Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$. Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}$được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$và được kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Vậy $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Quy tắc ba điểm

Với ba điểm M, N, P, ta có $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$.

Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.

Ví dụ: Cho các điểm A, B, C, D, E, F phân biệt.

Thực hiện phép cộng các vectơ: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD};\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB};\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EF}$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}$.

$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}$.

Quy tắc hình bình hành

Nếu OACB là hình bình hành thì ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$.

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD và hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ như hình bên. Tính tổng của hai vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{AD},\overrightarrow{y}=\overrightarrow{AB}$.

Suy ra $\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{AC}$.

2. Tính chất của phép cộng các vectơ

Phép cộng vectơ có các tính chất sau:

+ Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$;

+ Tính chất kết hợp: $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$;

+ Với mọi vectơ $\overrightarrow{a}$, ta luôn có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$.

Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$, kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ với $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}$.

Ví dụ: Cho tứ giác MNPQ. Thực hiện các phép cộng vectơ sau:

a) $\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PM}\right)+\overrightarrow{NQ}$.

b) $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{PM}$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ, ta được:

a) $\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PM}\right)+\overrightarrow{NQ}$

$=\left(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MN}\right)+\overrightarrow{NQ}$

$=\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{PQ}$.

b) $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{PM}$

$=\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NQ}\right)+\left(\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PM}\right)$

$=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{MM}=\overrightarrow{0}$.

Chú ý: Cho vectơ tùy ý $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$.

Ta có $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{a}\right)=\overrightarrow{AB}+\left(-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.

Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{a}\right)=\overrightarrow{0}$.

3. Hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$. Hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$là vectơ $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)$và kí hiệu là $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Ví dụ: Cho các điểm D, E, F, G phân biệt. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: $\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{FE};\overrightarrow{GD}-\overrightarrow{GF}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{DE}+\left(-\overrightarrow{FE}\right)=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}$.

$\overrightarrow{GD}-\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{GD}+\left(-\overrightarrow{GF}\right)=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{FD}$.

Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có: $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$.

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD};\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{DC}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

• $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DB}$.

• $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{DC}$

$=\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right)$

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.

4. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hai điểm E, F lần lượt là trung điểm AB, BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}$.

b) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BD}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC (tính chất hình bình hành).

Lại có E là trung điểm AB.

Do đó OE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra OE // BC và OE = $\frac{1}{2}$BC = BF (với F là trung điểm BC).

Khi đó ta có tứ giác OEBF là hình bình hành.

Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình bình hành OEBF, ta được:

$\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}$.

Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC và BD (tính chất hình bình hành).

Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$.

Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}$

$=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\overrightarrow{OD}+\left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}\right)$

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}$.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có:

$\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$.

Ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}$

$=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$

$=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)$

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}$.

Vậy $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BD}$.

Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Khi đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}$ bằng

A. $\overrightarrow{0}$;

B. $\overrightarrow{BD}$;

C. $\overrightarrow{AC}$;

D. $\overrightarrow{DC}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có .

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 2. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$. Xác định vị trí điểm M.

A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM;

B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB;

C. Điểm M trùng với điểm C;

D. M là trọng tâm của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Giả sử điểm G là trọng tâm của tam giác ABC $\iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Mà điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Do đó M$\equiv$G.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 3. Cho hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ có cùng điểm đặt O và vuông góc với nhau. Cường độ của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ lần lượt là 80N và 60N. Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là

A. 100N;

B. 100$\sqrt{3}$N;

C. 50N;

D. 50$\sqrt{3}$N.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đặt $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$.

Khi đó ta có |$\overrightarrow{F_1}$|=|$\overrightarrow{OA}$| = OA = 80N và |$\overrightarrow{F_2}$| = |$\overrightarrow{OB}$| = OB = 60N.

Dựng điểm C sao cho tứ giác OACB là hình chữ nhật.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$ hay $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OC}$.

Suy ra lực tổng hợp của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là $\overrightarrow{OC}$.

Do đó cường độ tổng hợp lực của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là |$\overrightarrow{OC}$|=OC.

Ta có OACB là hình chữ nhật có OC và AB là hai đường chéo.

Do đó OC = AB.

Tam giác OAB vuông tại O: AB² = OA² + OB² (Định lý Pythagore)

$\iff$ AB² = 80² + 60² = 10 000

⇒ AB = 100 (N).

Do đó OC = AB = 100 (N).

Vậy ta chọn phương án A.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

b) $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

c) $\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành).

Do đó ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$(1) và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$(2).

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.

b) Vì ABCD là hình bình hành nên BA // DC và BA = DC.

Mà $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DC}$ngược hướng.

Do đó $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{DC}$.

Suy ra $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

Khi đó $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

c) Ta có O là trung điểm BD nên DO = OB.

Mà $\overrightarrow{DO},\overrightarrow{OB}$cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}$.

Khi đó $\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$.

Vậy $\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}$.

Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài các vectơ:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

b) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình vuông nên cũng là hình bình hành, do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

$\Rightarrow$|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$| = |$\overrightarrow{AC}$| = AC

Tam giác ABC vuông tại B: AC² = AB² + BC² (Định lý Pythagore)

⇔ AC² = a² + a² = 2a²

⇒ AC = a$\sqrt{2}$.

Vậy |$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$| = a$\sqrt{2}$.

b) Vì ABCD là hình vuông nên AD = CB.

Mà $\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AD}$ ngược hướng.

Do đó $\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{CB}$.

Ta có $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}$.

Do đó |$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}$| = |$\overrightarrow{OD}$| = OD.

Vì O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm BD.

Mặt khác BD = AC = a$\sqrt{2}$

Do đó OD = $\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vậy |$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}$| = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Bài 3. Một con thuyền có vectơ vận tốc theo hướng nam với độ lớn 25 km/h, dòng nước chảy theo hướng đông với vectơ vận tốc có độ đớn 10 km/h. Tính độ lớn vectơ tổng của hai vectơ nói trên (làm tròn kết quả đến hàng trăm).

Hướng dẫn giải

Gọi A là vị trí con thuyền xuất phát.

Vectơ vận tốc của con thuyền được biểu diễn bởi $\overrightarrow{AB}$.

Vectơ vận tốc của dòng nước được biểu diễn bởi $\overrightarrow{BC}$.

Khi đó ta có vectơ tổng của hai vectơ nói trên là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó độ lớn của vectơ cần tìm là: |$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$| = |$\overrightarrow{AC}$| = AC.

Vì con thuyền trôi theo hướng nam và dòng nước chảy theo hướng đông.

Nên ta có AB ⊥ BC.

Ta có độ lớn vận tốc con thuyền là 25 km/h.

Suy ra |$\overrightarrow{AB}$| = AB = 25.

Ta có độ lớn vận tốc dòng nước là 10 km/h.

Suy ra |$\overrightarrow{BC}$| = BC = 10.

Tam giác ABC vuông tại B: AC² = AB² + BC² (Định lý Pythagore)

⇔ AC² = 25² + 10² = 725.

⇒ AC = 5$\sqrt{29}$ ≈ 26,93.

Vậy độ lớn vectơ tổng của hai vectơ nói đến trong bài xấp xỉ bằng 26,93 (km/h).

Học tốt Tổng và hiệu của hai vectơ

Các bài học để học tốt Tổng và hiệu của hai vectơ Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ