Các phép toán trên tập hợp (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 3: Các phép toán trên tập hợpsách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Các phép toán trên tập hợp (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Các phép toán trên tập hợp

1. Hợp và giao của các tập hợp

– Cho hai tập hợp A và B.

Tập hợp các phần tử thuộc A hoặc thuộc B gọi là hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B.

A ∪ B = {x| x ∈ A hoặc x ∈ B}.

Tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp A và B gọi là giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B.

A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}.

Nhận xét:

+ Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).

+ Đặc biệt, nếu A và B không có phần tử chung, tức A ∩ B = ∅, thì n(A ∪ B) = n(A) + n(B).

Ví dụ 1.

a) Cho hai tập hợp S = {1; 2; 3; 4} và T = {5; 6; 7}. Hãy xác định N = S ∪ T.

b) Cho hai tập hợp A = {x ∈ ℝ| (2x – x²)(2x² – 3x – 2) = 0} và B = {n ∈ ℕ| 3 < n² < 30}. Hãy xác định A ∩ B.

Hướng dẫn giải

a) Hợp của hai tập hợp S và T là tập hợp N = S ∪ T = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

b) Xét tập hợp A = {x ∈ ℝ| (2x – x²)(2x² – 3x – 2) = 0} ta có (2x – x²)(2x² – 3x – 2) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}2x-x^2=0\\ 2x^2-3x-2=0\end{array}\right.$⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-\frac{1}{2}\\ x=2\end{array}\right.$⇒ A = {0; 2; $\frac{1}{2}$}

Xét tập hợp B = {n ∈ ℕ| 3 < n² < 30} = {2; 3; 4; 5}.

Do đó A ∩ B = {2}.

2. Hiệu của hai tập hợp, phần bù của tập con

– Cho hai tập hợp A và B.

Tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B, kí hiệu A\B.

A\B = {x | x ∈ A và x ∉ B}.

Nếu A là tập con của E thì hiệu E\A gọi là phần bù của A trong E, kí hiệu C_EA.

Chú ý: Trong các chương sau, để tìm các tập hợp là hợp, giao, hiệu, phần bù của những tập con của tập số thực, ta thường vẽ sơ đồ trên trục số.

Ví dụ 2. Cho hai tập hợp S = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} và T = {4; 5; 6; 7}.

Hãy xác định S\T và C_ST.

Hướng dẫn giải

Hiệu của S và T là S\T = {2; 3; 8; 9}.

Ta thấy T là tập con của S nên phần bù của T trong S chính là:

C_ST = S\T = {2; 3; 8; 9}.

Ví dụ 3. Xác định tập hợp:

a) A = [–3; 3] ∩ (1; +∞);

b) B = (7; 12] ∪ (‒∞; 9].

Hướng dẫn giải

a) Để xác định tập hợp A, ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy A = (1; 3].

b) Để xác định tập hợp B, ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy B = (‒∞; 12].

Bài tập Các phép toán trên tập hợp

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho A = {(x; y)| x, y ∈ ℝ, 3x – y = 7}, B = {(x; y)| x, y ∈ ℝ, x – y = 1}.

Tập hợp A ∩ B là:

A. {(3; 2)};

B. {3}, {2};

C. {3; 2};

D. ∅.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tập hợp A ∩ B là tập hợp cặp số (x; y) thỏa mãn hệ phương trình:

 $\left\{\begin{array}{l}3x-y=7\\ x-y=1\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}\right.$⇒ (x; y) = (3; 2)

Vậy A ∩ B = {(3; 2)}.

Ta chọn phương án A.

Câu 2. Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào bằng tập hợp M = ℝ\(–∞; 2):

A. A = (‒∞; –2);

B. B = (‒∞; 2);

C. C = (2; +∞);

D. D = [2; +∞).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có tập hợp M = ℝ\(–∞; 2) = [2; +∞).

Vậy phương án D đúng.

Câu 3. Cho các tập hợp A, B, C được minh hoạ bằng biểu đồ Ven như hình vẽ dưới đây:

Phần tô màu xám trong hình vẽ biểu diễn của tập hợp nào sau đây?

A. A ∩ B ∩ C;

B. (A\B) ∪ (A\C);

C. (A ∪ B) \ C;

D. (A ∩ B) \ C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn tập hợp các điểm vừa thuộc A, thuộc B mà không thuộc C.

Đó chính là tập (A ∩ B) \ C.

Ta chọn phương án D.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Xác định tập hợp A ∩ B và A ∪ B trong mỗi trường hợp sau:

a) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 4, x < 30}, B = {x ∈ ℕ | x ⋮ 5, x < 30}.

b) C = {x ∈ ℝ| 2x + 4 > 0, x < 5} và D = {x ∈ ℝ| (x + 3)(x – 4) ≤ 0}.

Hướng dẫn giải

a) Ta xác định các phần tử của tập hợp A và tập hợp B.

A = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}.

B = {0; 5; 10; 15; 20; 25}.

Suy ra A ∩ B = {0; 20};

A ∪ B = {0; 4; 5; 8; 10; 12; 15; 16; 20; 24; 25; 28}.

b) Ta xác định các phần tử của tập hợp C và tập hợp D.

• Ta có $\left\{\begin{array}{l}2x+4>0\\ x<5\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x>-2\\ x<5\end{array}\right.$⇔ -2 < x < 5

Do đó: C = (–2; 5).

• Ta có: (x + 3)(x – 4) ≤ 0

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x+3\ge 0\\ x-4\le 0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x+3\le 0\\ x-4\ge 0\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge -3\\ x\le 4\end{array}\right.$hoặc $\left\{\begin{array}{l}x\le -3\\ x\ge 4\end{array}\right.$(vô lí)

⇔ –3 ≤ x ≤ 4.

Do đó: D = [–3; 4].

Ta có sơ đồ sau:

Từ sơ đồ, ta thấy C ∩ D = (–2; 4] và C ∪ D =  [–3; 5).

Bài 2. Lớp 10A của trường có 33 học sinh, trong đó có 20 học sinh thích môn Toán, 18 học sinh thích môn Ngữ Văn và 10 học sinh thích cả môn Toán và Ngữ Văn. Hỏi lớp 10A có:

a) Bao nhiêu học sinh thích ít nhất 1 trong 2 môn Toán và môn Ngữ Văn?

b) Bao nhiêu học sinh không thích môn nào?

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là tập hợp số học sinh thích môn Toán.

B là tập hợp số học sinh thích môn Ngữ Văn.

Số phần tử của A và B lần lượt là n(A) và n(B) thì n(A) = 20, n(B) = 18.

Ta có:

+) Tập hợp số học sinh thích cả môn Toán và Ngữ Văn là A ∩ B nên n(A ∩ B) = 10.

+) Tập hợp số học sinh thích ít nhất 1 trong 2 môn Toán và môn Ngữ Văn là A ∪ B.

Nên tổng số học sinh thích ít nhất 1 trong 2 môn Toán và môn Ngữ Văn là n(A ∪ B).

Suy ra n(A ∪ B) = n(A) + n(B) ‒ n(A ∩ B) = 20 + 18 – 10 = 28.

Vậy có 28 học sinh thích ít nhất 1 trong 2 môn Toán và môn Ngữ Văn.

b) Số học sinh không thích môn học nào là: 33 – 28 = 5 (học sinh)

Vậy có 5 học sinh không thích môn học nào trong hai môn Toán và môn Ngữ Văn.

Bài 3. Cho U = {x ∈ ℕ | x < 20}, A = {x ∈ U | x là bội của 4}, B = {x ∈ U | x là ước của 12}. Xác định các tập hợp A\B, B\A, C_UA, C_UB, C_U(A ∪ B), C_U( A ∩ B).

Hướng dẫn giải

Ta xác định các phần tử của tập hợp U, A, B.

U = {x ∈ ℕ | x < 20} = {0; 1; 2; 3; 4; …; 19}.

A = {x ∈ U | x là bội của 4} = {0; 4; 8; 12; 16}.

B = {x ∈ U | x là ước của 12} = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Khi đó ta có:

A\B = {0; 8; 16}.

B\A = {1; 2; 3; 6}.

C_UA = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 18; 19}.

C_UB = {0; 5; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19}.

A ∩ B = {4; 12}, A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16}.

C_U(A ∪ B) = {5; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 18; 19}.

C_U(A ∩ B) = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19}.

Học tốt Các phép toán trên tập hợp

Các bài học để học tốt Các phép toán trên tập hợp Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 3: Các phép toán trên tập hợp