Mệnh đề (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 1: Mệnh đề sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Mệnh đề (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Mệnh đề

1. Mệnh đề

– Những khẳng định có tính hoặc đúng hoặc sai được gọi là mệnh đề logic (hay mệnh đề).

– Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.

• Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng.

• Một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.

• Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Chú ý:

+ Người ta thường sử dùng các chữ cái in hoa P, Q, R, … để kí hiệu các mệnh đề.

+ Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là mệnh đề toán học.

Ví dụ 1.

+ “Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0” là một mệnh đề.

+ “Số 2 là số chẵn” là mệnh đề đúng.

+ “Số 2 là số lẻ” là mệnh đề sai.

+ “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề nhưng không phải mệnh đề toán học vì không liên quan đến toán học.

+ “Số  là một số hữu tỉ” là mệnh đề toán học.

2. Mệnh đề chứa biến

– Mệnh đề chứa biến là mệnh đề chưa khẳng định được tính đúng sai, cần có giá trị cụ thể của biến mới có thể khẳng định tính đúng sai của mệnh đề đó.

– Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n).

– Một mệnh đề chứa biến có thể chứa một biến hoặc nhiều biến.

Ví dụ 2.

+ “18 chia hết cho 9”: không phải là mệnh đề chứa biến vì không có biến trong mệnh đề.

+ “3n chia hết cho 9” là mệnh đề chứa biến n.

• Khi n = 3 thì mệnh đề này là mệnh đề đúng.

• Khi n = 4 thì mệnh đề này là mệnh đề sai.

3. Mệnh đề phủ định

– Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu là $\overline{P}$ .

– Mệnh đề P và mệnh đề phủ định $\overline{P}$ của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là khi P đúng thì $\overline{P}$ sai, khi P sai thì $\overline{P}$ đúng.

Nhận xét:

+ Thông thường để phủ định một mệnh đề, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

Ví dụ 3.

+ Mệnh đề $\overline{P}$: “4 không chia hết cho 9” là mệnh đề phủ định của mệnh đề P: “4 chia hết cho 9”.

+ Mệnh đề P: “4 chia hết cho 9” là mệnh đề sai nên mệnh đề phủ định của nó là $\overline{P}$: “4 không chia hết cho 9” là mệnh đề đúng.

4. Mệnh đề kéo theo

– Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu là P ⇒ Q.

– Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Nhận xét:

+ Mệnh đề P ⇒ Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.

+ Để xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q, ta chỉ cần xét trường hợp P đúng.

Khi đó, nếu Q đúng thì mệnh đề đúng, nếu Q sai thì mệnh đề sai. Ta đã quen với điều này khi chứng minh nhiều định lí ở Trung học cơ sở.

Ví dụ 4. Cho hai mệnh đề: P: “9 chia hết cho 9”; Q: “9 chia hết cho 3”.

“Nếu 9 chia hết cho 9 thì 9 chia hết cho 3” là mệnh đề kéo theo có dạng P ⇒ Q.

P là mệnh đề đúng và Q là mệnh đề đúng nên mệnh đề kéo theo P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

– Khi mệnh đề P ⇒ Q là định lí, ta nói:

• P là giả thiết, Q là kết luận của định lí;

• P là điều kiện đủ để có Q;

• Q là điều kiện cần để có P.

Ví dụ 5. Định lí Ta – lét: “Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì đường thẳng đó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ”.

Định lí có mệnh đề P: “Một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại” là giả thiết, mệnh đề Q: “Đường thẳng đó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ” là kết luận.

Khi đó ta cũng có thể phát biểu định lí trên như sau: “Một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại là điều kiện đủ để đường thẳng đó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ”.

5. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

– Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

Ví dụ 6. Cho hai mệnh đề:

P: “n = 0”; Q: “n là số nguyên”.

Mệnh đề P ⇒ Q là “Nếu n = 0 thì n là số nguyên”.

Mệnh đề Q ⇒ P là: “Nếu n là số nguyên thì n = 0”.

+ Mệnh đề Q ⇒ P: “Nếu n là số nguyên thì n = 0” là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu n = 0 thì n là số nguyên”.

+ Mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng còn mệnh đề Q Þ P không đúng.

– Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu là P ⇔ Q (đọc là “P tương đương Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”).

– Khi đó ta cũng nói P là điều kiện cần và đủ để có Q (hay Q là điều kiện cần và đủ để có P).

Nhận xét: Hai mệnh đề P và Q tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng sai.

Ví dụ 7. Cho 2 mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”;

Q: “Tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song”.

Mệnh đề P ⇒ Q là: “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song” là mệnh đề .

Mệnh đề Q ⇒ P là: “Nếu tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song thì tứ giác ABCD là hình bình hành”.

Hai mệnh đề này đều đúng nên P và Q là hai mệnh đề tương đương.

Khi đó ta kí hiệu P ⇔ Q.

6. Mệnh đề chứa kí hiệu ∀ và ∃

– Kí hiệu ∀ đọc là “với mọi”.

– Kí hiệu ∃ đọc là “tồn tại”.

– Mệnh đề “∀x ∈ M, P(x)” đúng nếu với mọi x₀ ∈ M, P(x₀) là mệnh đề đúng.

Mệnh đề “∃x ∈ M, P(x)” đúng nếu có x₀ ∈ M sao cho P(x₀) là mệnh đề đúng.

Ví dụ 8. 

+ Phát biểu “Với mọi số tự nhiên n” có thể kí hiệu là ∀n ∈ ℕ.

+ Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n” có thể kí hiệu là ∃n ∈ ℕ.

+ Với mọi x là số tự nhiên, mệnh đề “x + 1 > 0” là mệnh đề đúng.

Vậy mệnh đề “∀n ∈ ℕ, x + 1 > 0” là mệnh đề đúng.

+ Tồn tại số thực x, mệnh đề “x² ≤ 0” là mệnh đề đúng. Chẳng hạn x = 0.

Vậy mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x² ≤ 0” là mệnh đề đúng.

Bài tập Mệnh đề

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tìm mệnh đề kéo theo của hai mệnh đề “x là số lẻ” và “x chia hết cho 2”.

A. “Nếu x là số lẻ thì x chia hết cho 2”;

B. “Nếu x là số chẵn thì x chia hết cho 2”;

C. “Nếu x không là số lẻ thì x không chia hết cho 2”;

D. “Nếu x chia hết cho 2 thì x là số lẻ”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mệnh đề kéo theo là mệnh đề có dạng “Nếu … (mệnh đề 1) thì … (mệnh đề 2)”.

Vậy mệnh đề kéo theo của hai mệnh đề “x là số lẻ” và “x chia hết cho 2” là “Nếu x là số lẻ thì x chia hết cho 2”.

Ta chọn phương án A.

Câu 2. Mệnh đề chứa biến: “x³ – 3x² + 2x = 0” đúng với giá trị nào của x?

A. x ∈ {0; 2};

B. x ∈ {0; 3};

C. x ∈ {0; 2; 3};

D. x ∈ {0; 1; 2}.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Giải phương trình x³ – 3x² + 2x = 0 ta được nghiệm là x = 0; x = 1; x = 2.

Vậy mệnh đề chứa biến: “x³ – 3x² + 2x = 0” đúng với giá trị x ∈ {0; 1; 2}.

Câu 3. Mệnh đề P ⇒ Q sai khi nào?

A. P đúng, Q đúng;

B. Q đúng, P sai;

C. P sai, Q sai;

D. Q sai, P đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q khi mệnh đề P đúng, do đó để mệnh đề P ⇒ Q sai thì P đúng và Q sai.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề đúng, mệnh đề sai, mệnh đề chứa biến?

a) “5 là số vô tỉ”;

b) “x chia hết cho y”;

c) “Số 9999 là một số rất đẹp”;

d) “x có phải là số nguyên không?”.

Hướng dẫn giải

a) “5 là số vô tỉ”: là mệnh đề và là mệnh đề sai vì đây là khẳng định sai.

b) “x chia hết cho y”: là mệnh đề chứa biến vì khi x = 6 và y = 2 thì đây là khẳng định đúng, nhưng khi x = 3 và y = 2 thì đây là khẳng định sai.

c) “Số 9999 là một số rất đẹp”: đây không là mệnh đề do không có tính hoặc đúng hoặc sai (do không đưa ra tiêu chí thế nào là số rất đẹp).

d) “x có phải là số nguyên không?”: đây là câu hỏi nên không phải là mệnh đề.

Bài 2. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai mệnh đề phủ định đó:

a) P: “Số 21 chia hết cho 6”.

b) P: “7 là một số nguyên tố”.

Hướng dẫn giải

a) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P: “Số 21 chia hết cho 6” là $\overline{P}$: “Số 21 không chia hết cho 6”. Mệnh đề phủ định này là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P: “7 là một số nguyên tố” là $\overline{P}$: “7 không là một số nguyên tố”. Mệnh đề phủ định này là mệnh đề sai.

Bài 3. Phát biểu mệnh đề và xét mệnh đề đúng hay sai, viết mệnh đề phủ định của mệnh đề sau:

a) ∀x ∈ ℤ, x² ≥ 0.

b) ∃x ∈ ℤ, x < 0.

Hướng dẫn giải

a) Phát biểu mệnh đề: “Mọi số nguyên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng 0”.

Đây là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định là: “∃x ∈ ℤ, x² < 0”.

b) Phát biểu mệnh đề: “Tồn tại số nguyên nhỏ hơn 0”.

Đây là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định là: “∀x ∈ ℤ, x ≥ 0”.

Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC có ba góc bằng nhau”.

Q: “Tam giác ABC là tam giác đều”.

Hai mệnh đề P và Q có tương đương nhau không? Nếu có, phát biểu bằng nhiều cách?

Hướng dẫn giải

– Ta có:

• P ⇒ Q: “Tam giác ABC có ba góc bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều”.

Do đó mệnh đề P ⇒ Q đúng.

• Q ⇒ P: “Tam giác ABC là tam giác đều thì tam giác ABC có ba góc bằng nhau”.

Do đó mệnh đề Q ⇒ P đúng.

• P và Q là hai mệnh đề tương đương nhau bởi hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng.

– Phát biểu nhiều cách:

+ Tam giác ABC có ba góc bằng nhau tương đương tam giác ABC là tam giác đều.

+ Tam giác ABC có ba góc bằng nhau khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.

+ Để tam giác có ba góc bằng nhau, điều kiện cần và đủ là tam giác ABC là tam giác đều.

Học tốt Mệnh đề

Các bài học để học tốt Mệnh đề Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 1: Mệnh đề