Tập hợp (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 2: Tập hợp sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tập hợp (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Tập hợp

1. Nhắc lại về tập hợp

– Trong toán học, người ta dùng từ tập hợp để chỉ một nhóm đối tượng nào đó hoàn toàn xác định. Mỗi đối tượng trong nhóm gọi là một phần tử của tập hợp đó.

– Người ta thường kí hiệu tập hợp bằng các chữ cái in hoa A, B, C, … và kí hiệu phần tử của tập hợp bằng các chữ cái in thường a, b, c, ….

– Chú ý: Đôi khi, để ngắn gọn, người ta dùng từ “tập” thay cho “tập hợp”.

Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc là “a thuộc A”). Để chỉ a không là phần tử của tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc là “a không thuộc A”).

Ví dụ 1.

+ Để chỉ 5 là phần tử của tập số tự nhiên ℕ, ta viết 5 ∈ ℕ.

+ Để chỉ –1 không là phần tử của tập số tự nhiên ℕ, ta viết –1 ∉ ℕ.

– Một tập hợp có thể không chứa phần tử nào. Tập hợp như vậy gọi là tập rỗng, kí hiệu ∅.

– Người ta thường kí hiệu các tập hợp số như sau: ℕ là tập hợp các số tự nhiên, ℤ là tập hợp các số nguyên, ℚ là tập hợp các số hữu tỉ, ℝ là tập hợp các số thực.

Ví dụ 2. Muốn kí hiệu phần tử 5 thuộc tập số thực, ta kí hiệu: 5 ∈ ℝ.

*Cách xác định tập hợp

Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;

Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Chú ý:

– Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta có một số chú ý sau đây:

+ Các phần tử có thể được viết theo thứ tự tùy ý.

Chẳng hạn, để viết tập hợp A các nghiệm của phương trình x.(x – 1) = 0, ta có thể viết A = {0; 1} hoặc A = {1; 0}.

+ Mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần.

Chẳng hạn, nếu kí hiệu B là tập hợp các chữ cái tiếng Anh trong từ “mathematics” thì B = {m; a; t; g; e; i; c; s}.

+ Nếu quy tắc xác định các phần tử đủ rõ thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.

Chẳng hạn, tập hợp các số tự nhiên không quá 100 có thể viết là {0; 1; 2; …; 100}.

– Có những tập hợp ta có thể đếm hết các phần tử của chúng. Những tập hợp như vậy được gọi là tập hợp hữu hạn.

Ví dụ 3. Cho tập hợp D các số tự nhiên chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nhưng nhỏ hơn 10. Mô tả tập hợp D theo hai cách:

Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp: D = {6; 9}.

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phẩn tử: D = {n ∈ ℕ | n ⋮ 3, 3 < n < 10}.

2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau

– Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nói tập hợp A là tập con của tập hợp B và kí hiệu A ⊂ B (đọc là A chứa trong B), hoặc B ⊃ A (đọc là B chứa A).

Nhận xét:

+ A ⊂ A và ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A.

+ Nếu A không phải là tập con của B thì ta kí hiệu A ⊄ B (đọc là A không chứa trong B hoặc B không chứa A).

+ Nếu A ⊂ B hoặc B ⊂ A thì ta nói A và B có quan hệ bao hàm.

– Trong toán học, người ta thường minh họa một tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường cong kín, gọi là biểu đồ Ven.

Ta có thể minh họa A là tập con của B bằng biểu đồ Ven như hình sau:

Chú ý: Giữa các tập hợp số quen thuộc (tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ, tập số thực), ta có quan hệ bao hàm:  ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Ví dụ 4. Cho tập hợp T = {2; 3; 5}; S = {2; 3; 5; 7; 9}; M = {2; 3; 4; 5}.

+ Tập hợp T là tập con của tập hợp S vì tất cả phần tử của T đều có trong tập hợp S.

Ta kí hiệu T ⊂ S.

+ Tập hợp M không là tập hợp con của tập hợp S vì tập M có phần tử 4 không thuộc tập hợp S.

Ta kí hiệu M ⊄ S.

– Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B, nếu A ⊂ B và B ⊂ A.

Nói cách khác, hai tập hợp A và B bằng nhau nếu mỗi phần tử của tập hợp này cũng là phần tử của tập hợp kia và ngược lại.

Ví dụ 5. Cho 2 tập hợp: T = {n ∈ ℕ | n ⋮ 9, 7 < n < 14} và S = {n ∈ ℕ | n ⋮ 3, 8 < n < 10}.

Tìm các phần tử của T và S ta có T = {9} và S = {9} nên T = S.

3. Một số tập con của tập hợp số thực

Ta thường sử dụng các tập con của tập số thực sau đây (a và b là các số thực, a < b):

Tên gọi và kí hiệu	Tập hợp	Biểu diễn trên trục số
Tập số thực (-∞; +∞)	ℝ
Đoạn [a; b]	{x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
Khoảng (a; b)	{x ∈ ℝ | a < x < b}
Nửa khoảng [a; b)	{x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
Nửa khoảng (a; b]	{x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
Nửa khoảng (-∞; a]	{x ∈ ℝ | x ≤ a}
Nửa khoảng [a; +∞)	{x ∈ ℝ | x ≥ a}
Khoảng (-∞; a)	{x ∈ ℝ | x < a}
Khoảng (a; +∞)	{x ∈ ℝ | x > a}

Trong các kí hiệu trên, kí hiệu –∞ đọc là âm vô cực (âm vô cùng), kí hiệu +∞ đọc là dương vô cực (dương vô cùng).

Ví dụ 6.

• Số x thỏa mãn 2 < x ≤ 6 thì ta kí hiệu x ∈ (2; 6].

Biểu diễn trên trục số:

• Số x thỏa mãn x ≥ 7 thì ta kí hiệu x ∈ [7; +∞).

Bài tập Tập hợp

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào bằng nhau:

A. A = {0; 2; 4; 6; 8}, B = {x| x ∈ ℕ| x ⋮ 2 và x < 12};

B. A = {x ∈ ℕ| x ⋮ 2 và 2 < x < 6}, B = {x ∈ ℕ| x ⋮ 4 và 1 < x < 5};

C. A = {2; 4; 6; 8}, B = {x ∈ ℕ| x ⋮ 2 và x < 10};

D. A = {x ∈ ℕ| x ⋮ 3 và x < 12}, B = {x ∈ ℕ| x ⋮ 4 và x < 12}.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

• Liệt kê các phần tử của các tập hợp phương án A:

A = {0; 2; 4; 6; 8}; B = {0; 2; 4; 6; 8; 10}.

Vậy tập hợp A không bằng tập hợp B.

• Liệt kê các phần tử của các tập hợp phương án B:

A = {4}; B = {4}.

Vậy tập hợp A bằng tập hợp B.

• Liệt kê các phần tử của các tập hợp phương án C:

A = {2; 4; 6; 8}; A = {0; 2; 4; 6; 8}.

Vậy tập hợp A không bằng tập hợp B.

• Liệt kê các phần tử của các tập hợp phương án D:

A = {0; 3; 6; 9}; B = {0; 4; 8}.

Vậy tập hợp A không bằng tập hợp B.

Ta chọn phương án B.

Câu 2. Tất cả các tập con của tập hợp B = {x| x ∈ ℕ, x < 3} là:

A. {0}, {1}, {2};

B. {0}, {1}, {2}, {0; 1}, {0; 2}, {1; 2};

C. {0}, {1}, {2}, {0; 1}, {0; 2}, {1; 2}; {0; 1; 2};

D. {0}, {1}, {2}, {0; 1}, {0; 2}, {1; 2}; {0; 1; 2}; ∅.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Liệt kê phần tử của tập B: B = {0; 1; 2}.

Các tập hợp {0}, {1}, {2}, {0; 1}, {0; 2}, {1; 2}; {0; 1; 2} đều là tập con của tập B vì đều có các phần tử của tập B, ngoài ra tập rỗng ∅ cũng là tập con của B.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 3. Tập nào dưới đây có biểu diễn trên trục số như sau:

A. (1; 4);

B. (‒1; 4];

C. [‒1; 4];

D. [1; 4).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cách 1:

Ta thấy trên trục số biểu diễn [‒1; 4].

Cách 2:

Phương án A: (1; 4)

Phương án B: (‒1; 4]

Phương án C: [‒1; 4]

Phương án D: [1; 4)

Vậy kí hiệu [‒1; 4] là đúng.

Ta chọn phương án C.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp:

a) A = {0; 4; 8; 12}.

b) B = {15; 24; 35; 48}.

Hướng dẫn giải

a) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 4, x < 13}.

b) B = {n ∈ ℕ | n² – 1, 3 < n < 8}.

Bài 2. Hãy viết tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:

a) A = {x ∈ ℤ| x² – 1 và ‒1 < x < 2};

b) B = {x ∈ ℝ | x ⋮ 5, 0 ≤ x < 50}.

Hướng dẫn giải

a) A = {1; 0}.

b) B = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45}.

Bài 3. Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng viết tập hợp sau và vẽ chúng trên trục số:

a) {x ∈ ℝ | 7 < x ≤ 12}.

b) {x ∈ ℝ | x + 5 ≤ 0}.

Hướng dẫn giải

a) Kí hiệu: (7; 12].

Biểu diễn trên trục số:

b) Ta có: x + 5 ≤ 0

⇔ x ≤ –5.

Kí hiệu: (‒∞; ‒5].

Biểu diễn trên trục số:

Học tốt Tập hợp

Các bài học để học tốt Tập hợp Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 2: Tập hợp