X

Lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Cho hai vectơ ab. Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho AB=a, BC=b. Khi đó ACđược gọi là tổng của hai vectơ a bvà được kí hiệu là a+b.

Vậy a+b=AB+BC=AC.

Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Quy tắc ba điểm

Với ba điểm M, N, P, ta có MN+NP=MP.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.

Ví dụ: Cho các điểm A, B, C, D, E, F phân biệt.

Thực hiện phép cộng các vectơ: AC+CD; BC+CB; DC+CE+EF.

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

AC+CD=AD.

BC+CB=BB=0.

DC+CE+EF=DE+EF=DF.

Quy tắc hình bình hành

Nếu OACB là hình bình hành thì ta có OA+OB=OC.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 3)

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD và hai vectơ x, y như hình bên. Tính tổng của hai vectơ xy.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 4)

Hướng dẫn giải

Ta có x=AD, y=AB.

Suy ra x+y=AD+AB.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có AD+AB=AC.

Vậy x+y=AC.

2. Tính chất của phép cộng các vectơ

Phép cộng vectơ có các tính chất sau:

+ Tính chất giao hoán: a+b=b+a;

+ Tính chất kết hợp: a+b+c=a+b+c;

+ Với mọi vectơ a, ta luôn có: a+0=0+a=a.

Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ a, b, c, kí hiệu là a+b+c với a+b+c=a+b+c.

Ví dụ: Cho tứ giác MNPQ. Thực hiện các phép cộng vectơ sau:

a) MN+PM+NQ.

b) MN+QP+NQ+PM.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ, ta được:

a) MN+PM+NQ

=PM+MN+NQ

=PN+NQ=PQ.

b) MN+QP+NQ+PM

=MN+NQ+QP+PM

=MQ+QM=MM=0.

Chú ý: Cho vectơ tùy ý a=AB.

Ta có a+a=AB+AB=AB+BA=AA=0.

Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: a+a=0.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 5)

3. Hiệu của hai vectơ

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 6)

Cho hai vectơ ab. Hiệu của hai vectơ ablà vectơ a+bvà kí hiệu là ab.

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Ví dụ: Cho các điểm D, E, F, G phân biệt. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: DEFE; GDGF.

Hướng dẫn giải

Ta có:

DEFE=DE+FE=DE+EF=DF.

GDGF=GD+GF=GD+FG=FG+GD=FD.

Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có: OBOA=AB.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 7)

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: OBOD; OC+DBOADC.

Hướng dẫn giải

Ta có:

OBOD=DB.

OC+DBOADC

=OCOA+DBDC

=AC+CB=AB.

4. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA+MB=0.

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA+GB+GC=0.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hai điểm E, F lần lượt là trung điểm AB, BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) OA+OC+OD+OE+OF=0.

b) GA+GC+GD=BD.

Hướng dẫn giải

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 8)

a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC (tính chất hình bình hành).

Lại có E là trung điểm AB.

Do đó OE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra OE // BC và OE = 12BC = BF (với F là trung điểm BC).

Khi đó ta có tứ giác OEBF là hình bình hành.

Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình bình hành OEBF, ta được:

OE+OF=OB.

Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC và BD (tính chất hình bình hành).

Do đó OA+OC=0OD+OB=0.

Ta có OA+OC+OD+OE+OF

=OA+OC+OD+OE+OF

=0+OD+OB=0+0=0.

Vậy OA+OC+OD+OE+OF=0.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA+GB+GC=0.

Theo quy tắc ba điểm, ta có:

GD=GB+BD=GB+BC+CD.

Ta có GA+GC+GD

=GA+GC+GB+BC+CD

=GA+GC+GB+BC+CD

=0+BD=BD.

Vậy GA+GC+GD=BD.

Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Khi đó ABDC+BCAD bằng

A. 0;

B. BD;

C. AC;

D. DC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 9).

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 2. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA+MB+MC=0. Xác định vị trí điểm M.

A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM;

B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB;

C. Điểm M trùng với điểm C;

D. M là trọng tâm của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Giả sử điểm G là trọng tâm của tam giác ABC GA+GB+GC=0.

Mà điểm M thỏa mãn MA+MB+MC=0

Do đó MG.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 3. Cho hai lực F1F2 có cùng điểm đặt O và vuông góc với nhau. Cường độ của hai lực F1F2 lần lượt là 80N và 60N. Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là

A. 100N;

B. 1003N;

C. 50N;

D. 503N.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 10)

Đặt F1=OAF2=OB.

Khi đó ta có |F1|=|OA| = OA = 80N và |F2| = |OB| = OB = 60N.

Dựng điểm C sao cho tứ giác OACB là hình chữ nhật.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: OA+OB=OC hay F1+F2=OC.

Suy ra lực tổng hợp của hai lực F1F2OC.

Do đó cường độ tổng hợp lực của hai lực F1F2 là |OC|=OC.

Ta có OACB là hình chữ nhật có OC và AB là hai đường chéo.

Do đó OC = AB.

Tam giác OAB vuông tại O: AB2 = OA2 + OB2 (Định lý Pythagore)

AB2 = 802 + 602 = 10 000

⇒ AB = 100 (N).

Do đó OC = AB = 100 (N).

Vậy ta chọn phương án A.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a) OA+OB+OC+OD=0.

b) DADB+DC=0.

c) DO+AO=AB.

Hướng dẫn giải

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 11)

a) Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành).

Do đó ta có OA+OC=0(1) và OB+OD=0(2).

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:

OA+OB+OC+OD=0+0=0.

Vậy OA+OB+OC+OD=0.

b) Vì ABCD là hình bình hành nên BA // DC và BA = DC.

BA, DCngược hướng.

Do đó BA=DC.

Suy ra BA+DC=0.

Khi đó DADB+DC=BA+DC=0.

Vậy DADB+DC=0.

c) Ta có O là trung điểm BD nên DO = OB.

DO, OBcùng hướng.

Do đó DO=OB.

Khi đó DO+AO=OB+AO=AO+OB=AB.

Vậy DO+AO=AB.

Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài các vectơ:

a) AB+AD.

b) OACB.

Hướng dẫn giải

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 12)

a) Vì ABCD là hình vuông nên cũng là hình bình hành, do đó AB+AD=AC.

|AB+AD| = |AC| = AC

Tam giác ABC vuông tại B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Pythagore)

⇔ AC2 = a2 + a2 = 2a2

⇒ AC = a2.

Vậy |AB+AD| = a2.

b) Vì ABCD là hình vuông nên AD = CB.

CB, AD ngược hướng.

Do đó AD=CB.

Ta có OACB=OA+AD=OD.

Do đó |OA-CB| = |OD| = OD.

Vì O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm BD.

Mặt khác BD = AC = a2

Do đó OD = BD2=a22.

Vậy |OA-CB| = a22.

Bài 3. Một con thuyền có vectơ vận tốc theo hướng nam với độ lớn 25 km/h, dòng nước chảy theo hướng đông với vectơ vận tốc có độ đớn 10 km/h. Tính độ lớn vectơ tổng của hai vectơ nói trên (làm tròn kết quả đến hàng trăm).

Hướng dẫn giải

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 13)

Gọi A là vị trí con thuyền xuất phát.

Vectơ vận tốc của con thuyền được biểu diễn bởi AB.

Vectơ vận tốc của dòng nước được biểu diễn bởi BC.

Khi đó ta có vectơ tổng của hai vectơ nói trên là AB+BC=AC.

Do đó độ lớn của vectơ cần tìm là: |AB+BC| = |AC| = AC.

Vì con thuyền trôi theo hướng nam và dòng nước chảy theo hướng đông.

Nên ta có AB ⊥ BC.

Ta có độ lớn vận tốc con thuyền là 25 km/h.

Suy ra |AB| = AB = 25.

Ta có độ lớn vận tốc dòng nước là 10 km/h.

Suy ra |BC| = BC = 10.

Tam giác ABC vuông tại B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Pythagore)

⇔ AC2 = 252 + 102 = 725.

⇒ AC = 529 ≈ 26,93.

Vậy độ lớn vectơ tổng của hai vectơ nói đến trong bài xấp xỉ bằng 26,93 (km/h).

Học tốt Tổng và hiệu của hai vectơ

Các bài học để học tốt Tổng và hiệu của hai vectơ Toán lớp 10 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: