Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 1: Khái niệm vectơ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Khái niệm vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Khái niệm vectơ

1. Định nghĩa vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

+ Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$, đọc là vectơ $\overrightarrow{AB}$.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

+ Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$và được kí hiệu là |$\overrightarrow{AB}$|. Như vậy ta có |$\overrightarrow{AB}$|=AB.

Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\mathrm{...}$

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 2a, BC = 2a$\sqrt{3}$. Gọi M là trung điểm BC. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ dài của các vectơ: $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{AM}$.

Hướng dẫn giải

+ Vectơ $\overrightarrow{BA}$:

$\overrightarrow{BA}$ có điểm đầu là B, điểm cuối là A và có giá là đường thẳng AB.

Ta có: |$\overrightarrow{BA}$| = BA = 2a.

+ Vectơ $\overrightarrow{MB}$:

$\overrightarrow{MB}$ có điểm đầu là M, điểm cuối là B và có giá là đường thẳng MB.

Vì M là trung điểm BC nên BM = $\frac{BC}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Do đó |$\overrightarrow{MB}$|=MB=a$\sqrt{3}$.

+ Vectơ $\overrightarrow{AM}$:

$\overrightarrow{AM}$ có điểm đầu là A, điểm cuối là M và có giá là đường thẳng AM.

Tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến (do M là trung điểm BC).

Do đó AM cũng là đường cao của tam giác cân ABC.

Suy ra AM ⊥ BC.

Tam giác ABM vuông tại M: AM² = AB² – BM² (Định lý Pythagore)

⇔ AM² = 4a² – 3a² = a².

Ta suy ra AM = a.

Do đó |$\overrightarrow{AM}$| = AM = a.

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Ví dụ: Tìm các vectơ cùng phương trong hình bên dưới.

Hướng dẫn giải

Trong hình trên, ta có:

+) f có giá là đường thẳng MN, $\overrightarrow{PQ}$ có giá là đường thẳng PQ, mà hai đường thẳng MN và PQ trùng nhau.

Do đó $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá trùng nhau.

+) Ta có: $\overrightarrow{EF}$ có giá là đường thẳng EF, $\overrightarrow{GH}$ có giá là đường thẳng GH, mà hai đường thẳng EF và GH song song với nhau.

Do đó $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{GH}$ là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá song song.

Chú ý:

+ Trong hình trên, hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ là hai vectơ cùng hướng.

+ Hai vectơ $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{GH}$cùng phương nhưng ngược hướng với nhau ($\overrightarrow{EF}$ có hướng từ trên xuống dưới và $\overrightarrow{GH}$có hướng từ dưới lên trên). Ta nói hai vectơ $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{GH}$là hai vectơ ngược hướng.

Nhận xét:

+ Hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$cùng phương.

3. Vectơ bằng nhau – Vectơ đối nhau

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$.

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\overrightarrow{a}$=-$\overrightarrow{b}$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{b}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$.

Chú ý:

+ Cho vectơ $\overrightarrow{a}$ và điểm O, ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho $\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$. Khi đó độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$là độ dài đoạn thẳng OA, kí hiệu là|$\overrightarrow{a}$|.

+ Cho đoạn thẳng MN, ta luôn có $\overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{MN}$.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm các cặp vectơ bằng nhau và các cặp vectơ đối nhau.

Hướng dẫn giải

+ Các cặp vectơ bằng nhau:

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có AB // DC và AB = DC (tính chất hình bình hành).

Mà hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}$cùng hướng và hai vectơ $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CD}$cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$và $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$.

Tương tự, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$và $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$.

Vậy ta có 4 cặp vectơ bằng nhau là: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$và $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$.

+ Các cặp vectơ đối nhau:

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có AB // DC và AB = DC (tính chất hình bình hành).

Mà hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ngược hướng và hai vectơ $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DC}$ngược hướng.

Do đó $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$và $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{DC}$.

Tương tự, $\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{CB}$và $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}$.

Vậy ta có 4 cặp vectơ đối nhau là: $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{CB}$và $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}$.

4. Vectơ-không

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu là $\overrightarrow{0}$.

Chú ý:

+ Quy ước: vectơ-không có độ dài bằng 0.

+ Vectơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau: $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{CC}=\mathrm{...}$, với mọi điểm A, B, C,...

+ Vectơ đối của vectơ-không là chính nó.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4 cm. Gọi H là trung điểm của AB.

a) Tìm vectơ-không trong số các vectơ sau: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BB},\overrightarrow{HH},\overrightarrow{HB},\overrightarrow{AA}$.

b) Dùng kí hiệu $\overrightarrow{0}$ để biểu diễn các vectơ-không đó.

c) Tính độ dài các vectơ ở câu a.

Hướng dẫn giải

a) Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

Do đó các vectơ-không là: $\overrightarrow{BB},\overrightarrow{HH},\overrightarrow{AA}$.

b) Ta viết $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{HH}=\overrightarrow{AA}$.

c) |$\overrightarrow{BB}$|=|$\overrightarrow{HH}$|=|$\overrightarrow{AA}$|=|$\overrightarrow{0}$|=0.

|$\overrightarrow{AB}$|=AB=4 (cm).

Vì H là trung điểm AB nên AH = HB = $\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2$ (cm).

Do đó |$\overrightarrow{AH}$| = AH = 2 (cm) và |$\overrightarrow{HB}$| = HB = 2 (cm).

Bài tập Khái niệm vectơ

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\overrightarrow{\text{AA}}=\overrightarrow{0}$;

B. $\overrightarrow{0}$ cùng hướng với mọi vectơ;

C. |$\overrightarrow{AB}$|>0;

D. $\overrightarrow{0}$ cùng phương với mọi vectơ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét trường hợp |$\overrightarrow{AB}$|=0$\iff$ AB=0$\iff$ A$\equiv$B.

Do đó C là sai.

Câu 2. Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng.

Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng khi và chỉ khi

A. Điểm B thuộc đoạn AC;

B. Điểm A thuộc đoạn BC;

C. Điểm C thuộc đoạn AB;

D. Điểm B nằm ngoài đoạn AC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng khi và chỉ khi điểm B thuộc đoạn AC.

Câu 3. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 12cm. Độ dài của $\overrightarrow{AC}$ là

A. 4cm;

B. 6cm;

C. 8cm;

D. 13cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\hat{B}=90°$.

Tam giác ABC vuông tại B: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$ (Định líPythagore)

$\iff A{C}^2=5^2+{12}^2=169$.

⇒ AC = 13 (cm).

Do đó |$\overrightarrow{AC}$| = AC = 13 (cm).

Vậy ta chọn D.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm đoạn BC.

a) Gọi tên các vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$.

b) Gọi tên các vectơ ngược hướng với $\overrightarrow{BM}$.

c) Chỉ ra các cặp vectơ (khác vectơ-không) bằng nhau và đối nhau có các điểm đầu hoặc điểm cuối là A, B, C, D, M.

Hướng dẫn giải

a) Vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ nên $\overrightarrow{0}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}.$

Các vectơ (khác vectơ-không) cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{BC}$ là các vectơ có giá song song hoặc trùng với $\overrightarrow{BC}$ và có hướng từ trên xuống dưới giống như $\overrightarrow{BC}$.

Các vectơ thỏa mãn 2 điều kiện trên là: $\overrightarrow{BM},\overrightarrow{MC},\overrightarrow{AD}$.

Vậy có 4 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\overrightarrow{0},\overrightarrow{BM},\overrightarrow{MC},\overrightarrow{AD}$.

b) Vì vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ nên vectơ đối của vectơ-không ngược hướng với $\overrightarrow{BM}$.

Vectơ đối của vectơ-không là chính nó nên $\overrightarrow{0}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{BM}$.

Các vectơ (khác vectơ-không) ngược hướng với $\overrightarrow{BM}$ là các vectơ có giá song song hoặc trùng với $\overrightarrow{BM}$ và có hướng ngược lại với $\overrightarrow{BM}$, nghĩa là các vectơ cần tìm có hướng dưới lên trên.

Các vectơ thỏa mãn 2 điều kiện trên là: $\overrightarrow{MB},\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{DA}$.

Vậy có 5 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\overrightarrow{0},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{DA}$.

c) • Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD và AB = CD (tính chất hình chữ nhật).

Mà hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}$cùng hướng và hai vectơ $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CD}$cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$và $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$.

+) Tương tự ta có: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$và $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}.$

+) M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{BC}{2}$

Mà hai vectơ $\overrightarrow{BM},\overrightarrow{MC}$cùng hướng và hai vectơ $\overrightarrow{MB},\overrightarrow{CM}$cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}$và $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CM}.$

• $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$là hai vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng nên $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}.$

Do đó $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$là hai vectơ đối nhau.

Tương tự ta có các cặp vectơ đối nhau là: $\overrightarrow{BA}$và $\overrightarrow{DC}$; $\overrightarrow{AD}$và $\overrightarrow{CB;}$ $\overrightarrow{DA}$và $\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{BM}$và $\overrightarrow{CM};$ $\overrightarrow{MB}$và $\overrightarrow{MC}.$

Bài 2. Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và $\hat{A}=60°$. Tính |$\overrightarrow{OA}$|

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD.

Do đó tam giác ABD cân tại A.

Mà tam giác ABD có $\hat{A}=60°$.

Do đó tam giác ABD là tam giác đều.

Tam giác ABD đều cạnh bằng a có AO là đường trung tuyến (vì O là tâm của hình thoi ABCD nên O là trung điểm BD).

Suy ra AO cũng là đường cao của tam giác ABD.

Vì O là trung điểm BD nên BO = $\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}$.

Tam giác ABO vuông tại O: $A{O}^2=A{B}^2-B{O}^2$ (Định líPythagore)

$\iff A{O}^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$.

$\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$\Rightarrow$|$\overrightarrow{OA}$| = OA = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy |$\overrightarrow{OA}$| = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Học tốt Khái niệm vectơ

Các bài học để học tốt Khái niệm vectơ Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 1: Khái niệm vectơ