Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 6 Chân trời sáng tạo

---

Với Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 6: Thống kê sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 6 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết tổng hợp Toán 10 Chương 6

1. Số gần đúng

Trong thực tế cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật, có nhiều đại lượng mà ta không thể xác định được giá trị chính xác. Mỗi dụng cụ hay phương pháp đo khác nhau có thể sẽ cho ra các kết quả khác nhau. Vì vậy kết quả thu được thường chỉ là những số gần đúng.

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

2.1. Sai số tuyệt đối

Nếu a là số gần đúng của số đúng $\overline{a}$ thì ${\Delta }_a$ = |$\overline{a}$-a| được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

* Độ chính xác:

Trên thực tế ta thường không biết số đúng $\overline{a}$ nên không thể tính được chính xác ∆_a. Thay vào đó, ta thường tìm cách khống chế sai số tuyệt đối ∆_a không vượt quá mức d > 0 cho trước:

${\Delta }_a$ = |$\overline{a}$-a| $\le$ d hay a – d ≤ $\overline{a}$ ≤ a + d.

Khi đó, ta nói a là số gần đúng của số đúng $\overline{a}$ với độ chính xác d.

Quy ước viết gọn: $\overline{a}$ = a $\pm$ d.

2.2. Sai số tương đối

Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δ_a, là tỉ số giữa sai số tuyệt đối ∆_a và |a|, tức là .

Nếu $\overline{a}$ = a $\pm$ d thì ∆_a ≤ d. Do đó . Nếu δ_a hay càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao.

3. Số quy tròn

3.1. Quy tắc làm tròn số

Quy tắc làm tròn số đến một hàng nào đó (gọi là hàng quy tròn):

+ Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0.

+ Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên nhưng cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng quy tròn.

Chú ý:

+ Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn. Ta có thể nói độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn.

+ Khi quy tròn số đúng $\overline{a}$ đến một hàng nào đó thì ta nói số gần đúng a nhận được là chính xác đến hàng đó. Ví dụ số gần đúng của π chính xác đến hàng phần trăm là 3,14.

3.2. Xác định số quy tròn của số gần đúng với độ chính xác cho trước

Các bước xác định số quy tròn của số gần đúng a với độ chính xác d cho trước:

Bước 1: Tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d.

Bước 2: Quy tròn số a ở hàng gấp 10 lần hàng tìm được ở Bước 1.

3.3. Xác định số gần đúng của một số với độ chính xác cho trước

Để tìm số gần đúng a của số đúng $\overline{a}$ với độ chính xác d, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d.

Bước 2: Quy tròn $\overline{a}$đến hàng tìm được ở trên.

4. Bảng số liệu

Dựa vào các thông tin đã biết và sử dụng mối liên hệ toán học giữa các số liệu, ta có thể phát hiện ra được số liệu không chính xác trong một số trường hợp.

5. Biểu đồ

Ta có thể biểu diễn số liệu thống kê dưới dạng biểu đồ.

Một số dạng biểu đồ thường gặp: biểu đồ cột, biểu đồ cột kép, biểu đồ quạt, biểu đồ tranh,…

Quan sát các biểu đồ ta có thể đưa ra các nhận xét về số liệu thống kê.

6. Số trung bình

6.1. Công thức tính số trung bình

• Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x­₂, …, x_n.

Số trung bình (hay số trung bình cộng) của mẫu số liệu này, kí hiệu là $\overline{x}$ , được tính bởi công thức

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\mathrm{...}+x_n}{n}$.

• Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số

Khi đó, công thức tính số trung bình trở thành

$\overline{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+\mathrm{...}+n_k{x}_k}{n}$.

Trong đó n = n₁ + n₂ + … + n_k. Ta gọi n là cỡ mẫu.

Chú ý: Nếu kí hiệu $f_k=\frac{n_k}{n}$ là tần số tương đối (hay còn gọi là tần suất) của x_k­ trong mẫu số liệu thì số trung bình còn có thể biểu diễn là: $\overline{x}=f_1{x}_1+f_2{x}_2+\mathrm{...}+f_k{x}_k$ .

6.2. Ý nghĩa của số trung bình

Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đo xu thế trung tâm của mẫu đó.

7. Trung vị và tứ phân vị

7.1. Trung vị

7.1.1 Định nghĩa và cách tính số trung vị

Khi các số liệu trong mẫu số liệu chênh lệch nhau quá lớn, ta dùng một đặc trưng khác của mẫu số liệu, gọi là trung vị để so sánh các mẫu số liệu với nhau.

Trung vị được định nghĩa như sau:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

Trung vị của mẫu, kí hiệu là M_e, là giá trị ở chính giữa dãy x₁, x­­₂, …, x_n. Cụ thể:

- Nếu n = 2k + 1, k ∈ ℕ (tức n là số tự nhiên lẻ), thì trung vị của mẫu M_e = x_{k + 1}.

- Nếu n = 2k, k ∈ ℕ (tức n là số tự nhiên chẵn), thì trung vị của mẫu M_e = $\frac{1}{2}\left(x_k+x_{k+1}\right)$ .

7.1.2 Ý nghĩa của số trung vị

Trung vị được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Trung vị là giá trị nằm ở chính giữa của mẫu số liệu theo nghĩa: luôn có ít nhất 50% số liệu trong mẫu lớn hơn hoặc bằng trung vị và ít nhất 50% số liệu trong mẫu nhỏ hơn hoặc bằng trung vị. Khi trong mẫu xuất hiện thêm một giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ thì số trung bình sẽ bị thay đổi đáng kể nhưng trung vị thì ít thay đổi.

7.2. Tứ phân vị

•Trung vị chia mẫu thành hai phần. Trong thực tế người ta cũng quan tâm đến trung vị của mỗi phần đó. Ba trung vị này được gọi là tứ phân vị của mẫu.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

Tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba (lần lượt kí hiệu là Q₁, Q₂, Q­₃). Ba giá trị này chia tập hợp dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau. Cụ thể:

- Giá trị tứ phân vị thứ hai, Q₂, chính là số trung vị của mẫu.

- Giá trị tứ phân vị thứ nhất, Q₁, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

- Giá trị tứ phân vị thứ ba, Q₃, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

• Ý nghĩa của tứ phân vị

Các điểm tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần chia khoảng 25% tổng số liệu đã thu thập được.

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ còn được gọi là tứ phân vị dưới và đại diện cho nửa mẫu số liệu phía dưới. Tứ phân vị thứ ba Q₃, còn được gọi là tứ phân vị trên và đại diện cho nửa mẫu số liệu ở phía trên.

8. Mốt

Cho mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số. Giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu và kí hiệu là M_o.

Ý nghĩa của mốt: Mốt đặc trưng cho giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu.

Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có rất nhiều mốt. Khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu có tần số xuất hiện bằng nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.

9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

9.1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

• Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là R, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là:

R = x_n – x₁.

• Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là ∆_Q, là hiệu giữa Q_3­ và Q₁, tức là:

∆_Q = Q₃ – Q₁.

9.2. Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị:

Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu.

Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán của một nửa các số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ Q₁ đến Q₃ trong mẫu.

Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu.

9.3. Giá trị ngoại lệ

Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị của mẫu. Cụ thể, phần tử x trong mẫu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ – 1,5∆_Q.

Sự xuất hiện của các giá trị ngoại lệ làm cho số trung bình và phạm vi của mẫu thay đổi lớn. Do đó, khi mẫu có giá trị ngoại lệ, người ta thường sử dụng trung vị và khoảng tứ phân vị để đo mức độ tập trung và mức độ phân tán của đa số các phần tử trong mẫu số liệu.

10. Phương sai và độ lệch chuẩn

10.1. Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn

* Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂, …, x_n.

•Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là S², được tính bởi công thức:

trong đó $\overline{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.

•Căn bậc hai của phương saiđược gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là S.

Chú ý: Có thể biến đổi công thức tính phương sai ở trên thành:

.

Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là , được tính bởi công thức:

.

* Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số:

Khi đó, công thức tính phương sai trở thành:

trong đó n = n₁ + n₂ + … + n_k.

Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành

10.2. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu đến số trung bình.

Phương sai và độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau (có độ phân tán lớn).

Bài tập tổng hợp Toán 10 Chương 6

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hội chợ Trung thu có có 52 245 người tham dự. Hỏi hội chợ có khoảng bao nhiêu nghìn người?

A. 52;

B. 53;

C. 52,2;

D. 50.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ yêu cầu bài toán, ta sẽ làm tròn số 52 245 đến hàng nghìn.

Vì số 52 245 có chữ số hàng trăm là 2 < 5 nên khi làm tròn số 52 245 đến hàng nghìn ta được 52 245 ≈ 52 000.

Vậy hội chợ Trung thu có khoảng 52 nghìn người tham dự.

Ta chọn phương án A.

Câu 2. Chiều dài của một sợi dây là l = 13,455 m ± 0,02 m. Quy tròn chiều dài của sợi dây ta được:

A. 13;

B. 14;

C. 13,4;

D. 13,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 0,02 (m) là hàng phần trăm, nên ta quy tròn số 13,455 đến hàng phần mười.

Vì số 13,455 có chữ số hàng phần trăm là 5 ≥ 5 nên khi làm tròn số 13,455 đến hàng phần mười ta được 13,455 ≈ 13,5.

Vậy quy tròn chiều dài của sợi dây ta được 13,5 m.

Câu 3. Dung tích của một nồi cơm điện là 1,1 lít ± 0,01 lít. Sai số tương đối của dung tích nồi cơm điện không vượt quá giá trị nào sau đây?

A. 0,4%;

B. 0,6%;

C. 0,8%;

D. 1%.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có a = 1,1 (lít) và d = 0,01 (lít). Do đó sai số tương đối là:

Ta loại ba đáp án A, B, C vì cả 3 đáp này đều nhỏ hơn 0,909%.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 4. Lớp trưởng lớp 10A thống kê số học sinh và số cây trồng được theo từng tổ trong buổi ngoại khóa như sau:

Bạn lớp trưởng cho biết số cây mỗi bạn trong lớp trồng được đều không vượt quá 3 cây. Biết rằng bảng trên có một tổ bị thống kê sai. Tổ mà bạn lớp trưởng đã thống kê sai là:

A. Tổ 1;

B. Tổ 2;

C. Tổ 3;

D. Tổ 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta xét từng phương án:

Phương án A:

Số cây tối đa tổ 1 trồng được là: 11 . 3 = 33 (cây)

Vì 30 (cây) < 33 (cây) nên thống kê số cây tổ 1 trồng được không sai.

Phương án B:

Số cây tối đa tổ 2 trồng được là: 10 . 3 = 30 (cây)

Vì 30 (cây) = 30 (cây) nên thống kê số cây tổ 2 trồng được không sai.

Phương án C:

Số cây tối đa tổ 3 trồng được là: 12 . 3 = 36 (cây)

Vì 38 (cây) > 36 (cây) nên thống kê số cây tổ 3 trồng được là sai.

Phương án D:

Số cây tối đa tổ 4 trồng được là: 10 . 3 = 30 (cây)

Vì 29 (cây) < 30 (cây) nên thống kê số cây tổ 4 trồng được không sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 5. An vẽ biểu đồ thể hiện tỉ lệ số lượng mỗi loại cây ăn quả trong một nông trại theo bảng thống kê dưới đây:

Biểu đồ An vẽ như sau:

Hãy cho biết biểu đồ An vẽ chính xác chưa? Nếu chưa thì cần điều chỉnh như thế nào cho đúng?

A. Biểu đồ An vẽ đã chính xác;

B. Chưa chính xác, cần đổi chỗ “Cây táo” và “Cây mận” ở phần chú thích;

C. Chưa chính xác, cần đổi chỗ “Cây xoài” và “Cây táo” ở phần chú thích;

D. Chưa chính xác, cần đổi chỗ “Cây chanh” và “Cây mận” ở phần chú thích.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Theo bảng thống kê thì số lượng cây táo nhiều hơn số lượng cây mận và số cây táo bằng số cây xoài.

Nên trên biểu đồ hình quạt, hình quạt biểu diễn tỉ lệ cây táo phải nhiều hơn tỉ lệ cây mận và tỉ lệ cây táo bằng tỉ lệ cây xoài.

Do đó biểu đồ An vẽ chưa chính xác.

Ở phần chú thích, An nên đổi chỗ “Cây táo” và “Cây mận” thì sẽ được biểu đồ chính xác.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 6. Biểu đồ sau đây thể hiện cơ cấu lao động phân theo khu vực kinh tế của Ấn Độ, Brazil và Anh năm 2013 (đơn vị %):

Dựa vào biểu đồ, chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

A. Ở Ấn Độ, gần 50% lao động làm việc ở Khu vực 2;

B. Ở Anh, gần 80% lao động làm việc ở Khu vực 1;

C. Ở Brazil, tỉ lệ lao động ở Khu vực 2 thấp hơn ở Ấn Độ nhưng cao hơn ở Anh;

D. Ở Anh, tỉ lệ lao động ở Khu vực 3 cao hơn Ấn Độ và Brazil.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương án A sai. Vì ở Ấn Độ, gần 50% lao động làm việc ở Khu vực 1.

Phương án B sai. Vì ở Anh, gần 80% lao động làm việc ở Khu vực 3.

Phương án C sai. Vì 22,6 > 21,6 nên ở Brazil, tỉ lệ lao động ở Khu vực 2 cao hơn ở Ấn Độ.

Phương án D đúng. Vì 79,3 > 62,9 > 28,7 nên tỉ lệ lao động ở Khu vực 3 của Anh cao hơn của Ấn Độ và Brazil.

Câu 7.Cho mẫu số liệu như bảng dưới đây:

Tính số trung bình của mẫu số liệu trên.

A. 15,22;

B. 15,23;

C. 15,24;

D. 15,25.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số trung bình là:

$\overline{x}$ = 9.0,01 + 10.0,01 + 11.0,03 + 12.0,05 + 13.0,08 + 14.0,13 + 15.0,19 + 16.0,24 + 17.0,14 + 18.0,10 + 19.0,02

⇒ $\overline{x}$ = 15,23.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 8. Điểm kiểm tra môn Anh của 24 học sinh được ghi lại trong bảng sau:

Mốt của mẫu số liệu trên là:

A. 5;

B. 6;

C. 7;

D. 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta lập bảng tần số:

Ta thấy điểm 6 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu bằng 6.

Câu 9.Cho mẫu số liệu được ghi lại như sau:

Hỏi mật độ số liệu tập trung chủ yếu ở đâu?

A. Bên trái Q₂;

B. Bên phải Q₂;

C. Số liệu dàn trải đều;

D. Không thể biết được mật độ số liệu tập trung chủ yếu ở đâu.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

20; 25; 25; 35; 35; 35; 40; 40; 40; 45; 45; 45; 70.

- Vì cỡ mẫu n = 13 = 2.6 + 1 là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là số liệu thứ 7, tức là Q₂ = 40.

- Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu (gồm nửa số liệu bên trái Q₂ và không kể Q₂):

20; 25; 25; 35; 35; 35.

Do đó Q₁ = (25 + 35) : 2 = 30.

- Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu (gồm nửa số liệu bên phải Q₂ và không kể Q₂):

40; 40; 45; 45; 45; 70.

Do đó Q₃ = (45 + 45) : 2 = 45.

Ta có Q₂ – Q₁ = 40 – 30 = 10 và Q₃ – Q₂ = 45 – 40 = 5.

Vì 10 > 5 nên khoảng cách giữa Q₁ và Q₂ lớn hơn khoảng cách giữa Q₂ và Q₃.

Ta suy ra mật độ số liệu ở bên trái Q₂ thấp hơn ở bên phải Q₂.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 10. Phát biểu nào sau đây sai?

A. Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu;

B. Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán của một nửa các số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ Q₁ đến Q₃ trong mẫu;

C. Khoảng tứ phân vị bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu;

D. Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị trong mẫu.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương án A, B, D đúng.

Phương án C sai. Sửa lại: Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu.

Câu 11. Nếu đơn vị của số liệu là kg thì đơn vị của phương sai là:

A. kg;

B. kg²;

C. kg³;

D. Không có đơn vị.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂,..., x_n.

Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là S², được tính bởi công thức:

,

trong đó $\overline{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.

Do đó đơn vị của phương sai bằng bình phương đơn vị của mẫu số liệu.

Vậy nếu mẫu số liệu có đơn vị là kg thì phương sai có đơn vị là kg².

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 12. Điểm trung bình một số môn học của hai bạn An và Bình trong năm học vừa qua được cho trong bảng sau:

Hỏi ai “học lệch” hơn?

A. An;

B. Bình;

C. Mức độ học lệch của hai bạn là như nhau;

D. Chưa đủ cơ sở kết luận.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điểm trung bình của An là:

Điểm trung bình của Bình là:

Phương sai mẫu số liệu của An là:

Phương sai mẫu số liệu của Bình là:

Vì 3,059 > 0,302 nên Bình học lệch hơn An.

Vậy ta chọn đáp án B.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:

67,31 ± 0,96; 67,90 ± 0,55; 67,74 ± 0,46.

Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?

Hướng dẫn giải

Với phương pháp đo thứ nhất: a₁ = 67,31 và d₁ = 0,96, do đó sai số tương đối là:

Với phương pháp đo thứ hai: a₂ = 67,90 và d₂ = 0,55, do đó sai số tương đối là:

Với phương pháp đo thứ ba: a₃ = 67,74 và d₃ = 0,46, do đó sai số tương đối là:

Vì 0,68% < 0,81% < 1,43% nên δ₃ < δ₂ < δ₁.

Do đó phương pháp đo thứ ba là chính xác nhất tính theo sai số tương đối.

Bài 2. Cho số $\sqrt{5}$ = 2,236067977 ...

a) Hãy quy tròn $\sqrt{5}$ đến hàng phần trăm.

b) Hãy tìm số gần đúng của $\sqrt{5}$ với độ chính xác 0,005.

Hướng dẫn giải

a) Quy tròn số $\sqrt{5}$ đến hàng phần trăm ta được số gần đúng là 2,24.

Vậy $\sqrt{5}$$\approx$2,24 (quy tròn đến hàng phần trăm).

b) Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của độ chính xác 0,005 là hàng phần nghìn. Quy tròn $\sqrt{5}$ đến hàng phần nghìn ta được số gần đúng là 2,236.

Vậy $\sqrt{5}$$\approx$2,236 với độ chính xác 0,005.

Bài 3. Làm tròn số 4372,8 đến hàng chục và 8,125 đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.

Hướng dẫn giải

+ Số quy tròn của số 4372,8 đến hàng chục là 4370.

Sai số tuyệt đối là∆ = |4370 − 4372,8| = 2,8.

+ Số quy tròn của số 8,125 đến hàng phần trăm là 8,13.

Sai số tuyệt đối là∆' = |8,13 – 8,125| = 0,005.

Bài 4. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:

a) 3 678 008 ± 1000;

b) 21,02345 ± 0,001.

Hướng dẫn giải

a) 3 678 008 ± 1000

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 1000 là hàng nghìn, nên ta quy tròn đến hàng chục nghìn.

Vậy số quy tròn trong trường hợp này là 3 680 000.

b) 21,02345 ± 0,001

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 0,001 là hàng phần nghìn, nên ta quy tròn đến hàng phần trăm.

Vậy số quy tròn trong trường hợp này là 21,02.

Bài 5. Một tam giác có ba cạnh đo được như sau: a = 5,4 cm ± 0,2 cm; b = 7,2 cm ± 0,2 cm và c = 9,7 cm ± 0,1 cm. Tính chu vi của tam giác đó.

Hướng dẫn giải

Chu vi của tam giác đó là:

P = a + b + c = (5,4 ± 0,2) + (7,2 ± 0,2) + (9,7 ± 0,1)

= (5,4 + 7,2 + 9,7) ± (0,2 + 0,2 + 0,1)

= 22,3 ± 0,5 (cm).

Vậy chu vi của tam giác đã cho là P = 22,3 cm ± 0,5 cm.

Bài 6. Sản lượng nuôi tôm phân theo địa phương của các tỉnh Cà Mau và Tiền Giang được thể hiện ở hai biểu đồ sau (đơn vị: tấn):

a) Hãy cho biết các phát biểu sau là đúng hay sai:

i. Sản lượng nuôi tôm mỗi năm của tỉnh Tiền Giang đều cao hơn tỉnh Cà Mau.

ii. Ở tỉnh Cà Mau, sản lượng nuôi tôm năm 2018 tăng gấp hơn 4 lần so với năm 2008.

iii. Ở tỉnh Tiền Giang, sản lượng nuôi tôm năm 2018 tăng gấp hơn 2,5 lần so với năm 2008.

b) Để so sánh sản lượng nuôi tôm của hai tỉnh Cà Mau và Tiền Giang, ta nên sử dụng loại biểu đồ nào?

Hướng dẫn giải

a) Quan sát biểu đồ ta thấy:

i. Sản lượng nuôi tôm mỗi năm ở Tiền Giang đều thấp hơn 30 000 tấn, sản lượng nuôi tôm mỗi năm ở Cà Mau đều cao hơn 75 000 tấn.

Do đó sản lượng nuôi tôm mỗi năm của tỉnh Cà Mau đều cao hơn rất nhiều so với tỉnh Tiền Giang.

Vậy phát biểu i. là sai.

ii. Ở tỉnh Cà Mau:

- Sản lượng nuôi tôm năm 2018 khoảng hơn 175 000 tấn.

- Sản lượng nuôi tôm năm 2008 khoảng hơn 90 000 tấn.

Vì $\frac{175000}{90000}\approx 2$ .

Do đó sản lượng nuôi tôm năm 2018 ở tỉnh Cà Mau tăng khoảng gần 2 lần so với năm 2008.

Vậy phát biểu ii. là sai.

iii. Ở tỉnh Tiền Giang:

- Sản lượng nuôi tôm năm 2018 khoảng 29 000 tấn.

- Sản lượng nuôi tôm năm 2008 khoảng 10 000 tấn.

Vì $\frac{29000}{10000}=2,9$ .

Do đó sản lượng nuôi tôm năm 2018 ở tỉnh Tiền Giang tăng gấp khoảng 2,9 (> 2,5) lần so với năm 2008.

Vậy phát biểu iii. là đúng.

b) Để so sánh sản lượng nuôi tôm của hai tỉnh Cà Mau và Tiền Giang, ta nên sử dụng loại biểu đồ cột ghép.

Bài 7. Hoa vẽ biểu đồ biểu thị tỉ lệ chi phí xây dựng nhà ở của gia đình theo bảng thống kê dưới đây:

Bạn hãy cho biết biểu đồ Hoa vẽ đã chính xác chưa. Nếu chưa thì cần điều chỉnh lại như thế nào cho đúng?

Hướng dẫn giải

Theo bảng thống kê thì các loại chi phí giám sát thi công, thép và xi măng bằng nhau nên trên biểu đồ quạt, hình quạt biểu diễn tỉ lệ giám sát thi công, thép và xi măng phải bằng nhau. Do đó biểu đồ bạn Hoa vẽ chưa chính xác.

Ta cần đổi chỗ phần chữ chú thích trên biểu đồ của xi măng cho gạch thì biểu đồ chính xác.

Bài 8. Hãy tìm số trung bình, trung vị và mốt của mẫu số liệu sau:

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu n = 2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Số trung bình: $\overline{x}$ = $\frac{1}{17}$(2.20 + 3.25 + 5.30 + 7.35) = 30.

Sắp xếp các số liệu đã cho theo thứ tự không giảm, ta được:

20; 20; 25; 25; 25; 30; 30; 30; 30; 30; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 35.

Vì cỡ mẫu là 17 là số lẻ nên trung vị là M_e = 30.

Giá trị 35 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu là M_o = 35.

Bài 9. Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một sản phẩm của một số thí sinh ở bảng sau:

a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của thời gian thi nghề của các thí sinh trên.

b) Năm ngoái, thời gian thi của các thí sinh có số trung bình và trung vị đều bằng 7. Bạn hãy so sánh thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm.

Hướng dẫn giải

a) Cỡ mẫu là n = 1 + 3 + 5 + 2 + 1 = 12.

Số trung bình là: $\overline{x}=\frac{1.5+3.6+5.7+2.8+1.35}{12}\approx 9,08$ .

Số thí sinh làm trong thời gian 7 phút là nhiều nhất nên mốt của mẫu là M_o = 7.

Sắp xếp các giá trị của mẫu theo thứ tự không giảm, ta được:

5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 35.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q₂ = $\frac{1}{2}$(7+7) = 7.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 5; 6; 6; 6; 7; 7.

Do đó Q₁ = $\frac{1}{2}$ .(6 + 6) = 6.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 7; 7; 7; 8; 8; 35.

Do đó Q₃ = $\frac{1}{2}$ .(7 + 8) = 7,5.

b) Dựa theo số trung bình, vì 9,08 > 7 nên thời gian thi của các thí sinh năm nay nhiều hơn năm ngoái.

Dựa theo trung vị, thì cả hai năm trung vị đều bằng nhau và bằng 7 nên thời gian của các thí sinh trong hai năm là ngang nhau.

Vì trong mẫu số liệu của năm nay có số liệu 35 lớn hơn so với các số liệu còn lại rất nhiều, do đó ta dùng trung vị để so sánh sẽ phù hợp hơn.

Vậy thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm là ngang nhau.

Bài 10. Người ta đã tiến hành thăm dò ý kiến của khách hàng về các mẫu 1, 2, 3, 4 của một loại sản phẩm mới được sản xuất ở nhà máy. Dưới đây là bảng phân bố tần số theo số phiếu bình chọn tín nhiệm cho các mẫu kể trên.

a) Tìm mốt của mẫu số liệu.

b) Trong sản xuất, nhà máy nên ưu tiên cho mẫu nào?

Hướng dẫn giải

a) Quan sát bảng tần số ta thấy mẫu 3 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu đã cho là M_o = 3.

b) Vì M_o = 3 nên trong sản xuất, nhà máy nên ưu tiên cho mẫu 3.

Bài 11. Hai lớp 10A, 10B của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Toán theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở hai bảng phân bố tần số sau đây:

Điểm thi Toán của lớp 10A

Điểm thi Toán của lớp 10B

a) Tính các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu đã cho.

b) Xét xem kết quả làm bài thi môn Toán ở lớp nào đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

a)

* Lớp 10A:

Số trung bình:

$\overline{x_A}=\frac{1}{40}$(3 . 5 + 7 . 6 + 12 . 7 + 14 . 8 + 3 . 9 + 1 . 10) = 7,25.

Phương sai mẫu số liệu:

$S_A^2=\frac{1}{40}$(3 . 5² + 7 . 6² + 12 . 7² + 14 . 8² + 3 . 9² + 1 . 10²) – 7,25² = 1,2875.

Độ lệch chuẩn: S_A = $\sqrt{S_A^2}=\sqrt{1,2875}\approx 1,135$ .

* Lớp 10B:

Số trung bình: $\overline{x_B}=\frac{1}{40}$ (8 . 6 + 18 . 7 + 10 . 8 + 4 . 9) = 7,25.

Phương sai mẫu số liệu:

$S_B^2=\frac{1}{40}$(8 . 6² + 18 . 7² + 10 . 8² + 4 . 9²) – 7,25² = 0,7875.

Độ lệch chuẩn: S_B = $\sqrt{S_B^2}=\sqrt{0,7875}\approx 0,887$ .

b) Vì 0,887 < 1,135 nên S_B < S_A hay độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 10B nhỏ hơn lớp 10A.

Vậy kết quả làm bài thi của học sinh lớp 10B đồng đều hơn.

Bài 12. Kết quả điều tra mức lương hằng tháng của một số công nhân của hai nhà máy A và B được cho ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy A và nhà máy B.

b) Hãy tìm các giá trị ngoại lệ trong mỗi mẫu số liệu trên. Công nhân nhà máy nào có mức lương cao hơn? Tại sao?

Hướng dẫn giải

a)

* Nhà máy A:

+ Số trung bình mức lương hàng tháng:

$\overline{x_A}=\frac{4+5+5+47+5+6+4+4}{8}=10$.

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47.

Vì cỡ mẫu là 8 là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q_2A = 5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 4; 4; 4; 5.

Do đó Q_1A = $\frac{1}{2}$(4 + 4) = 4.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 5; 5; 6; 47.

Do đó Q_3A = $\frac{1}{2}$ (5 + 6) = 5,5.

+ Phương sai mẫu:

$S_A^2=\frac{1}{8}$(4² + 5² + 5² + 47² + 5² + 6² + 4² + 4²) – 10² = 196.

+ Độ lệch chuẩn: S_A = $\sqrt{S_A^2}=\sqrt{196}=14$ .

+ Giá trị 4 và 5 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu ở nhà máy A là 4 và 5.

* Nhà máy B:

+ Số trung bình mức lương hàng tháng:

.

+ Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11.

Vì cỡ mẫu là 9 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q_2B = 9.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 8; 9; 9. Do đó Q_1B = 8,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 9; 9; 10; 11. Do đó Q_3B = 9,5.

+ Phương sai mẫu:

$S_B^2=\frac{1}{9}$(2² + 8² + 9² + 9² + 9² + 9² + 9² + 10² + 11²) – ${\left(\frac{76}{9}\right)}^2$ = $\frac{470}{81}$ .

+ Độ lệch chuẩn: S_B = $\sqrt{S_B^2}=\sqrt{\frac{470}{81}}=\frac{\sqrt{470}}{9}\approx 2,4$ .

+ Giá trị 9 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu ở nhà máy B là 9.

b)

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở nhà máy A là: ∆_QA = 5,5 – 4 = 1,5.

Ta có: Q_3A + 1,5∆_QA = 5,5 + 1,5 . 1,5 = 7,75.

Và Q_1A – 1,5∆_QA = 4 – 1,5 . 1,5 = 1,75.

Do đó giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu ở nhà máy A là 47.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở nhà máy B là: ∆_QB = 9,5 – 8,5 = 1.

Ta có: Q_3B + 1,5∆_QB = 9,5 + 1,5 . 1 = 11

Và Q_1B – 1,5∆_QB = 8,5 – 1,5 . 1 = 7.

Do đó giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu ở nhà máy B là 2.

+ Quan sát các số liệu tính được ở câu a), ta thấy

- Số trung bình mức lương hàng tháng của công nhân ở nhà máy A cao hơn nhà máy B.

- Phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở nhà máy A cao hơn nhà máy B nên mức lương hằng tháng của công nhân nhà máy A có độ phân tán cao hơn nhà máy B, do đó mức lương của công nhân nhà máy B ổn định hơn nhà máy A.

- Mức lương xuất hiện nhiều nhất trong mẫu A là 4 và 5 triệu đồng, nhà máy B là 9 triệu đồng.

Do đó, nếu bỏ đi hai giá trị ngoại lệ của hai nhà máy thì ta có thể khẳng định công nhân nhà máy B có mức lương cao hơn.

Học tốt Toán 10 Chương 6

Các bài học để học tốt Chương 6 Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài tập cuối chương 6