Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

– Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

– Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm (x₀; y₀) có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Ví dụ:

• Hệ bất phương trình là một hệ bất phương trình hai ẩn x, y gồm hai bất phương trình x + 2y – 3 < 0 và y – 2x > 0 đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y.

• Hệ bất phương trình không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bởi bất phương trình x² + y² < 5 không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn do chứa x², y².

Ví dụ: Cho hệ bất phương trình hai ẩn .

Cặp số (x; y) = (10; 2) có là nghiệm của hệ bất phương trình trên không?

Hướng dẫn giải

Thay x = 10 và y = 2 vào bất phương trình x + y – 4 > 0 ta có: 10 + 2 – 4 = 8 > 0 là mệnh đề đúng nên cặp số (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y – 4 > 0.

Thay x = 10 và y = 2 vào bất phương trình x – y – 10 < 0 ta có: 10 – 2 – 10 = –2 < 0 là mệnh đề đúng nên cặp số (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x – y – 10 < 0.

Cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y – 4 > 0 và cũng là nghiệm của bất phương trình x – y – 10 < 0.

Do đó cặp số (x; y) = (10; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực hiện như sau:

– Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.

– Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Chú ý: Miền mặt phẳng tọa độ bao gồm một đa giác lồi và phần nằm bên trong đa giác đó được gọi là một miền đa giác.

Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Hướng dẫn giải

Trên mặt phẳng Oxy:

– Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 và gạch bỏ phần miền còn lại.

• Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

• Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả bờ Oy) nằm bên phải trục Oy.

– Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả bờ Ox) nằm bên trên trục Ox.

– Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 $\iff$ x + y – 150 ≤ 0.

• Vẽ đường thẳng d: x + y – 150 = 0 đi qua hai điểm A(0; 150) và B(150; 0).

• Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0 + 0 – 150 = – 150 ≤ 0 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y – 150 ≤ 0.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d (kể cả bờ d) chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm không bị gạch (miền tam giác OAB, bao gồm cả các cạnh) là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác

Hệ bất phương trình giúp ta mô tả được nhiều bài toán thực tế để tìm ra cách giải quyết tối ưu. Chúng thường được đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác.

Người ta chứng minh được F = ax + by đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác

Ví dụ: Bạn Minh cần phải làm bài tập trong vòng không quá 2 giờ để nộp. Mỗi bài toán cần 10 phút để làm xong, mỗi bài Vật lí cần 20 phút để làm xong. Gọi x, y lần lượt là số bài tập Toán, Vật lí bạn Minh sẽ làm được. Lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của x và y và biểu diễn miền nghiệm của hệ đó. Số bài nhiều nhất mà bạn Minh có thể làm được là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Số phút bạn Minh làm xong x bài Toán là: 10x (phút).

Số phút bạn Minh làm xong y bài Vật lí là: 20y (phút).

Tổng số phút để Minh làm x bài toán và y bài lí là: 10x + 20y (phút).

Do bạn Minh cần phải làm bài tập trong vòng không quá 2 giờ = 120 phút nên ta có:

10x + 20y ≤ 120 hay x + 2y ≤ 12.

Số bài tập bạn Minh làm luôn không âm nên x ≥ 0, y ≥ 0.

Ta có hệ bất phương trình sau:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

– Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

+ Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả trục Oy) nằm bên phải trục Oy.

– Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả trục Ox) nằm bên trên trục Ox.

– Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + 2y ≤ 12 $\iff$ x + 2y – 12 ≤ 0.

+ Vẽ đường thẳng ∆: x + 2y – 12 = 0.

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(0; 6) và B(12; 0).

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0 + 2. 0 – 12 = – 12 ≤ 0 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + 2y – 12 ≤ 0.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + 2y ≤ 12 là nửa mặt phẳng bờ ∆ (kể cả bờ ∆) chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm (miền không bị gạch) của hệ bất phương trình trên là miền tam giác OAB với: O(0; 0), A(0; 6), B(12; 0).

Số bài mà bạn Minh làm được là: F(x; y) = x + y.

Tại O(0; 0): F = 0 + 0 = 0;

Tại A(0; 6): F = 0 + 6 = 6;

Tại B(12; 0): F = 12 + 0 = 12;

Do đó giá trị lớn nhất của F(x; y) bằng 12 khi (x; y) = (12; 0).

Vậy bạn Minh làm được nhiều nhất là 12 bài khi làm 12 bài Toán và không làm bài tập Vật lí.

Bài tập Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Giá trị m để hệ bất phương trình trở thành hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là:

A. m = 0;

B. m = ‒1;

C. m = 2;

D. Không có giá trị của m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để hệ bất phương trình trở thành hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thì hệ số của x² và y² đều phải bằng 0

Vậy không có giá trị của m.

Vậy chọn D.

Câu 2. Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét điểm M(0; 1) ta thấy điểm M thuộc miền nghiệm trên hình vẽ.

Thay x = 0 và y = 1 vào các hệ bất phương trình ta có:

• Phương án A: đều là các mệnh đề đúng nên miền nghiệm của hệ bất phương trình ở phương án A chứa điểm M. Do đó A đúng.

• Phương án B: đều cho mệnh đề sai nên miền nghiệm của hệ bất phương trình ở phương án B không chứa điểm M. Do đó B sai.

Tương tự như vậy ta chứng minh được ở phương án C và D là sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 3. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không tô màu đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét điểm M(0; 1): thay x = 0 và y = 1 vào các bất phương trình của hệ ta được:

đều cho các mệnh đề đúng.

Do đó miền nghiệm của hệ bất phương trình có chứa điểm M(0; 1).

Vậy quan sát hình vẽ các phương án ta chọn phương án A.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a)

b)

c) y – 2x < 0

d)

Hướng dẫn giải

• Hệ bất phương trình là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có hai bất phương trình x < 1 và y – 1 > 2 đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Hệ bất phương trình không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có bất phương trình x² + y < 0 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

• y – 2x < 0 không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chỉ có một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Hệ bất phương trình là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có hai bất phương trình 2x – y < 5 và 4x + 3y > 10¹⁰ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy có hệ và là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2. Cho hệ bất phương trình . Hỏi đây có phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? Khi cho y = 0, x có thể nhận các giá trị nguyên nào?

Hướng dẫn giải

Hệ bất phương trình là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bởi vì cả 2 bất phương trình x + 5y < 1 và 5x – 4y > 6 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Khi y = 0, hệ trở thành: (vô lí)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x thoả mãn để y = 0.

Bài 3. Cho hệ bất phương trình

a) Tìm hai nghiệm của hệ trên.

b) Cho F(x; y) = 2x + 2y. Tìm giá trị lớn nhất của F (x; y).

Hướng dẫn giải

a) Chọn (x; y) = (1; 1).

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp số (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x ≥ 0.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình y ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp số (1; 1) là nghiệm của bất phương trình y ≥ 0.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x + y ≤ 80 ta được 1 + 1 = 2 ≤ 80 là mệnh đề đúng. Do đó cặp số (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 80.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình 2x + y ≤ 120 ta được 2. 1 + 1 = 3 ≤ 120 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 120.

Vậy (x; y) = (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình .

Tương tự ta chọn được (x; y) = (2; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình .

Vậy hai cặp số (1; 1), (2; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b)

– Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

+ Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả trục Oy) nằm bên phải trục Oy.

– Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả trục Ox) nằm bên trên trục Ox.

– Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 80:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 80

Đường thẳng d₁ đi qua hai điểm A(0; 80) và C(80; 0).

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0 + 0 = 0 ≤ 80 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 80.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 80 là nửa mặt phẳng bờ d₁ (kể cả bờ d₁) chứa gốc tọa độ O.

– Miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 120:

+ Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y = 120.

Đường thẳng d₂ đi qua hai điểm có tọa độ (0; 120) và (60; 0).

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 2. 0 + 0 = 0 ≤ 120 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 120.

Do đó, miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 120 là nửa mặt phẳng bờ d₂ (kể cả bờ d₂) chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm không bị gạch là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác OABC với:

O(0; 0), A(0; 80), B(40; 40), C(60; 0).

Tại O(0; 0): F = 2.0 + 2.0 = 0;

Tại A(0; 80): F = 2.0 + 2.80 = 160;

Tại B(40; 40): F = 2.40 + 2.40 = 160;

Tại C(60; 0): F = 2.60 + 2.0 = 120;

Vậy giá trị lớn nhất của F (x; y) là 160 khi (x; y) = (0; 80) hoặc (x; y) = (40, 40).

Bài 4. Bác An cần phải làm nến trong vòng không quá 8 giờ để bán. Nến loại A cần 30 phút để làm xong một cây, nến loại B cần 1 giờ để làm xong một cây. Gọi x, y lần lượt là số nến loại A, B bác An sẽ làm được. Lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của x và y và biểu diễn miền nghiệm của hệ đó. Tìm số nến nhiều nhất mà bác An có thể làm được.

Hướng dẫn giải

Thời gian bác An làm xong x cây nến loại A là: 0,5x (giờ).

Thời gian bác An làm xong y cây nến loại B là: y (giờ).

Tổng số giờ để bác An làm x nến loại A và y nến loại B là: 0,5x + y (giờ)

Do bác An cần phải làm nến trong vòng không quá 8 giờ nên 0,5x + y ≤ 8.

Số nến bác An làm luôn không âm nên x ≥ 0, y ≥ 0.

Ta có hệ bất phương trình sau:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

– Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

+ Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả trục Oy) nằm bên phải trục Oy.

– Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả trục Ox) nằm bên trên trục Ox.

– Miền nghiệm D₃ của bất phương trình 0,5x + y ≤ 8:

+ Vẽ đường thẳng ∆: 0,5x + y = 8.

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(0; 8) và B(16; 0).

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0,5. 0 + 0 = 0 ≤ 8 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 0,5x + y ≤ 8.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình 0,5x + y ≤ 8 là nửa mặt phẳng bờ ∆ (kể cả bờ ∆) chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm (miền không bị gạch) của hệ bất phương trình trên là miền tam giác OAB với: O(0; 0), A(0; 8), B(16; 0).

Số nến bác An làm được là: F(x; y) = x + y.

Tại O(0; 0): F = 0 + 0 = 0;

Tại A(0; 8): F = 0 + 8 = 8;

Tại B(16; 0): F = 16 + 0 = 16;

Do đó giá trị lớn nhất của F(x; y) là 16 khi x = 16 và y = 0.

Vậy bác An làm được nhiều nhất 16 cây nến khi bác làm 16 cây nến loại A và không làm cây nến loại B.

Bài 5. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 250 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x, y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính x² + y².

Hướng dẫn giải

Gia đình chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn nên 0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1.

Mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit; mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit mà gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên:

Ta có hệ bất phương trình:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục toạ độ Oxy:

– Biểu diễn miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục Oy.

Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả bờ Oy) nằm bên phải trục Oy.

* Tương tự ta biểu diễn các miền nghiệm:

– Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0: là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả bờ Ox) nẳm bên trên trục Ox.

– Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x ≤ 1,6: là nửa mặt phẳng bờ d₁ (kể cả bờ d₁: x = 1,6) chứa điểm O.

– Miền nghiệm D₄ của bất phương trình y ≤ 1,1: là nửa mặt phẳng bờ d₂ (kể cả bờ d₂: y = 1,1) chứa điểm O.

– Miền nghiệm D₅ của bất phương trình 8x + 6y ≥ 9.

+ Vẽ đường thẳng d₃: 8x + 6y = 9.

+ Xét điểm O(0; 0): Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta có 8. 0 + 6. 0 = 0 ≥ 9 là mệnh đề sai nên điểm O(0; 0) không thỏa mãn bất phương trình 8x + 6y ≥ 9.

Miền nghiệm D₅ của bất phương trình 8x + 6y ≥ 9 là nửa mặt phẳng bờ d₃ (kể cả bờ d₃) không chứa điểm O.

– Tương tự miền nghiệm D₆ của bất phương trình x + 2y ≥ 2 là nửa mặt phẳng bờ d₄ (kể cả bờ d₄) không chứa điểm O.

Ta có miền nghiệm (miền không bị gạch) của hệ bất phương trình như sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với: A(0,3; 1,1), B(1,6; 1,1), C(1,6; 0,2), D(0,6; 0,7).

Giá tiền một kg thịt bò là 250 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng nên tổng số tiền cần mua là F(x; y) = 250x + 110y (nghìn đồng) phải nhỏ nhất.

• Tại A(0,3; 1,1), F = 250. 0,3 + 110. 1,1 = 196;

• Tại B(1,6; 1,1), F = 250. 1,6 + 110. 1,1 = 521;

• Tại C(1,6; 0,2), F = 250. 1,6 + 110. 0,2 = 422;

• Tại D(0,6; 0,7), F = 250. 0,6 + 110. 0,7 = 227.

Vậy F (x; y) nhỏ nhất là 196 khi x = 0,3 và y = 1,1.

Khi đó x² + y² = 0,3² + 1,1² = 1,3.

Học tốt Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Các bài học để học tốt Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn