 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) chứa điểm (x₀; y₀).

• Nếu ax₀ + by₀ + c > 0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) không chứa điểm (x₀; y₀).

Chú ý: Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≤ 0 (hoặc ax + by + c ≥ 0) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 (hoặc ax + by + c > 0) kể cả bờ.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 2 > 0 trên mặt phẳng tọa độ:

Hướng dẫn giải

• Vẽ đường thẳng ∆: x + 2y – 2 = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(0; 1) và B(2; 0).

• Lấy điểm O (0; 0) không thuộc ∆.

Thay x = 0, y = 0 vào x + 2y – 2 > 0 ta được 0 + 2.0 – 2 = ‒2 > 0 là mệnh đề sai.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ ∆ (không kể bờ ∆) không chứa điểm O (miền nghiệm là miền không bị gạch trên hình).

4. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

– Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

– Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x₀; y₀) có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Ví dụ:

• Hệ bất phương trình là một hệ bất phương trình hai ẩn x, y gồm hai bất phương trình x + 2y – 3 < 0 và y – 2x > 0 đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y.

• Hệ bất phương trình không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bởi bất phương trình x² + y² < 5 không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn do chứa x², y².

Ví dụ: Cho hệ bất phương trình hai ẩn .

Cặp số (x; y) = (10; 2) có là nghiệm của hệ bất phương trình trên không?

Hướng dẫn giải

Thay x = 10 và y = 2 vào bất phương trình x + y – 4 > 0 ta có: 10 + 2 – 4 = 8 > 0 là mệnh đề đúng nên cặp số (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y – 4 > 0.

Thay x = 10 và y = 2 vào bất phương trình x – y – 10 < 0 ta có: 10 – 2 – 10 = –2 < 0 là mệnh đề đúng nên cặp số (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x – y – 10 < 0.

Cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y – 4 > 0 và cũng là nghiệm của bất phương trình x – y – 10 < 0.

Do đó cặp số (x; y) = (10; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

5. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực hiện như sau:

– Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.

– Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Chú ý: Miền mặt phẳng tọa độ bao gồm một đa giác lồi và phần nằm bên trong đa giác đó được gọi là một miền đa giác.

Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Hướng dẫn giải

Trên mặt phẳng Oxy:

– Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 và gạch bỏ phần miền còn lại.

• Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

• Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả bờ Oy) nằm bên phải trục Oy.

– Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả bờ Ox) nằm bên trên trục Ox.

– Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 $\iff$ x + y – 150 ≤ 0.

• Vẽ đường thẳng d: x + y – 150 = 0 đi qua hai điểm A(0; 150) và B(150; 0).

• Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0 + 0 – 150 = – 150 ≤ 0 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y – 150 ≤ 0.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d (kể cả bờ d) chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm không bị gạch (miền tam giác OAB, bao gồm cả các cạnh) là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

6. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác

Hệ bất phương trình giúp ta mô tả được nhiều bài toán thực tế để tìm ra cách giải quyết tối ưu. Chúng thường được đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác.

Người ta chứng minh được F = ax + by đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác

Ví dụ: Bạn Minh cần phải làm bài tập trong vòng không quá 2 giờ để nộp. Mỗi bài toán cần 10 phút để làm xong, mỗi bài Vật lí cần 20 phút để làm xong. Gọi x, y lần lượt là số bài tập Toán, Vật lí bạn Minh sẽ làm được. Lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của x và y và biểu diễn miền nghiệm của hệ đó. Số bài nhiều nhất mà bạn Minh có thể làm được là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Số phút bạn Minh làm xong x bài Toán là: 10x (phút).

Số phút bạn Minh làm xong y bài Vật lí là: 20y (phút).

Tổng số phút để Minh làm x bài toán và y bài lí là: 10x + 20y (phút).

Do bạn Minh cần phải làm bài tập trong vòng không quá 2 giờ = 120 phút nên ta có:

10x + 20y ≤ 120 hay x + 2y ≤ 12.

Số bài tập bạn Minh làm luôn không âm nên x ≥ 0, y ≥ 0.

Ta có hệ bất phương trình sau:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

– Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

+ Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả trục Oy) nằm bên phải trục Oy.

– Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả trục Ox) nằm bên trên trục Ox.

– Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + 2y ≤ 12 $\iff$ x + 2y – 12 ≤ 0.

+ Vẽ đường thẳng ∆: x + 2y – 12 = 0.

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(0; 6) và B(12; 0).

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0 + 2. 0 – 12 = – 12 ≤ 0 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + 2y – 12 ≤ 0.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + 2y ≤ 12 là nửa mặt phẳng bờ ∆ (kể cả bờ ∆) chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm (miền không bị gạch) của hệ bất phương trình trên là miền tam giác OAB với: O(0; 0), A(0; 6), B(12; 0).

Số bài mà bạn Minh làm được là: F(x; y) = x + y.

Tại O(0; 0): F = 0 + 0 = 0;

Tại A(0; 6): F = 0 + 6 = 6;

Tại B(12; 0): F = 12 + 0 = 12;

Do đó giá trị lớn nhất của F(x; y) bằng 12 khi (x; y) = (12; 0).

Vậy bạn Minh làm được nhiều nhất là 12 bài khi làm 12 bài Toán và không làm bài tập Vật lí.

Bài tập tổng hợp Toán 10 Chương 2

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là phần tô đậm trong hình vẽ của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét đường thẳng x + y – 2 = 0 là đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 0) và B(0; 2). Do đó ta loại phương án C và D.

Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình ta có 0 + 0 = 0 ≤ 2 là mệnh đề đúng, vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Do vậy miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ là đường thẳng x + y = 2) và chứa điểm O(0; 0) (phần tô đậm).

Theo hình vẽ ta chọn phương án A.

Câu 2. Cho các khẳng định sau:

(I) 2x + y – 1 = 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

(II) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

(III) Điểm A(0; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 1 > 0.

(IV) Cặp số (x; y) = (3; 4) là nghiệm của bất phương trình x + y > 0.

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét câu (I): 2x + y – 1 = 0 là phương trình bậc nhất hai ẩn, do đó câu (I) sai.

Xét câu (II): Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm, do đó câu (II) đúng.

Xét câu (III): Thay x = 0, y = 1 vào bất phương trình x + 2y – 1 > 0 ta có 0 + 2. 1 – 1 = 1 > 0 là mệnh đề đúng, vậy điểm A(0; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 1 > 0, do đó câu (III) đúng.

Xét câu (IV): Thay x = 3, y = 4 vào bất phương trình x + y > 0 ta có 3 + 4 = 7 > 0 là mệnh đề đúng, vậy cặp (x; y) = (3; 4) là nghiệm của bất phương trình x + y > 0, do đó câu (IV) đúng.

Vậy có 3 câu đúng, ta chọn phương án C.

Câu 3. Miền nghiệm của bất phương trình: 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm:

A. (0; 0);

B. (‒4; 2);

C. (‒2; 2);

D. (‒5; 3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3

$\iff$ 3x – 3 + 4y – 8 < 5x – 3

$\iff$ –2x + 4y – 8 < 0

Xét điểm (0; 0): Thay x = 0 và y = 0 vào bất phương trình trên ta được:

–2.0 + 4.0 – 8 < 0.

Đây là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình đã cho chứa điểm (0; 0).

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 4. Giá trị m để hệ bất phương trình trở thành hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là:

A. m = 0;

B. m = ‒1;

C. m = 2;

D. Không có giá trị của m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để hệ bất phương trình trở thành hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thì hệ số của x² và y² đều phải bằng 0

Vậy không có giá trị của m.

Vậy chọn D.

Câu 5. Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét điểm M(0; 1) ta thấy điểm M thuộc miền nghiệm trên hình vẽ.

Thay x = 0 và y = 1 vào các hệ bất phương trình ta có:

• Phương án A: đều là các mệnh đề đúng nên miền nghiệm của hệ bất phương trình ở phương án A chứa điểm M. Do đó A đúng.

• Phương án B: đều cho mệnh đề sai nên miền nghiệm của hệ bất phương trình ở phương án B không chứa điểm M. Do đó B sai.

Tương tự như vậy ta chứng minh được ở phương án C và D là sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 6. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không tô màu đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét điểm M(0; 1): thay x = 0 và y = 1 vào các bất phương trình của hệ ta được:

đều cho các mệnh đề đúng.

Do đó miền nghiệm của hệ bất phương trình có chứa điểm M(0; 1).

Vậy quan sát hình vẽ các phương án ta chọn phương án A.

Câu 7. Điểm M(0; –3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta thấy bất phương trình thứ hai của hệ bất phương trình trong các phương án đều là 2x + 5y ≤ 12x + 8 nên ta chỉ cần xét đến bất phương trình thứ nhất của từng hệ.

Với x = 0 và y = –3 thay vào bất phương trình 2x – y ≤ 3 ta có: 2.0 – (‒3) = 3 ≤ 3 là mệnh đề đúng.

Do đó (0; –3) là nghiệm của bất phương trình 2x – y ≤ 3.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 8. Hình vẽ sau biểu diễn miền nghiệm (phần không bị gạch) của bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào?

A. x + 2y – 2 > 0;

B. 3x + y – 2 < 0;

C. x – 2y + 1 < 0

D. x + 3y > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta thấy đường thẳng ∆ cắt 2 trục tọa độ tại điểm A(0; 0,5) và B(–1; 0).

• Phương án A: Thay x = 0, y = 0,5 vào phương trình x + 2y – 2 = 0 ta có:

0 + 2. 0,5 – 2 = –1 = 0 là mệnh đề sai, vậy A sai.

• Phương án B: Thay x = 0, y = 0,5 vào phương trình 3x + y – 2 = 0 ta có:

3. 0 + 0,5 – 2 = –1,5 = 0 là mệnh đề sai, Vậy B sai.

• Phương án C: Thay x = 0, y = 0,5 vào phương trình x – 2y + 1 = 0 ta có:

0 – 2. 0,5 + 1 = 0 = 0 là mệnh đề đúng;

Thay x = –1, y = 0 vào phương trình x – 2y + 1 = 0 ta có: –1 – 2. 0 +1 = 0 = 0 là mệnh đề đúng.

Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình x – 2y + 1 < 0 ta có 0 – 2.0 + 1 = 1 < 0 là mệnh đề sai.

Vậy điểm O(0; 0) không thỏa mãn bất phương trình, nên miền nghiệm của bất phương trình x – 2y +1 > 0 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x - 2y + 1 = 0 (không kể bờ) không chứa điểm O. Vậy C đúng.

• Phương án D: Thay x = 0, y = 0,5 vào phương trình x + 3y = 0 ta có 0 + 3. 0,5 = 1,5 = 0 là mệnh đề sai, vậy câu D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) 3x + 5y ‒ 1 < 0;

b) 2x² – y² ‒ 1 > 0;

c) 4y² – 3 > 0;

d) 4x – 5y < 1;

e) 2x – 5y – 6 ‒ 6t ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Ta có:

• Bất phương trình 3x + 5y ‒ 1 < 0 có dạng ax + by + c < 0 với a = 3, b = 5 và c = ‒ 1. Do đó bất phương trình a) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Bất phương trình 2x² – y ‒ 1 > 0 có chứa x² nên bất phương trình b) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Bất phương trình 4y² – 3 ≤ 0 có chứa ẩn y² nên bất phương trình c) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Bất phương trình 4x – 5y < 1$\iff$ 4x – 5y ‒ 1 < 0 có dạng ax + by + c < 0 với a = 4, b = ‒ 5 và c = ‒ 1. Do đó bất phương trình d) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Bất phương trình 2x – 5y ‒ 6t ≥ 0 là bất phương trình bậc nhất ba ẩn x, y, t. Do đó bất phương trình e) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy 3x + 5y ‒ 1 < 0; 4x – 5y < 1là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2. Bất phương trình sau có phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? Nếu có biểu diễn miền nghiệm của nó trên trục tọa độ Oxy: 2x + y – 1 ≤ 0?

Hướng dẫn giải

Bất phương trình 2x + y – 1 ≤ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có dạng ax + by + c ≤ 0 với a = 2, b = 1 và c = ‒ 1.

– Biểu diễn miền nghiệm trên trục tọa độ Oxy:

+ Vẽ đường thẳng ∆: 2x + y – 1 = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(0; 1) và B$\left(\frac{1}{2};0\right)$

+ Lấy điểm O(0;0) không thuộc ∆.

Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta có: 2.0 + 0 ‒ 1 = ‒1 ≤ 0 là một mệnh đề đúng.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên trục tọa độ Oxy là nửa mặt phẳng bờ ∆ (kể cả bờ ∆) chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm biểu diễn trên trục tọa độ Oxy:

Bài 3. Cho hệ bất phương trình . Hỏi đây có phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? Khi cho y = 0, x có thể nhận các giá trị nguyên nào?

Hướng dẫn giải

Hệ bất phương trình là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bởi vì có hai bất phương trình x + 2y < 1 và x – 3y ≥ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Khi y = 0, hệ trở thành: ⇔ 0 ≤ x < 1

Mà x nguyên nên x = 0.

Vậy x = 0 thoả mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4. Cho hệ bất phương trình

a) Tìm 2 nghiệm của hệ trên.

b) Cho F(x; y) = x + 2y. Tìm giá trị lớn nhất của F(x; y).

Hướng dẫn giải

a) Chọn (x; y) = (1; 1).

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp số (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x ≥ 0.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình y ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp số (1; 1) là nghiệm của bất phương trình y ≥ 0.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x + y ≤ 100 ta được 1 + 1 ≤ 100 là mệnh đề đúng. Do đó cặp số (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 100.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x + 2y ≤ 160 ta được 1 + 2.1 ≤ 160 là mệnh đề đúng. Do đó cặp số (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x + 2y ≤ 160.

Vậy (x; y) = (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình .

Tương tự ta chọn được (x; y) = (2; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình .

Vậy hai cặp số (1; 1) và (2; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) – Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

+ Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả trục Oy) nằm bên phải trục Oy.

– Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả trục Ox) nằm bên trên trục Ox.

– Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 100.

Đường thẳng d₁ đi qua hai điểm có tọa độ (0; 100) và (100; 0).

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0 + 0 ≤ 100 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 100.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ d₁ (kể cả bờ d₁) chứa gốc tọa độ O.

– Miền nghiệm D₄ của bất phương trình x + 2y ≤ 160:

+ Vẽ đường thẳng d₂: x + 2y = 160.

Đường thẳng d₂ đi qua hai điểm có tọa độ (0; 80) và (160; 0).

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0 + 2.0 ≤ 160 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + 2y ≤ 160.

Do đó, miền nghiệm D₄ của bất phương trình x + 2y ≤ 160 là nửa mặt phẳng bờ d₂ (kể cả bờ d₂) chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm không bị gạch là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác OABC với:

O(0; 0), A(0; 80), B(40; 60), C(100; 0).

Xét F(x; y) = x + 2y.

• Tại O(0; 0): F = 0 + 2.0 = 0;

• Tại A(0; 80): F = 0 + 2.80 = 160;

• Tại B(40; 60): F = 40 + 2.60 = 160;

• Tại C(100; 0): F = 100 + 2.0 = 100;

Vậy giá trị lớn nhất của F (x; y) là 160 khi (x; y) = (0; 80) hoặc (x; y) = (40, 60).

Bài 5.Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (một sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B. Trong đó loại xe A có 10 chiếc, loại xe B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất? Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng.

Hướng dẫn giải

Gọi x là số xe loại A được thuê, y là số xe loại B được thuê. (x ≥ 0, y ≥ 0)

Do loại xe A có 10 chiếc, loại xe B có 9 chiếc nên x ≤ 10, y ≤ 9.

Do xe A chỉ chở tối đa 20 người, xe B chở tối đa 10 người mà cần thuê xe để chở trên 140 người nên ta có: 20x + 10y ≥ 140.

Do xe A chỉ chở tối đa 0,6 tấn hàng, xe B chở tối đa 1,5 tấn hàng mà cần thuê xe để chở trên 9 tấn hàng nên ta có: 0,6x + 1,5y = 9.

Khi đó ta có hệ bất phương trình của x và y như sau:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy:

– Biểu diễn miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục Oy.

Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả bờ Oy) nằm bên phải trục Oy.

* Tương tự ta biểu diễn các miền nghiệm:

– Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0: là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả bờ Ox) nẳm bên trên trục Ox.

– Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x ≤ 10: là nửa mặt phẳng bờ d₁ (kể cả bờ d₁: x = 10) chứa điểm O(0; 0).

– Miền nghiệm D₄ của bất phương trình y ≤ 9: là nửa mặt phẳng bờ d₂ (kể cả bờ d₂: y = 9) chứa điểm O(0; 0).

– Miền nghiệm D₅ của bất phương trình 2x + y ≥ 14:

+ Vẽ đường thẳng d₃: 2x + y = 14.

Đường thẳng d₃ đi qua hai điểm (0; 14) và (7; 0).

+ Xét điểm O(0; 0): thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta có 2. 0 + 0 = 0 ≥ 14 là mệnh đề sai nên điểm O(0; 0) không thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≥ 14.

Miền nghiệm D₅ của bất phương trình 2x + y ≥ 14 là nửa mặt phẳng bờ d₃ (kể cả bờ d₃) không chứa điểm O.

– Tương tự miền nghiệm D₆ của bất phương trình 2x + 5y ≥ 30 là nửa mặt phẳng bờ d₄ (kể cả bờ d₄: 2x + 5y = 30) không chứa điểm O.

Ta có miền nghiệm (miền không bị gạch) của hệ bất phương trình như sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với: A(2,5; 9), B(10; 9), C(10; 2), D(5; 4).

Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu nên tổng số tiền thuê là:

F(x; y) = 4x + 3y.

Để chi phí vận chuyển là thấp nhất thì F(x; y) là nhỏ nhất.

• Tại A(2,5; 9): F = 4. 2,5 + 3. 9 = 37;

• Tại B(10; 9): F = 4. 10 + 3. 9 = 67;

• Tại C(10; 2): F = 4. 10 + 3. 2 = 46;

• Tại D(5; 4): F = 4. 5 + 3. 4 = 32;

Do đó F(x; y) đạt giá trị nhỏ nhất là 32 khi x = 5 và y = 4.

Vậy cần thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B để chi phí thuê nhỏ nhất.

Bài 6. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 250 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x, y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính x² + y².

Hướng dẫn giải

Gia đình chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn nên 0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1.

Mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit; mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit mà gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên:

Ta có hệ bất phương trình:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục toạ độ Oxy:

– Biểu diễn miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục Oy.

Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả bờ Oy) nằm bên phải trục Oy.

* Tương tự ta biểu diễn các miền nghiệm:

– Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0: là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả bờ Ox) nẳm bên trên trục Ox.

– Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x ≤ 1,6: là nửa mặt phẳng bờ d₁ (kể cả bờ d₁: x = 1,6) chứa điểm O.

– Miền nghiệm D₄ của bất phương trình y ≤ 1,1: là nửa mặt phẳng bờ d₂ (kể cả bờ d₂: y = 1,1) chứa điểm O.

– Miền nghiệm D₅ của bất phương trình 8x + 6y ≥ 9.

+ Vẽ đường thẳng d₃: 8x + 6y = 9.

+ Xét điểm O(0; 0): Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta có 8. 0 + 6. 0 = 0 ≥ 9 là mệnh đề sai nên điểm O(0; 0) không thỏa mãn bất phương trình 8x + 6y ≥ 9.

Miền nghiệm D₅ của bất phương trình 8x + 6y ≥ 9 là nửa mặt phẳng bờ d₃ (kể cả bờ d₃) không chứa điểm O.

– Tương tự miền nghiệm D₆ của bất phương trình x + 2y ≥ 2 là nửa mặt phẳng bờ d₄ (kể cả bờ d₄) không chứa điểm O.

Ta có miền nghiệm (miền không bị gạch) của hệ bất phương trình như sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với: A(0,3; 1,1), B(1,6; 1,1), C(1,6; 0,2), D(0,6; 0,7).

Giá tiền một kg thịt bò là 250 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng nên tổng số tiền cần mua là F(x; y) = 250x + 110y (nghìn đồng) phải nhỏ nhất.

• Tại A(0,3; 1,1), F = 250. 0,3 + 110. 1,1 = 196;

• Tại B(1,6; 1,1), F = 250. 1,6 + 110. 1,1 = 521;

• Tại C(1,6; 0,2), F = 250. 1,6 + 110. 0,2 = 422;

• Tại D(0,6; 0,7), F = 250. 0,6 + 110. 0,7 = 227.

Vậy F (x; y) nhỏ nhất là 196 khi x = 0,3 và y = 1,1.

Khi đó x² + y² = 0,3² + 1,1² = 1,3.

Bài 7. Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau:

– Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B.

– Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1 000 đơn vị vitamin cả A và B.

Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn $\frac{1}{2}$ số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.

Biết giá một đơn vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng. Hãy tìm phương án dùng hai loại vitamin A, B thoả mãn các điều kiện trên để có số tiền phải trả là ít nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi x là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày (x ≥ 0).

Gọi y là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày (y ≥ 0).

Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên x ≤ 600 và y ≤ 500.

Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1 000 đơn vị vitamin cả A và B nên:

400 ≤ x + y ≤ 1000.

Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn $\frac{1}{2}$ số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên:

Ta có hệ bất phương trình giữa x và y:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

– Biểu diễn miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≤ 600:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x = 600 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta được 0 ≤ 600 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x ≤ 600.

Vậy miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≤ 600 là nửa mặt phẳng bờ d₁ (kể cả bờ d₁) chứa điểm O.

* Tương tự ta biểu diễn các miền nghiệm:

– Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≤ 500: là nửa mặt phẳng bờ d₂ (kể cả bờ d₂: y = 500) chứa điểm O.

– Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≥ 400: là nửa mặt phẳng bờ d₃ (kể cả bờ d₃: x + y = 400) không chứa điểm O.

– Miền nghiệm D₄ của bất phương trình x + y ≤ 1000: là nửa mặt phẳng bờ d₄ (kể cả bờ d₄: x + y = 1000) chứa điểm O.

– Miền nghiệm D₅ của bất phương trình y ≥ $\frac{1}{2}$ x: là nửa mặt phẳng bờ d₅ (kể cả bờ d₅: y = $\frac{1}{2}$ x ) chứa điểm M(0; 50).

– Miền nghiệm D₆ của bất phương trình y ≤ 3x: là nửa mặt phẳng bờ d₆ (kể cả bờ d₆: y = 3x) không chứa điểm M (0; 50).

Ta có miền nghiệm (miền không bị gạch) của hệ bất phương trình như sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền của đa giác ABCDEF với:

A(100; 300), B$\left(\frac{500}{3};500\right)$, C(500; 500), D(600, 400), E(600, 300), F$\left(\frac{800}{3};\frac{400}{3}\right)$

Số tiền trả cho x đơn vị vitamin A và y đơn vị vitamin B là: F(x; y) = 9x + 7,5y.

Để có số tiền phải trả là ít nhất thì F(x; y) phải nhỏ nhất.

• Tại A(100; 300): F = 9.100 + 7,5. 300 = 3150;

• Tại B$\left(\frac{500}{3};500\right)$: F = 9.$\frac{500}{3}$ + 7,5. 500 = 5250;

• Tại C(500; 500): F = 9. 500 + 7,5. 500 = 8250;

• Tại D(600, 400): F = 9. 600 + 7,5. 400 = 8400;

• Tại E(600, 300): F = 9. 600 + 7,5. 300 = 7650;

• Tại F$\left(\frac{800}{3};\frac{400}{3}\right)$: F = 9. $\frac{500}{3}$ + 7,5. = 3400;

Vậy F(x; y) nhỏ nhất là 3150 khi x =100 và y = 300.

Vậy mỗi người sẽ dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B để đảm bảo các điều kiện số lượng sử dụng và chi phí phải trả là ít nhất.

Học tốt Toán 10 Chương 2

Các bài học để học tốt Chương 2 Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài tập cuối chương 2