X

Lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo


Với Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5: Vectơ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết tổng hợp Toán 10 Chương 5

1. Định nghĩa vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

+ Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là AB, đọc là vectơ AB.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ AB.

+ Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ ABvà được kí hiệu là |AB|. Như vậy ta có |AB|=AB.

Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là a, b, x, y,...

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Ví dụ: Tìm các vectơ cùng phương trong hình bên dưới.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 3)

Hướng dẫn giải

Trong hình trên, ta có:

+) MN có giá là đường thẳng MN, PQ có giá là đường thẳng PQ, mà hai đường thẳng MN và PQ trùng nhau.

Do đó MNPQ là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá trùng nhau.

+) Ta có: EF có giá là đường thẳng EF, GH có giá là đường thẳng GH, mà hai đường thẳng EF và GH song song với nhau.

Do đó EFGH là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá song song.

Chú ý:

+ Trong hình trên, hai vectơ MNPQ cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói MNPQ là hai vectơ cùng hướng.

+ Hai vectơ EFGHcùng phương nhưng ngược hướng với nhau (EF có hướng từ trên xuống dưới và GHcó hướng từ dưới lên trên). Ta nói hai vectơ EFGHlà hai vectơ ngược hướng.

Nhận xét:

+ Hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ ABACcùng phương.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 4)

3. Vectơ bằng nhau – Vectơ đối nhau

Hai vectơ abđược gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a=b.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 5)

Hai vectơ abđược gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu a=-b. Khi đó vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ a.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 6)

Chú ý:

+ Cho vectơ a và điểm O, ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA=a. Khi đó độ dài của vectơ alà độ dài đoạn thẳng OA, kí hiệu là|a|.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 7)

+ Cho đoạn thẳng MN, ta luôn có NM=MN.

4. Vectơ-không

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu là 0.

Chú ý:

+ Quy ước: vectơ-không có độ dài bằng 0.

+ Vectơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau: 0=AA=BB=CC=..., với mọi điểm A, B, C,...

+ Vectơ đối của vectơ-không là chính nó.

5. Tổng của hai vectơ

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 8)

Cho hai vectơ ab. Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho AB=a, BC=b. Khi đó ACđược gọi là tổng của hai vectơ a bvà được kí hiệu là a+b.

Vậy a+b=AB+BC=AC.

Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Quy tắc ba điểm

Với ba điểm M, N, P, ta có MN+NP=MP.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 9)

Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.

Quy tắc hình bình hành

Nếu OACB là hình bình hành thì ta có OA+OB=OC.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 10)

6. Tính chất của phép cộng các vectơ

Phép cộng vectơ có các tính chất sau:

+ Tính chất giao hoán: a+b=b+a;

+ Tính chất kết hợp: a+b+c=a+b+c;

+ Với mọi vectơ a, ta luôn có: a+0=0+a=a.

Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ a, b, c, kí hiệu là a+b+c với a+b+c=a+b+c.

+Cho vectơ tùy ý a=AB.

Ta có a+a=AB+AB=AB+BA=AA=0.

Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: a+a=0.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 11)

7. Hiệu của hai vectơ

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 12)

Cho hai vectơ ab. Hiệu của hai vectơ ablà vectơ a+bvà kí hiệu là ab.

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có: OBOA=AB.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 13)

8. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA+MB=0.

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA+GB+GC=0.

9. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

Cho số k khác 0 và a khác 0. Tích củasố k với vectơ alà một vectơ, kí hiệu là ka.

Vectơ kacùng hướng với anếu k > 0, ngược hướng với anếu k < 0 và có độ dài bằng |k|.|a|.

Ta quy ước 0a = 0 và k0 = 0.

Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.

Tính chất:

Với hai vectơ ab bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:

• k(a+b) = ka + kb;

• (h+k)a = ha + ka;

• h(ka) = (hk)a;

• 1.a=a;

• (-1)a = -a.

10. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ ab (b khác 0) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho a = kb.

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB=kAC.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 14)

Chú ý: Cho hai vectơ ab không cùng phương. Với mỗi c luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho c = ma + nb.

11. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ abđều khác 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA=a, OB=b.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 15)

Góc AOB^với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ ab.

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ ab là (a, b).

Nếu (a, b)=90o thì ta nói rằng ab vuông góc với nhau, kí hiệu là ab.

Chú ý:

+ Từ định nghĩa, ta có a, b=b, a.

+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0°.

+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180°.

+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a hoặc b là vectơ 0 thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 16)

12. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ ab đều khác 0.

Tích vô hướng của ab là một số, kí hiệu là a.b, được xác định bởi công thức:

a.b= |a|.|b|.cos(a,b).

Chú ý:

a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ ab bằng 0, ta quy ước a.b = 0.

b) Với hai vectơ ab, ta có aba.b=0.

c) Khi a=b thì tích vô hướng a.b được kí hiệu là a2 và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a.

Ta có Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 17). Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của Fd biểu diễn công A sinh bởi lực F khi thực hiện độ dịch chuyển d. Ta có công thức: A=F.d.

13. Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k, ta có:

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 18)

Nhận xét:

a+b2=a2+2a.b+b2;

ab2=a22a.b+b2;

a+bab=a2b2.

Bài tập tổng hợp Toán 10 Chương 5

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 1. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. AA=0;

B. 0 cùng hướng với mọi vectơ;

C. |AB|>0;

D. 0 cùng phương với mọi vectơ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét trường hợp |AB|=0 AB=0 AB.

Do đó C là sai.

Câu 2. Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng.

Các vectơ AB, BC cùng hướng khi và chỉ khi

A. Điểm B thuộc đoạn AC;

B. Điểm A thuộc đoạn BC;

C. Điểm C thuộc đoạn AB;

D. Điểm B nằm ngoài đoạn AC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 20)

Các vectơ AB, BC cùng hướng khi và chỉ khi điểm B thuộc đoạn AC.

Câu 3. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 12cm. Độ dài của AC

A. 4cm;

B. 6cm;

C. 8cm;

D. 13cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 20)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên B^=90°.

Tam giác ABC vuông tại B: AC2=AB2+BC2 (Định líPythagore)

AC2=52+122=169.

⇒ AC = 13 (cm).

Do đó |AC| = AC = 13 (cm).

Vậy ta chọn D.

Câu 4. Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Khi đó ABDC+BCAD bằng

A. 0;

B. BD;

C. AC;

D. DC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 21).

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 5. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA+MB+MC=0. Xác định vị trí điểm M.

A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM;

B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB;

C. Điểm M trùng với điểm C;

D. M là trọng tâm của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Giả sử điểm G là trọng tâm của tam giác ABC GA+GB+GC=0.

Mà điểm M thỏa mãn MA+MB+MC=0

Do đó MG.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 6. Cho hai lực F1F2 có cùng điểm đặt O và vuông góc với nhau. Cường độ của hai lực F1F2 lần lượt là 80N và 60N. Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là

A. 100N;

B. 1003N;

C. 50N;

D. 503N.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 22)

Đặt F1=OAF2=OB.

Khi đó ta có |F1|=|OA| = OA = 80N và |F2| = |OB| = OB = 60N.

Dựng điểm C sao cho tứ giác OACB là hình chữ nhật.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: OA+OB=OC hay F1+F2=OC.

Suy ra lực tổng hợp của hai lực F1F2OC.

Do đó cường độ tổng hợp lực của hai lực F1F2 là |OC|=OC.

Ta có OACB là hình chữ nhật có OC và AB là hai đường chéo.

Do đó OC = AB.

Tam giác OAB vuông tại O: AB2 = OA2 + OB2 (Định lý Pythagore)

AB2 = 802 + 602 = 10 000

⇒ AB = 100 (N).

Do đó OC = AB = 100 (N).

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 7. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu AB=3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng?

A. BC=4AC;

B. BC=2AC;

C. BC=2AC;

D. BC=4AC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 23)

Từ đẳng thức AB=3AC, ta suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Vì k = – 3 < 0 nên ABAC ngược hướng.

Do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

Ta có AB=3AC, suy ra |AB| = |-3AC|, do đó AB = 3AC.

Suy ra BC = AB + AC = 3AC + AC = 4AC.

BC, AC cùng hướng.

Do đó ta suy ra BC=4AC.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 8. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Biểu diễn AG theo AEAF ta được:

A. AG=12AE+12AF;

B. AG=13AE+13AF;

C. AG=32AE+32AF;

D. AG=23AE+23AF.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 24)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có AG = 23AD

AG,AD cùng hướng nên AG=23AD.

Tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, suy ra AB+AC=2AD.

Do đó AG=23AD=AB+AC3.

Ta có E, F lần lượt là trung điểm AC, AB.

Suy ra AC=2AEAB=2AF.

Nên Lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Tích của một số với một vectơ (ảnh 16).

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 9. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm AM. Đường thẳng BN cắt AC tại P. Khi đó nếu AC=xCP thì giá trị của x là:

A. 43;

B. 23;

C. 32;

D. 53.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 25)

Kẻ MK // BP (K ∈ AC).

Do M là trung điểm BC nên ta suy ra K là trung điểm CP (1).

Vì MK // NP, mà N là trung điểm AM nên ta suy ra P là trung điểm AK (2).

Từ (1), (2) ta suy ra AP = PK = KC.

Do đó AP = 12CP.

Ta có AC = AP + CP.

Suy ra AC = 12CP + CP = 32CP.

AC, CP ngược hướng với nhau.

Nên AC=32CP.

Do đó x = -32.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 10. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính AH, BA.

A. 30°;

B. 60°;

C. 120°;

D. 150°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 26)

Vẽ AE=BA.

Khi đó ta có AH, BA=AH, AE=HAE^=α.

Tam giác ABC đều có AH là đường cao.

Suy ra AH cũng là đường phân giác của tam giác ABC.

Tam giác ABC đều, suy ra BAC^=60°.

Do đó HAB^=12BAC^=12.60°=30°.

Ta có: HAE^+HAB^=180° (hai góc kề bù)

HAE^=180°HAB^=180°30°=150°.

Khi đó AH, BA=150°.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 11. Cho hai vectơ ab thỏa mãn |a|=3, |b| = 2 và a.b= -3. Xác định góc α giữa hai vectơ ab.

A. α = 30°;

B. α = 45°;

C. α = 60°;

D. α = 120°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 28)

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 28)

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 12. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Giá trị của P=AB+AC.BC là:

A. P=b2c2;

B. P=b2+c22;

C. P=c2+b2+a23;

D. P=c2+b2a22.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 29)

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 30)

Vậy ta chọn phương án A.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm đoạn BC.

a) Gọi tên các vectơ cùng hướng với BC.

b) Gọi tên các vectơ ngược hướng với BM.

c) Chỉ ra các cặp vectơ (khác vectơ-không) bằng nhau và đối nhau có các điểm đầu hoặc điểm cuối là A, B, C, D, M.

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 31)

a) Vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ nên 0 cùng hướng với BC.

Các vectơ (khác vectơ-không) cùng hướng với vectơ BC là các vectơ có giá song song hoặc trùng với BC và có hướng từ trên xuống dưới giống như BC.

Các vectơ thỏa mãn 2 điều kiện trên là: BM, MC, AD.

Vậy có 4 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 0, BM, MC, AD.

b) Vì vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ nên vectơ đối của vectơ-không ngược hướng với BM.

Vectơ đối của vectơ-không là chính nó nên 0 ngược hướng với vectơ BM.

Các vectơ (khác vectơ-không) ngược hướng với BM là các vectơ có giá song song hoặc trùng với BM và có hướng ngược lại với BM, nghĩa là các vectơ cần tìm có hướng dưới lên trên.

Các vectơ thỏa mãn 2 điều kiện trên là: MB, CM, CB, DA.

Vậy có 5 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 0, MB, CM, CB, DA.

c) • Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD và AB = CD (tính chất hình chữ nhật).

Mà hai vectơ AB, DCcùng hướng và hai vectơ BA, CDcùng hướng.

Do đó AB=DCBA=CD.

+) Tương tự ta có: AD=BCDA=CB.

+) M là trung điểm của BC nên BM = MC = BC2

Mà hai vectơ BM, MCcùng hướng và hai vectơ MB,CMcùng hướng.

Do đó BM=MCMB=CM.

ABCDlà hai vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng nên AB=CD.

Do đó ABCDlà hai vectơ đối nhau.

Tương tự ta có các cặp vectơ đối nhau là: BADC; ADCB; DABC; BMCM; MBMC.

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a) OA+OB+OC+OD=0.

b) DADB+DC=0.

c) DO+AO=AB.

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 32)

a) Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành).

Do đó ta có OA+OC=0(1) và OB+OD=0(2).

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:

OA+OB+OC+OD=0+0=0.

Vậy OA+OB+OC+OD=0.

b) Vì ABCD là hình bình hành nên BA // DC và BA = DC.

BA, DCngược hướng.

Do đó BA=DC.

Suy ra BA+DC=0.

Khi đó DADB+DC=BA+DC=0.

Vậy DADB+DC=0.

c) Ta có O là trung điểm BD nên DO = OB.

DO, OBcùng hướng.

Do đó DO=OB.

Khi đó DO+AO=OB+AO=AO+OB=AB.

Vậy DO+AO=AB.

Bài 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài các vectơ:

a) AB+AD.

b) OACB.

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 33)

a) Vì ABCD là hình vuông nên cũng là hình bình hành, do đó AB+AD=AC.

|AB+AD| = |AC| = AC

Tam giác ABC vuông tại B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Pythagore)

⇔ AC2 = a2 + a2 = 2a2

⇒ AC = a2.

Vậy |AB+AD| = a2.

b) Vì ABCD là hình vuông nên AD = CB.

CB, AD ngược hướng.

Do đó AD=CB.

Ta có OACB=OA+AD=OD.

Do đó |OA-CB| = |OD| = OD.

Vì O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm BD.

Mặt khác BD = AC = a2

Do đó OD = BD2=a22.

Vậy |OA-CB| = a22.

Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng OA+OB+OC+OD=0.

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 34)

Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N.

Suy ra M là trung điểm của AB và EO; N là trung điểm của DC và OF.

Khi đó các tứ giác OAEB và OCFD là các hình bình hành.

OA+OB=OE (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OAEB)

OD+OC=OF (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OCFD).

OA+OB+OC+OD=OE+OF

Vì O là trung điểm của MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = NF.

Do đó OE = OF hay O là trung điểm của EF.

Suy ra Lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Tích của một số với một vectơ (ảnh 12).

Vậy OA+OB+OC+OD=0.

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị AM theo hai vectơ ABAD.

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 35)

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M.

Khi đó M là trung điểm của BC và AE.

Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành.

AB+AC=AE (quy tắc hình bình hành)

AE=2AM (do M là trung điểm của AE)

AB+AC=2AMAM=AB+AC2

Xét hình bình hành ABCD có: AC=AB+AD (quy tắc hình bình hành)

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 36)

Vậy AM=AB+12AD.

Bài 6. Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để MA+MB+2MC=0.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: OA+OB+2OC=4OM.

Hướng dẫn giải

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA+GB+GC=0.

Ta có: MA+MB+2MC=0

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 37)

Do đó vectơ GM cùng hướng với vectơ GC và GM = 14GC.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 38)

Vậy điểm M nằm giữa G và C sao cho GM = 14GC

b) Ta có:

OA+OB+2OC

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 39)

Vậy với mọi điểm O, ta có: OA+OB+2OC=4OM.

Bài 7. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a và trọng tâm G. Tính:

a) AB.AC; b) AG.AB.

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 40)

a) Tam giác ABC đều nên ta có AB = AC = BC = a và BAC^=60°.

Ta có Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 42)

= AB.AC.cosBAC^ = a.a.cos60o = a22

Vậy AB.AC=a22.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác đều ABC.

Nên AG là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Do đó AG cũng là đường phân giác và cũng là đường cao của tam giác ABC.

Ta suy ra GAB^=BAC^2=60°2=30°.

Gọi I là giao điểm của AG và BC.

Ta suy ra I là trung điểm BC.

Do đó BI = BC2=a2.

Tam giác ABI vuông tại I: AI2 = AB2 – BI2 (Định lý Pythagore)

AI2=a2a22=3a24

AI=a32.

Tam giác ABC đều có G là trọng tâm.

Ta suy ra AG = 23AI=a33.

Ta có: Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 41)

= AG.AB.cosGAB^ = a33.a.cos30o = a22.

Vậy AG.AB=a22.

Bài 8. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

MA.BC+MB.CA+MC.AB=0.

Hướng dẫn giải

Ta có MA.BC+MB.CA+MC.AB=0. (1)

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 43)

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 44)

Vậy MA.BC+MB.CA+MC.AB=0.

Bài 9. Cho hai vectơ ab thỏa mãn |a|=|b|=1 và hai vectơ u,v vuông góc với nhau sao cho u=25a3b, v=a+b. Xác định góc giữa hai vectơ ab.

Hướng dẫn giải

Theo đề ta có: uvu.v=0.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 45)

Vậy góc giữa hai vectơ ab bằng 180°.

Bài 10. Một con thuyền có vectơ vận tốc theo hướng nam với độ lớn 25 km/h, dòng nước chảy theo hướng đông với vectơ vận tốc có độ đớn 10 km/h. Tính độ lớn vectơ tổng của hai vectơ nói trên (làm tròn kết quả đến hàng trăm).

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 5 Chân trời sáng tạo (ảnh 46)

Gọi A là vị trí con thuyền xuất phát.

Vectơ vận tốc của con thuyền được biểu diễn bởi AB.

Vectơ vận tốc của dòng nước được biểu diễn bởi BC.

Khi đó ta có vectơ tổng của hai vectơ nói trên là AB+BC=AC.

Do đó độ lớn của vectơ cần tìm là: |AB+BC| = |AC| = AC.

Vì con thuyền trôi theo hướng nam và dòng nước chảy theo hướng đông.

Nên ta có AB ⊥ BC.

Ta có độ lớn vận tốc con thuyền là 25 km/h.

Suy ra |AB| = AB = 25.

Ta có độ lớn vận tốc dòng nước là 10 km/h.

Suy ra |BC| = BC = 10.

Tam giác ABC vuông tại B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Pythagore)

⇔ AC2 = 252 + 102 = 725.

⇒ AC = 529 ≈ 26,93.

Vậy độ lớn vectơ tổng của hai vectơ nói đến trong bài xấp xỉ bằng 26,93 (km/h).

Học tốt Toán 10 Chương 5

Các bài học để học tốt Chương 5 Toán lớp 10 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: