X

Lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 1: Khái niệm vectơ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Khái niệm vectơ

1. Định nghĩa vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

+ Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là AB, đọc là vectơ AB.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ AB.

+ Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ ABvà được kí hiệu là |AB|. Như vậy ta có |AB|=AB.

Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là a, b, x, y,...

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 2a, BC = 2a3. Gọi M là trung điểm BC. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ dài của các vectơ: BA, MB, AM.

Hướng dẫn giải

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 3)

+ Vectơ BA:

BA có điểm đầu là B, điểm cuối là A và có giá là đường thẳng AB.

Ta có: |BA| = BA = 2a.

+ Vectơ MB:

MB có điểm đầu là M, điểm cuối là B và có giá là đường thẳng MB.

Vì M là trung điểm BC nên BM = BC2=2a32=a3.

Do đó |MB|=MB=a3.

+ Vectơ AM:

AM có điểm đầu là A, điểm cuối là M và có giá là đường thẳng AM.

Tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến (do M là trung điểm BC).

Do đó AM cũng là đường cao của tam giác cân ABC.

Suy ra AM ⊥ BC.

Tam giác ABM vuông tại M: AM2 = AB2 – BM2 (Định lý Pythagore)

⇔ AM2 = 4a2 – 3a2 = a2.

Ta suy ra AM = a.

Do đó |AM| = AM = a.

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Ví dụ: Tìm các vectơ cùng phương trong hình bên dưới.

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 4)

Hướng dẫn giải

Trong hình trên, ta có:

+) f có giá là đường thẳng MN, PQ có giá là đường thẳng PQ, mà hai đường thẳng MN và PQ trùng nhau.

Do đó MNPQ là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá trùng nhau.

+) Ta có: EF có giá là đường thẳng EF, GH có giá là đường thẳng GH, mà hai đường thẳng EF và GH song song với nhau.

Do đó EFGH là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá song song.

Chú ý:

+ Trong hình trên, hai vectơ MNPQ cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói MNPQ là hai vectơ cùng hướng.

+ Hai vectơ EFGHcùng phương nhưng ngược hướng với nhau (EF có hướng từ trên xuống dưới và GHcó hướng từ dưới lên trên). Ta nói hai vectơ EFGHlà hai vectơ ngược hướng.

Nhận xét:

+ Hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ ABACcùng phương.

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 5)

3. Vectơ bằng nhau – Vectơ đối nhau

Hai vectơ abđược gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a=b.

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 6)

Hai vectơ abđược gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a=-b. Khi đó vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ a.

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 7)

Chú ý:

+ Cho vectơ a và điểm O, ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA=a. Khi đó độ dài của vectơ alà độ dài đoạn thẳng OA, kí hiệu là|a|.

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 8)

+ Cho đoạn thẳng MN, ta luôn có NM=MN.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm các cặp vectơ bằng nhau và các cặp vectơ đối nhau.

Hướng dẫn giải

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 9)

+ Các cặp vectơ bằng nhau:

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có AB // DC và AB = DC (tính chất hình bình hành).

Mà hai vectơ AB, DCcùng hướng và hai vectơ BA, CDcùng hướng.

Do đó AB=DCBA=CD.

Tương tự, AD=BCDA=CB.

Vậy ta có 4 cặp vectơ bằng nhau là: AB=DC, BA=CD, AD=BCDA=CB.

+ Các cặp vectơ đối nhau:

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có AB // DC và AB = DC (tính chất hình bình hành).

Mà hai vectơ AB, CDngược hướng và hai vectơ BA, DCngược hướng.

Do đó AB=CDBA=DC.

Tương tự, AD=CBDA=BC.

Vậy ta có 4 cặp vectơ đối nhau là: AB=CD, BA=DC, AD=CBDA=BC.

4. Vectơ-không

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu là 0.

Chú ý:

+ Quy ước: vectơ-không có độ dài bằng 0.

+ Vectơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau: 0=AA=BB=CC=..., với mọi điểm A, B, C,...

+ Vectơ đối của vectơ-không là chính nó.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4 cm. Gọi H là trung điểm của AB.

a) Tìm vectơ-không trong số các vectơ sau: AB, AH, BB, HH, HB, AA.

b) Dùng kí hiệu 0 để biểu diễn các vectơ-không đó.

c) Tính độ dài các vectơ ở câu a.

Hướng dẫn giải

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 10)

a) Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

Do đó các vectơ-không là: BB, HH, AA.

b) Ta viết 0=BB=HH=AA.

c) |BB|=|HH|=|AA|=|0|=0.

|AB|=AB=4 (cm).

Vì H là trung điểm AB nên AH = HB = AB2=42=2 (cm).

Do đó |AH| = AH = 2 (cm) và |HB| = HB = 2 (cm).

Bài tập Khái niệm vectơ

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. AA=0;

B. 0 cùng hướng với mọi vectơ;

C. |AB|>0;

D. 0 cùng phương với mọi vectơ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét trường hợp |AB|=0 AB=0 AB.

Do đó C là sai.

Câu 2. Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng.

Các vectơ AB, BC cùng hướng khi và chỉ khi

A. Điểm B thuộc đoạn AC;

B. Điểm A thuộc đoạn BC;

C. Điểm C thuộc đoạn AB;

D. Điểm B nằm ngoài đoạn AC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 11)

Các vectơ AB, BC cùng hướng khi và chỉ khi điểm B thuộc đoạn AC.

Câu 3. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 12cm. Độ dài của AC

A. 4cm;

B. 6cm;

C. 8cm;

D. 13cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 12)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên B^=90°.

Tam giác ABC vuông tại B: AC2=AB2+BC2 (Định líPythagore)

AC2=52+122=169.

⇒ AC = 13 (cm).

Do đó |AC| = AC = 13 (cm).

Vậy ta chọn D.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm đoạn BC.

a) Gọi tên các vectơ cùng hướng với BC.

b) Gọi tên các vectơ ngược hướng với BM.

c) Chỉ ra các cặp vectơ (khác vectơ-không) bằng nhau và đối nhau có các điểm đầu hoặc điểm cuối là A, B, C, D, M.

Hướng dẫn giải

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 13)

a) Vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ nên 0 cùng hướng với BC.

Các vectơ (khác vectơ-không) cùng hướng với vectơ BC là các vectơ có giá song song hoặc trùng với BC và có hướng từ trên xuống dưới giống như BC.

Các vectơ thỏa mãn 2 điều kiện trên là: BM, MC, AD.

Vậy có 4 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 0, BM, MC, AD.

b) Vì vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ nên vectơ đối của vectơ-không ngược hướng với BM.

Vectơ đối của vectơ-không là chính nó nên 0 ngược hướng với vectơ BM.

Các vectơ (khác vectơ-không) ngược hướng với BM là các vectơ có giá song song hoặc trùng với BM và có hướng ngược lại với BM, nghĩa là các vectơ cần tìm có hướng dưới lên trên.

Các vectơ thỏa mãn 2 điều kiện trên là: MB, CM, CB, DA.

Vậy có 5 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 0, MB, CM, CB, DA.

c) • Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD và AB = CD (tính chất hình chữ nhật).

Mà hai vectơ AB, DCcùng hướng và hai vectơ BA, CDcùng hướng.

Do đó AB=DCBA=CD.

+) Tương tự ta có: AD=BCDA=CB.

+) M là trung điểm của BC nên BM = MC = BC2

Mà hai vectơ BM, MCcùng hướng và hai vectơ MB,CMcùng hướng.

Do đó BM=MCMB=CM.

ABCDlà hai vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng nên AB=CD.

Do đó ABCDlà hai vectơ đối nhau.

Tương tự ta có các cặp vectơ đối nhau là: BADC; ADCB; DABC; BMCM; MBMC.

Bài 2. Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và A^=60°. Tính |OA|

Hướng dẫn giải

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo (ảnh 14)

Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD.

Do đó tam giác ABD cân tại A.

Mà tam giác ABD có A^=60°.

Do đó tam giác ABD là tam giác đều.

Tam giác ABD đều cạnh bằng a có AO là đường trung tuyến (vì O là tâm của hình thoi ABCD nên O là trung điểm BD).

Suy ra AO cũng là đường cao của tam giác ABD.

Vì O là trung điểm BD nên BO = BD2=a2.

Tam giác ABO vuông tại O: AO2=AB2BO2 (Định líPythagore)

AO2=a2a22=3a24.

AO=a32.

|OA| = OA = a32.

Vậy |OA| = a32.

Học tốt Khái niệm vectơ

Các bài học để học tốt Khái niệm vectơ Toán lớp 10 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: