Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 3 Chân trời sáng tạo

---

Với Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 3: Hàm số bậc hai và đồ thị sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 3 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết tổng hợp Toán 10 Chương 3

1. Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số

– Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên và x nhận giá trị thuộc tập số D.

Nếu với mỗi giá trị x thuộc D, ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực ℝ thì ta có một hàm số.

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

Tập hợp T gồm tất cả các giá trị y (tương ứng với x thuộc D) gọi là tập giá trị của hàm số.

Chú ý:

+ Ta thường dùng kí hiệu f(x) để chỉ giá trị y tương ứng với x, nên hàm số còn được viết là y = f(x).

+ Một hàm số có thể đượ cho bằng bảng, bằng biểu đồ hoặc bằng công thức như đã học ở cấp Trung học cơ sở.

+ Khi một hàm số được cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước:

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

+ Một hàm số có thể được cho bởi hai hay nhiều công thức.

Ví dụ:

+ Hàm số có thể được cho bằng bảng dưới đây:

Với mỗi lượng điện tiêu thụ (kWh) thì sẽ có một số tiền phải trả tương ứng (nghìn đồng). Ta nói bảng trên biểu thị một hàm số.

+ Hàm số có thể được cho bằng công thức, ví dụ như: y = 2x – 1, y = x², …. với biến số là x và y là hàm số của x.

+ Hàm số được cho bởi hai công thức như f(x) = .

Nghĩa là với x ≤ ‒3 thì f(x) = ‒2x + 1, với x > ‒3 thì f(x) = $\frac{x+7}{2}$

+ Với hàm số y = f(x) = $\frac{x+1}{x-2}$, tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa tức là có nghĩa, tức là x ≠ 2.

Vậy tập xác định của hàm số này là D = ℝ\{2}.

2. Đồ thị hàm số

– Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) của hàm số là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) với x ∈ D và y = f(x).

Vậy (C) = {M(x; f(x)| x ∈ D}.

Chú ý: Điểm M(x_M; y_M) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi x_M ∈ D và y_M = f(x_M).

Ví dụ:

+ Cho hàm số y = f(x) = 2x – 1 có tập xác định D = ℝ.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) = 2x – 1.

Khi thay x = 0 và y = ‒1 vào hàm số, ta được ‒1 = 2. 0 – 1 là mệnh đề đúng nên điểm A(0; ‒1) là điểm thuộc đồ thị (C).

Khi thay x = 0,5 và y = 0 vào hàm số, ta được 0 = 2. 0,5 – 1 là mệnh đề đúng nên điểm B(0,5; 0) là điểm thuộc đồ thị (C).

3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

– Với hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), ta nói:

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu

∀x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu

∀x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ $\Rightarrow$f(x₁) > f(x₂).

Nhận xét:

+ Khi hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải. Ngược lại, khi hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) y = 2x – 1;

b) y = ‒ x + 2.

Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số y = f(x) = 2x – 1 xác định trên ℝ.

Lấy hai giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc ℝ, ta có:

f(x₁) = f(1) = 2.1 – 1 = 1.

f(x₂) = f(2) = 2.2 – 1 = 3.

Ta có x₁ < x₂ và f(x₁) < f(x₂) nên hàm số y = f(x) = 2x – 1 là hàm số đồng biến trên ℝ.

Ta thấy hàm số y = f(x) = 2x – 1 là hàm số đồng biến trên ℝ nên đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải.

b) Xét hàm số y = f(x) = ‒ x + 2 xác định trên ℝ.

Lấy 2 giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc ℝ, ta có:

f(x₁) = f(1) = ‒1 + 2 = 1.

f(x₂) = f(2) = ‒ 2 + 2 = 0.

Ta có x₁ < x₂ và f(x₁) > f(x₂) nên hàm số y = f(x) = ‒ x + 2 là hàm số nghịch biến trên ℝ.

Ta thấy hàm số y = f(x) = ‒ x + 2 là hàm số nghịch biến trên ℝ nên đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là [‒3; 3] và có đồ thị hàm số như hình vẽ.

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị nhận thấy:

– Đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải trên các khoảng (‒3; ‒1) và (1; 3) nên hàm số đồng biến trên khoảng (‒3; ‒1) và (1; 3);

– Đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải trên khoảng (‒1; 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (‒1; 1).

4. Hàm số bậc hai

– Hàm số bậc hai theo biến x là hàm số cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax² + bx + c với a, b, c là các số thực và a khác 0.

Tập xác định của hàm số bậc hai là ℝ.

Ví dụ:

+) y = 5x² + 2x + 1 là hàm số bậc hai vì hàm số này được cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax² + bx + c với a = 5 ≠ 0, b = 2, c = 1.

+) y = 3x³ + x ‒ 1 không phải là hàm số bậc hai bởi hàm số này có chứa x³, không được cho bởi công thức dạng y = f(x) = ax² + bx + c.

5. Đồ thị hàm số bậc hai

– Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ $x_S=-\frac{b}{2a}$, tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}$ với Δ = b² – 4ac.

+ Có trục đối xứng là đường thẳng x = -$\frac{b}{2a}$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy nếu b ≠ 0, trùng với trục Oy nếu b = 0);

+ Bề lõm quay lên trên nếu a > 0, quay xuống dưới nếu a < 0;

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; c).

Chú ý:

+ Nếu b = 2b’ thì (P) có đỉnh S$\left(-\frac{b^{\text{'}}}{a};-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}\right)$.

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁; x₂ thì đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có hoành độ là hai nghiệm này (Hình vẽ dưới).

Ví dụ: Cho hàm số bậc hai y = x² + 2x + 1.

Ta xác định a = 1; b = 2; c = 1; Δ = b² – 4ac = 0.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = x² + 2x + 1 là một parabol (P):

+ Có đỉnh S với hoành độ $x_S=-\frac{b}{2a}$= -1, tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}$= 0;

+ Có trục đối xứng d là đường thẳng x = ‒1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S(‒1; 0) và song song với trục Oy);

+ Bề lõm của parabol quay lên trên do a = 1 > 0;

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ (0; 1).

Đối với hàm số bậc hai y = x² + 2x + 1 ta thấy hệ số b = 2 là số chẵn nên cũng có thể tìm toạ độ đỉnh S$\left(-\frac{b^{\text{'}}}{a};-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}\right)$ với a = 1, b' = 1, c = 1 và Δ' = b'² – ac = 0.

Khi đó ta cũng tìm được S(‒1; 0).

*Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai:

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0):

(1) Xác định tọa độ đỉnh S$\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$.

(2) Vẽ trục đối xứng d là đường thẳng x = $-\frac{b}{2a}$.

(3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (điểm A(0; c)) và giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có).

Xác định thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng d, là điểm B$\left(-\frac{b}{a};c\right)$.

(4) Vẽ parabol có đỉnh S, có trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = 2x² + 3x + 1.

Hướng dẫn giải

Hàm số bậc hai y = 2x² + 3x + 1 có a = 2; b = 3; c = 1; Δ = b² – 4ac = 1.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = 2x² + 3x + 1 là một parabol (P):

+ Có toạ độ đỉnh S với $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{4};$ tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1}{8}$ hay S$\left(-\frac{3}{4};-\frac{1}{8}\right)$;

+ Có trục đối xứng là đường thẳng x = $-\frac{3}{4}$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm của parabol (P) quay lên trên do a = 2 > 0;

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, tức là đồ thị (P) đi qua điểm có tọa độ (0; 1).

Ngoài ra phương trình 2x² + 3x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x₁ = ‒1 và $x_2=\frac{1}{2}$ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ (‒1; 0) và $\left(\frac{1}{2};0\right).$

Ta vẽ đồ thị hàm số y = 2x² + 3x + 1 như hình vẽ dưới đây:

6. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

– Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0), ta có bảng tóm tắt về sự biến thiên của hàm số này như sau:

Chú ý: Từ bảng biến thiên của hàm số bậc hai, ta thấy:

– Khi a > 0, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{-\Delta }{4a}$ tại x = $\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là T =

– Khi a < 0, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{-\Delta }{4a}$ tại x = $\frac{-b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị là T =

Ví dụ: Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = ‒ x² + 3x – 2.

Hướng dẫn giải

Hàm số y = ‒ x² + 3x – 2 có a = ‒1; b = 3; c = ‒2, ∆ = b² – 4ac = 1.

Đỉnh S có tọa độ: $x_S=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$; $y_S=-\frac{\Delta }{4a}=\frac{1}{4}$.

Hay S$\left(\frac{3}{2};\frac{1}{4}\right)$.

Vì hàm số bậc hai có a = ‒1 < 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{4}$ khi x = $\frac{3}{2}$

7. Ứng dụng của hàm số bậc hai

Tầm bay cao và bay xa

Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ (0; y₀) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời khỏi mặt vợt là:

y = $\frac{-g.x^2}{2{v_0}^2.{\cos }^2\alpha }+\left(\tan \alpha \right).x+y_0$

Trong đó:

• g là gia tốc trọng trường (thường được chọn là 9,8 m/s²);

• α là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất);

• v₀ là vận tốc ban đầu của cầu;

• y₀ là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất.

Đây là một hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.

Xét trường hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu và góc phát cầu đã biết, cầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nên sẽ:

– Đạt vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;

– Rơi chạm đất ở vị trí cách nơi đứng phát cầu một khoảng, gọi là tầm bay xa.

Ví dụ: Một người đang tập chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc 15 độ so với mặt đất.

a) Hãy tính khoảng cách từ vị trí người phát cầu đến vị trí cầu chạm đất, biết cầu rời vợt ở độ cao 0,8 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 10 m/s (bỏ qua sức cản của gió và quỹ đạo của cầu trong mặt phẳng thẳng đứng, gia tốc trọng trường là 9,8 m/s²).

b) Giả thiết như câu a và cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 4,5 m. Lần phát cầu này có hỏng không? Cho biết mép trên của lưới cách mặt đất 1,524 m.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ với vị trị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung.

Với g = 9,8 m/s², góc phát cầu α = 15°, vận tốc ban đầu của cầu là v₀ = 10 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:

$y=\frac{-g.x^2}{2{v_0}^2.{\cos }^2\alpha }+\left(\tan \alpha \right).x+y_0$

$y=\frac{-9,8.x^2}{{2.10}^2.{\left(cos15°\right)}^2}+\tan 15°.x+0,8$

$y=-\frac{49}{125{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}{x}^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x+0,8$ (với x ≥ 0)

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên y = 0.

Giải phương trình y = 0 ⇔ $-\frac{49}{125{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}{x}^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x+0,8=0$ ta được 2 nghiệm là x₁ ≈ 7,21 (thỏa mãn) và x₂ ≈ ‒2,11 (không thỏa mãn)

Giá trị nghiệm cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi đến vị trí cầu rơi chạm đất là 7,21 m.

b) Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biên phía bên sân đối phương thì lần phát cầu mới được xem là hợp lệ.

Ta cần so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành độ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới để tìm câu trả lời.

Khi x = 4,5 thay vào $y=-\frac{49}{125{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}{x}^2+\left(2-\sqrt{3}\right)x+0,8$ ta có:

$y=-\frac{49}{125{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}.4,5^2+\left(2-\sqrt{3}\right).4,5+0,8$ ≈ 0,942 m < 1,524 m

Vậy quả phát cầu này không hợp lệ.

Bài tập tổng hợp Toán 10 Chương 3

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. f(x) đồng biến trên khoảng (‒∞; ‒1);

B. f(x) nghịch biến trên khoảng (‒∞; 0);

C. f(x) đồng biến trên khoảng (1; +∞);

D. f(x) nghịch biến trên khoảng (‒1; 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Quan sát đồ thị, theo chiều từ trái sang phải; nếu đồ thị đi lên trong khoảng nào thì hàm số sẽ đồng biến trong khoảng đó, hoặc nếu đồ thị đi xuống trong khoảng nào thì hàm số sẽ nghịch biến trong khoảng đó.

Ta thấy:

+ Trên khoảng (‒∞; ‒1) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.

+ Trên khoảng (‒1; 1) thì giá trị của hàm số không đổi y = 1 nên hàm số không đồng biến, không nghịch biến.

+ Trên khoảng (1; +∞) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 2. Tìm m để hàm số y = $\frac{x}{x-m}$ xác định trên khoảng (0; 5)?

A. 0 < m < 5;

B. m ≤ 0;

C. m ≥ 5;

D. m ≤ 0 hoặc m ≥ 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = $\frac{x}{x-m}$ xác định khi và chỉ khi x ≠ m.

Do đó để hàm số đã cho xác định trên khoảng (0; 5)

⇔ m ∉ (0; 5).

Do đó m ≤ 0 hoặc m ≥ 5.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 3. Theo tài liệu dân số và phát triển của Tổng cục dân số và kế hoạch hóa gia đình thì:

Dựa trên số liệu về dân số, kinh tế, xã hội của 85 nước trên thế giới, người ta xây dựng được hàm nêu lên mối quan hệ giữa tuổi thọ trung bình của phụ nữ (y) và tỷ lệ biết chữ của họ (x) như sau: y = 47,17 + 0,307x. Trong đó y là số năm (tuổi thọ), x là tỷ lệ phần trăm biết chữ của phụ nữ. Theo báo cáo của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm học 2015 ‒ 2016, tỷ lệ biết chữ đã đạt 96,83% trong nhóm phụ nữ Việt Nam tuổi từ 15 đến 60. Hỏi với tỷ lệ biết chữ của phụ nữ Việt Nam như trên thì nhóm này có tuổi thọ bao nhiêu?

A. 67,89 tuổi;

B. 76,89 tuổi;

C. 76,98 tuổi;

D. 77,01 tuổi.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay x = 96,83 vào công thức y = 47,17 + 0,307x ta được:

y = 47,17 + 0,307. 96,83 = 47,17 + 29,72 = 76,89 (năm)

Vậy nhóm này có tuổi thọ 76,89 tuổi.

Câu 4. Cho hàm số f(x) = x + $\sqrt{x-3}.$ Giá trị của f(f(4)) bằng:

A. 4;

B. 5;

C. 5 + $\sqrt{2}$

D. 5 - $\sqrt{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số f(x) = x + $\sqrt{x+3}$ có tập xác định là D =

Với x = 4 (thỏa mãn điều kiện) ta có: f(4) = 4 + $\sqrt{4-3}$ = 4+1 = 5

Do đó f(f(4)) = f(5)

Với x = 5 (thỏa mãn điều kiện) ta có:

f(f(4)) = f(5) = 5 + $\sqrt{5-3}$ = 5 + $\sqrt{2}$

Vậy f(f(4)) = 5 + $\sqrt{2}$

Câu 5. Cho hàm số f(x) = 2x² + ax + b (với a, b là tham số) thoả mãn f(2) = 11, f(3) = ‒7. Giá trị của 5a + 2b bằng:

A. ‒26;

B. ‒22;

C. 4;

D. 22.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số f(x) = 2x² + ax + b có:

+) f(2) = 11 nên 2.2² + a.2 + b = 11 hay 2a + b = 3; (1)

+) f(3) = ‒7 nên 2.3² + a.3 + b = ‒7 hay 3a + b = ‒25. (2)

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được: 5a + 2b = 3 + (‒25) = ‒22.

Vậy: 5a + 2b = ‒22.

Câu 6. Một chất điểm chuyển động chậm dần đều với vận tốc v = 16t – 2t (cm/s), thời gian đo bằng giây. Tại thời điểm nào chất điểm đạt vận tốc 6 cm/s?

A. t = 2(s);

B. t = 4 (s);

C. t = 5 (s);

D. t = 10 (s).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:

Chất điểm chuyển động chậm dần đều với vận tốc v = 16t – 2t (cm/s), nên để chất điểm đạt vận tốc 6 cm/s thì 16t – 2t = 6

$\iff$ 2t = 10

$\iff$ t = 5

Vậy t = 5 (s).

Câu 7. Cho hàm số y = . Biết f(x₀) = 5 thì x₀ bằng:

A. ‒2;

B. 0;

C. 1;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

• Trường hợp 1: Nếu x₀ ≤ ‒3 thì f(x₀) = ‒2x₀ + 1

Để f(x₀) = 5 thì ‒2x₀ + 1 = 5

$\iff$ x₀ = ‒2 (không thoả mãn x₀ ≤ ‒3)

• Trường hợp 2: Nếu x₀ > ‒3 thì $f\left(x_0\right)=\frac{x_0+7}{2}$

Để f(x₀) = 5 thì $\frac{x_0+7}{2}$= 5

$\iff$ x₀ + 7 = 2.5 = 10

$\iff$ x₀ = 3 (thoả mãn x_o > ‒3)

Vậy x₀ = 3.

Câu 8. Hình nào sau đây là đồ thị của hàm số y = $-\frac{1}{2}$x² + x?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Cách 1:

Vẽ đồ thị hàm số y = $-\frac{1}{2}{x}^2$+x (a = $-\frac{1}{2}$; b = 1, c = 0):

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = $-\frac{1}{2}$x² + xlà một parabol (P):

+ Có toạ độ đỉnh S với $x_S=-\frac{b}{2a}=1;$ tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}=\frac{1}{2}$ nên $S\left(1;\frac{1}{2}\right).$

+ Có trục đối xứng là đường thẳng x = $-\frac{b}{2\text{a}}$= 1 (đường thẳng này song song với trục Oy và đi qua đỉnh S);

+ Bề lõm của parabol (P) quay xuống dưới do a = $-\frac{1}{2}$ < 0;

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm O(0; 0) và cắt trục hoành tại điểm A(2; 0).

Ta có đồ thị hàm số:

Vậy phương án D đúng.

Cách 2:

Hàm số y = $-\frac{1}{2}{x}^2$+x có các hệ số a = $-\frac{1}{2}$ < 0, b = 1, c = 0

• Vì a = $-\frac{1}{2}$ < 0 nên đồ thị hàm số có bề lõm quay xuống dưới, ta loại B và C.

• Đồ thị có toạ độ đỉnh S với $x_S=-\frac{b}{2a}$= 1; tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}=\frac{1}{2}$ hay $S\left(1;\frac{1}{2}\right)$. Do đó ta loại A.

Vậy ta chọn D.

Câu 9. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx² + (m – 1)x + 1 có trục đối xứng là x = ‒1?

A. m = 1;

B. m = 0;

C. m = 2;

D. m = –1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đồ thị hàm số y = mx² + (m – 1)x + 1 có trục đối xứng là x = ‒1

Û hàm số đã cho là hàm số bậc hai và có $\frac{-b}{2\text{a}}$ = ‒1

m = –1.

Vậy m = –1 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 10. Một chiếc cổng hình parabol có dạng đồ thị giống đồ thị hàm số y = -$\frac{1}{2}$x² như hình vẽ.

Cổng có chiều rộng d = 8 m. Chiều cao h của cổng là:

A. h = 4 m;

B. h = 8 m;

C. h = 10 m;

D. h = 16 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi A là 1 điểm nằm ở bên phải chân cổng.

Hoành độ điểm A là bằng một nửa chiều rộng của cổng.

Tung độ của điểm A bằng chiều cao của cổng.

Parabol (P): y = -$\frac{1}{2}$x² có d = 8 m, suy ra $x_A=\frac{d}{2}$=4.

A thuộc (P) suy ra y_A = $-\frac{1}{2}$. 4² = ‒8.

Vậy chiều cao của cổng là h = 8 m.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) f(x) = $\sqrt{2x+1}$;

b) f(x) = 1+$\frac{1}{x+3}$.

c) f(x) = $\sqrt{x+2022}+\frac{1}{x}$

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức f(x) = $\sqrt{2x+1}$ có nghĩa

$\iff$ 2x + 1 ≥ 0 $\iff$ 2x ≥ ‒ 1 ⇔ x ≥ -$\frac{1}{2}$.

Vậy tập xác định D của hàm số này là D =

b) Biểu thức f(x) = 1 + $\frac{1}{x+3}$ có nghĩa ⇔ x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ ‒3.

Vậy tập xác định D của hàm số này là D = ℝ\ {‒3}.

c) Biểu thức y = f(x) = $\sqrt{x+2022}+\frac{1}{x}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

Vậy tập xác định của hàm số này là D = \{0}.

Bài 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = ‒ 2x + 2.

b) y = x² trên khoảng (0; +∞).

Hướng dẫn giải

a) Hàm số y = f(x) = ‒2x + 2 xác định trên ℝ.

Xét hai giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc ℝ, ta có:

f(x₁) = f(1) = ‒2. 1 + 2 = 0.

f(x₂) = f(2) = ‒2. 2 + 2 = ‒2.

Ta thấy x₁ < x₂ và f(x₁) > f(x₂) nên hàm số y = f(x) = ‒2x + 2 là hàm số nghịch biến trên ℝ.

b) Hàm số y = f(x) = x² xác định trên khoảng (0; +∞).

Xét hai giá trị x₁ = 1 và x₂ = 2 đều thuộc khoảng (0; +∞), ta có:

f(x₁) = f(1) = 1² = 1.

f(x₂) = f(2) = 2² = 4.

Ta thấy x₁ < x₂ và f(x₁) < f(x₂) nên hàm số y = f(x) = x² là hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Bài 3. Tìm tập xác định và vẽ đồ thị hàm số:

y = f(x) = |2x + 3|.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số D = ℝ.

Ta có: y = |2x + 3| =

Ta vẽ đồ thị y = 2x + 3 với x$\ge -\frac{3}{2}$ (d₁)

Ta có bảng sau:

Suy ra đồ thị hàm số y = f(x) = 2x + 3 với x$\ge -\frac{3}{2}$ là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm A(‒ $\frac{3}{2}$; 0) và B(0; 3).

Ta có đồ thị như sau:

Tương tự ta có đồ thị hàm số y = f(x) = –2x – 3 với x < – $\frac{3}{2}$ là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm C(–2; 1) và D(–3; 3).

Kết hợp 2 đồ thị ta có đồ thị hàm số y = |2x + 3| là phần đồ thị nét liền nằm trên trục Ox.

Bài 4. Một ô tô đi từ A đến B với đoạn đường AB = s (km). Ô tô di chuyển thẳng đều với vận tốc là 40 km/h. Gọi mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu xuất phát từ A, t là thời điểm ô tô đi ở vị trí bất kì trên đoạn AB. Hãy xác định hàm số biểu thị mối quan hệ giữa s và t, vẽ đồ thị hàm số đó và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số từ đó rút ra nhận xét.

Hướng dẫn giải

Do thời gian luôn lớn hơn 0 nên tập xác định của hàm số ẩn t là D = (0; +∞)

Ta có công thức: Quãng đường = Vận tốc × Thời gian.

Ta có hàm số như sau: s = v. t = 40. t

Vẽ đồ thị hàm số s = 40t:

Ta có bảng sau:

Vậy các điểm có tọa độ (0,5; 20), (1; 40), (1,5; 60) thuộc đồ thị hàm số s = f(t).

Ta có đồ thị như sau:

Ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên đây là hàm số đồng biến trên (0; +∞).

Nhận xét: Trong di chuyển thẳng đều, thời gian luôn tỉ lệ thuận với quãng đường. Thời gian càng lâu thì quãng đường đi được càng lớn và ngược lại.

Bài 5. Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

a) y = 5x² + 2x – 1.

b) y = x³ + x + 1.

c) y = x² + $\sqrt{x}$ +1.

d) y = 1 – x – x².

Hướng dẫn giải

+) Hàm số y = 5x² + 2x – 1 là hàm số bậc hai bởi hàm số này được cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax² + bx + c với a = 5 ≠ 0, b = 2, c = ‒1.

+) Hàm số y = x³ + x + 1 không phải là hàm số bậc hai bởi hàm số này có chứa x³, không được cho bởi công thức dạng y = f(x) = ax² + bx + c.

+) Hàm số y = x² + $\sqrt{x}$ +1 không phải là hàm số bậc hai bởi hàm số này chứa $\sqrt{x}$, không được cho bởi công thức dạng y = f(x) = ax² + bx + c.

+) Hàm số y = 1 – x – x² là hàm số bậc hai bởi hàm số này được cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax² + bx + c với a = ‒1 ≠ 0, b = ‒1, c = 1.

Vậy có các hàm số y = 5x² + 2x – 1, y = 1 – x – x² là hàm số bậc hai.

Bài 6. Tìm điều kiện của m để hàm số y = mx² + 4mx + 3 là hàm số bậc hai. Khi m = 1, hãy vẽ đồ thị của hàm số và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.

Hướng dẫn giải

Để hàm số y = mx² + 4mx + 3 là hàm số bậc hai thì hệ số của x² phải khác 0

$\iff$ m ≠ 0.

Khi m = 1 (thỏa mãn m ≠ 0) thì hàm số trở thành: y = x² + 4x + 3 là hàm số bậc hai. Khi đó đồ thị của hàm số là một parabol (P).

Vẽ đồ thị: (a = 1, b' = 2, c = 3, ∆' = b'² – ac = 1)

+ Có tọa độ đỉnh $S\left(\frac{-b^{\text{'}}}{a};\frac{-{\Delta }^{\text{'}}}{a}\right),$ tức là S(‒2; ‒1);

+ Có trục đối xứng d là đường thẳng x = ‒2 (đường thẳng đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);

+ Bề lõm của parabol quay lên trên do a = 1 > 0;

+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm A(0; 3). Điểm B đối xứng với A qua trục đối xứng d có tọa độ $B\left(\frac{-b}{a};c\right),$ tức là B(‒4; 3);

Phương trình x² + 4x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = ‒3 và x₂ = ‒1 nên đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ (‒3; 0) và (‒1; 0).

Ta có parabol sau:

Do a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (‒∞; ‒2) và đồng biến trên khoảng (‒2; +∞).

Bài 7. Cho hàm số bậc hai y = f(x) = ax² + bx + c có f(0) = 6, f(1) = 11, f(2) = 18.

a) Hãy xác định giá trị của các hệ số a, b, c.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số tìm được ở câu a. Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất không? Tìm giá trị đó.

Hướng dẫn giải

a) +) Với f(0) = 6, thay x = 0 vào hàm số ta có:

f(0) = a. 0² + b. 0 + c = 6 $\iff$ c = 6.

+) Với f(1) = 11, thay x = 1 vào hàm số ta có:

f(1) = a. 1² + b. 1 + c = 11

$\iff$ a + b + c = 11

$\iff$ a + b = 5. (1)

+) Với f(2) = 18, thay x = 2 vào hàm số ta có:

f(2) = a. 2² + b. 2 + c = 18

$\iff$ 4a + 2b + c = 18

$\iff$ 4a + 2b = 12

$\iff$ 2a + b = 6. (2)

Trừ theo vế phương trình (2) cho phương trình (1) ta được: a = 1

Suy ra b = 4.

Khi đó phương trình bậc hai trở thành y = x² + 4x + 6.

b) Xét hàm số y = x² + 4x + 6 có a = 1, b' = 2, c = 6 và ∆' = b'² – ac = ‒2.

Đỉnh S của đồ thị hàm số có tọa độ:

$x_S=\frac{-b^{\text{'}}}{a}=-2;$ $y_S=-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}=2$.

Hay S(‒2; 2).

Vì hàm số bậc hai có a = 1 > 0 nên ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = ‒2.

Bài 8. Một người đang tập chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc 45 độ so với mặt đất.

a) Hãy tính khoảng cách từ vị trí người phát cầu đến vị trí cầu chạm đất, biết cầu rời vợt ở độ cao 0,9 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 9 m/s (bỏ qua sức cản của gió và quỹ đạo của cầu trong mặt phẳng thẳng đứng, gia tốc trọng trường là 9,8 m/s²).

b) Giả thiết như câu a và cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 3 m. Lần phát cầu này có hỏng không? Cho biết mép trên của lưới cách mặt đất 1,524 m.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ với vị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung.

Với g = 9,8 m/s², góc phát cầu α = 45^o, vận tốc ban đầu của cầu là v₀ = 9 m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là:

$=-\frac{49}{405}{x}^2+x+0,9$ (với x ≥ 0)

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên y = 0.

Giải phương trình y = 0 $\iff$$-\frac{49}{405}$x² + x + 0,9 = 0 ta được 2 nghiệm là x₁ ≈ 9,08 (thỏa mãn) và x₂ ≈ –0,82 (không thỏa mãn)

Giá trị nghiệm cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi đến vị trí cầu rơi chạm đất là 9,08 m.

b) Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biên phía bên sân đối phương thì lần phát cầu mới được xem là hợp lệ.

Ta cần so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành độ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới để tìm câu trả lời.

Khi x = 3, ta có y = $-\frac{49}{405}$.3² + 3 + 0,9 ≈ 2,81 m > 1,524 m

Như vậy lần phát cầu này thỏa mãn qua lưới.

Ta có:

Điểm bên trong sẽ cách vị trí phát: 3 + 1,98 = 4,98m.

Điểm bên ngoài sẽ cách vị trí phát: 3 + 6,7 = 9,7 m.

Do vị trí cầu rơi chạm đất là 9,08 m, nằm trong khoảng giữa điểm trong và điểm ngoài nên lần phát cầu này hợp lệ.

Vậy với vận tốc xuất phát của cầu là 9 m/s từ vị trí phát cầu đến lưới là 3 m thì lần phát này hợp lệ.

Bài 9. Cho một vật rơi từ trên cao xuống với vận tốc ban đầu là 5 m/s. Viết hàm số biểu thị quãng đường rơi s theo thời gian t và vẽ đồ thị của hàm số đó, lúc t = 5s thì vật đã rơi được bao nhiêu mét, biết g = 10m/s², hệ trục tọa độ chọn mốc từ lúc vật bắt đầu rơi, gốc tọa độ ở vật tại thời điểm bắt đầu rơi.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc ban đầu của vật là v₀ = 5 m/s.

Do đây là vật rơi nên vật sẽ chuyển động nhanh dần đều.

Suy ra hàm số biểu thị quãng đường rơi s theo thời gian t là:

s = s₀ + v₀t + gt².

Ta thấy hệ trục tọa độ chọn mốc từ lúc vật bắt đầu rơi, gốc tọa độ ở vật tại thời điểm bắt đầu rơi nên s₀ = 0, thời gian là đại lượng không âm nên t ≥ 0.

Ta vẽ đồ thị hàm số: s = f(t) = 5t + 5t².

Đồ thị hàm số s = f(t) = 5t + 5t² trên hệ trục tọa độ Oxy (trục Oy thay cho Os, Ox thay cho Ot) là Parabol có đỉnh S(–0,5; –1,25), trục đối xứng x = –0,5 và đi qua các điểm (0; 0), (–1; 0).

Đồ thị hàm số: s = f(t) = 5t + 5t² với t ≥ 0 thì ta chỉ lấy phần x ≥ 0 của (P) nên ta có phần đồ thị nét liền như hình vẽ dưới đây.

Khi t = 5 thì vật đã rơi được quãng đường là:

s = f(5) = 5. 5 + 5. 5² = 150 (m).

Vậy sau 5s thì vật rơi được 150 m.

Bài 10. Một lớp muốn thuê một chiếc xe khách cho chuyến tham quan với tổng đoạn đường cần di chuyển trong khoảng từ 300 km đến 450 km, có hai công ty được tiếp cận để tham khảo giá.

Công ty A có giá khởi đầu là 3,5 triệu đồng cộng thêm 5 000 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe.

Công ty B có giá khởi đầu là 2,75 triệu đồng cộng thêm 7 500 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe. Lớp đó nên chọn công ty nào để chi phí là thấp nhất?

Hướng dẫn giải:

Đổi 3,5 triệu đồng = 3 500 000 đồng; 2,75 triệu đồng = 2 750 000 đồng.

Gọi x (km) là tổng đoạn đường cần di chuyển của lớp (300 ≤ x ≤ 450) và y là chi phí lớp đó phải trả cho việc thuê xe.

Ta có với mỗi giá trị của x có đúng một giá trị của y nên y là hàm số của x.

Đối với công ty A, ta có số tiền cần trả được biểu diễn theo hàm số:

y_A = 3 500 000 + 5000x

Vì 300 ≤ x ≤ 450

Nên 5 000 000 ≤ 3 500 000 + 5000x ≤ 5 750 000

Hay 5 000 000 ≤ y_A ≤ 5 750 000.

Đối với công ty B, ta có số tiền cần trả được biểu diễn theo hàm số:

y_B = 2 750 000 + 7500x

Vì 300 ≤ x ≤ 450

Nên 5 000 000 ≤ 2 750 000 + 7500x ≤ 6 125 000

Hay 5 000 000 ≤ y_B ≤ 6 125 000.

Ta thấy khoảng chi phí cho việc thuê xe của công ty A thấp hơn so với khoảng chi phí cho việc thuê xe ở công ty B với cùng số ki – lô – mét di chuyển.

Vậy để chi phí là thấp nhất thì lớp đó nên chọn xe của công ty A.

Bài 11. Khi du lịch đến thành phố St.Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như hình vẽ (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng có vị trí tọa độ (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ là (10; 43). Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Hướng dẫn giải:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

Cổng Arch có dạng hình parabol nên có dạng: y = ax² + bx + c (a ≠ 0) (1)

Ta có parabol này đi qua gốc tọa độ O(0; 0), điểm M(10; 43) và điểm có tọa độ (162; 0).

Vì điểm O(0; 0) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 0 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 0 = a . 0² + b . 0 + c ⇔ c = 0

Vì điểm M(10; 43) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 10 và y = 43 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 43 = a.10² + b.10 + c $\iff$100a + 10b = 43 (do c = 0)

Vì điểm có tọa độ (162; 0) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 162 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 0 = a.162² + b. 162 + c

$\iff$ 26 244a + 162b = 0

$\iff$ 162a + b = 0

Khi đó ta có hệ phương trình:

Do đó: $y=\frac{-43}{1520}{x}^2+\frac{3483}{760}x$

Ta có $a=-\frac{43}{1520}<0$, parabol có bề lõm hướng xuống dưới nên điểm cao nhất chính là điểm đỉnh của parabol và khi đó chiều cao của cổng chính là tung độ đỉnh của parabol.

Ta có: $\Delta =b^2-4ac={\left(\frac{3483}{760}\right)}^2-0={\left(\frac{3483}{760}\right)}^2$

Tung độ của đỉnh: $-\frac{\Delta }{4a}=-\left({\left(\frac{3483}{760}\right)}^2:\left(4.\frac{-43}{1520}\right)\right)\approx 186$.

Vậy chiều cao của cổng khoảng 186 m.

Học tốt Toán 10 Chương 3

Các bài học để học tốt Chương 3 Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài tập cuối chương 3