Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Giải tam giác và ứng dụng thực tế

1. Giải tam giác

Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.

Để giải tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lí các hệ thức lượng như: định lí sin, định lí côsin và các công thức tính diện tích tam giác.

Ví dụ 1. Giải tam giác ABC biết AB = 45, AC = 32 và = 60^o

Hướng dẫn giải

+) Theo định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

$\Rightarrow$ BC² = 45² + 32² – 2.45.32.cos60° = 1609.

$\Rightarrow$ BC ≈ 40,11.

+) Theo định lí sin ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \frac{40,11}{\sin 60°}=\frac{32}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{32.\sin 60°}{40,11}\approx 0,69$

$\Rightarrow$ = 44° (không thể xảy ra trường hợp ≈ 136^o do > 180^o)

Xét tam giác ABC có = 60^o, = 44^o ta có:

= 180^o (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow$ = 180^o -- ≈ 180^o - 60^o - 44^o = 76^o

Vậy BC ≈ 40,11; ≈44^o và ≈ 76^o

2. Áp dụng giải tam giác vào thực tế

Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt là trong thiết kế và xây dựng.

Ví dụ 2. Một khung thành bóng đá rộng 5 mét. Một cầu thủ đứng ở vị trí cách cột dọc khung thành 26 mét và cách cột còn lại 23 mét, sút bóng vào khung thành. Tính góc nhìn của cầu thủ tới hai cột khung thành trên.

Hướng dẫn giải

Vị trí cầu thủ C và khung thành AB được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Gọi α là góc nhìn của cầu thủ C tới hai cột khung thành A và B, tức là $\alpha$ =

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

Suy ra α ≈ 9°23'.

Vậy góc nhìn của cầu thủ tới hai cột khung thành là khoảng 9°23'.

Ví dụ 3.Từ hai vị trí A và B của một toà nhà, người ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30' (hình vẽ). Tính độ cao của ngọn núi.

Hướng dẫn giải

Ta có = 90^o - 30^o = 60^o.

= 90^o+15^o30' = 105^o30'

Xét tam giác ABC ta có:

= 180^o (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow$ = 180^o-

$\Rightarrow$ = 180^o- 60^o - 105^o30^' = 14^o30'

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

$\Rightarrow \frac{AC}{\sin 105°30\text{'}}=\frac{70}{\sin 14°30\text{'}}$

$\Rightarrow AC=\frac{70}{\sin 14°30\text{'}}.\sin 105°30\text{'}$

$\Rightarrow$ AC ≈ 269,4 (m)

Tam giác ACH vuông tại H ta có:

CH = AC.sin $\approx$ 269,4.sin30^o $\approx$ 134,7 (m)

Vậy ngọn núi cao khoảng 134,7 m.

Bài tập Giải tam giác và ứng dụng thực tế

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5, AC = 8, diện tích bằng 12. Độ dài cạnh BC là khoảng:

A. 2$\sqrt{3}$

B. 3$\sqrt{2}$

C. 4;

D. 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác ABC là: S = $\frac{1}{2}$.AB.Ac.sinA $\Rightarrow$sinA = $\frac{2S}{AB.AC}$

$\Rightarrow$sinA = $\frac{2.12}{5.8}=\frac{3}{5}\Rightarrow$$\approx$ 36^o52' (vì góc A là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và , áp dụng định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

BC² ≈ 5² + 8² – 2.5.8.cos36°52' ≈ 25

$\Rightarrow$ BC ≈ 5.

Vậy BC ≈ 5.

Câu 2. Cho tam giác ABC. Biết AB = 2, BC = 3 và = 60^o. Chu vi và diện tích tam giác ABC lần lượt là:

A. 5+$\sqrt{7}$ và $\frac{3}{2}$;

B. 5+$\sqrt{7}$ và $\frac{3\sqrt{3}}{2}$;

C. 5+$\sqrt{19}$ và $\frac{3}{2}$;

D. 5+$\sqrt{19}$ và $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có AB = 2, BC = 3 và = 60^o áp dụng định lí côsin ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC. cos

$\Rightarrow$ AC² = 2² + 3² – 2.2.3.cos60° = 7

$\Rightarrow$AC = $\sqrt{7}$

Do đó chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC = 2 +3 + $\sqrt{7}$ = 5 + $\sqrt{7}$

Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$.BA.BC.sin= $\frac{1}{2}$.2.3.sin60^o = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$(đơn vị diện tích).

Vậy chu vi và diện tích tam giác ABC lần lượt là: 5 + $\sqrt{7}$ và $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Câu 3. Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ (AB = 4,3 cm; BC = 3,7 cm; CA = 7,5 cm).

Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

A. 5,73 cm;

B. 6,01 cm;

C. 5,85 cm;

D. 4,57 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nửa chu vi của tam giác ABC là:

(cm)

Diện tích tam giác ABC theo công thức Heron là:

$S=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}\approx 5,2\left(c{m}^2\right)$

Mặt khác: $S=\frac{AB.AC.BC}{4R}$

$\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4S}\approx \frac{4,3.7,5.3,7}{4.5,2}\approx 5,73\left(cm\right)$

Vậy bán kính của chiếc đĩa là khoảng 5,73 cm.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Giải tam giác ABC biết AC = 16, = 60^o và = 50^o (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có = 60^o, = 50^o ta có:

= 180^o (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow$ = 180^o -- ≈ 180^o - 60^o - 50^o = 70^o

Theo định lí sin ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

Vậy = 70^o , BC ≈ 18,1 và AB ≈ 19,6.

Bài 2. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B đều có thể nhìn thấy điểm C. Người ta đo được khoảng cách AB = 40 m, = 45^o và = 70^o.Tính khoảng cách AC (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có = 45^o, = 70^o ta có:

= 180^o (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow$ = 180^o -- ≈ 180^o - 45^o - 70^o = 65^o

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

Vậy khoảng cách từ A trên bờ sông đến gốc cây C khoảng 41,47 m.

Bài 3. Trên nóc một toà nhà có một cột cờ cao 2 m. Từ vị trí quan sát A cao 5 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột cờ dưới góc 45° và 40° so với phương nằm ngang (hình vẽ). Tìm chiều cao của toà nhà.

Hướng dẫn giải

Từ hình vẽ ta có = 45^o-40^o = 5^o và = 180^o - (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Do đó = 45^o .

Suy ra: = = 45^o

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC có:

Suy ra

Trong tam giác vuông ADC có:

CD = AC.sin $\approx$ 16,2.sin40^o $\approx$ 10,4 (m)

Do đó CH = CD + DH ≈ 10,4 + 5 ≈ 15,4 (m).

Vậy chiều cao của toà nhà là khoảng 15,4 m.

Bài 4. Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8, M là trung điểm của BC, và AM > 3. Tính AM và giải tam giác ABC biết tam giác ABC là tam giác tù.

Hướng dẫn giải

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.8 = 4.

Xét tam giác ABM, áp dụng hệ quả định lí côsin ta có:

$\iff A{M}^2+7=\frac{40\sqrt{13}}{26}AM$

$\iff A{M}^2-\frac{20\sqrt{13}}{13}AM+7=0$

Do đó AM = $\sqrt{13}$.

Vì và là hai góc kề bù nên + = 180°.

Suy ra cos = - cos = $-\frac{5\sqrt{13}}{26}.$

Xét tam giác AMC, áp dụng định lí côsin ta có:

AC² = AM² + CM² - 2.AM.CM.cos

$\Rightarrow$ AC² = ($\sqrt{13}$)² + 4² - 2.$\sqrt{13}$.4.$\left(-\frac{5\sqrt{13}}{26}\right)$

$\Rightarrow$ AC² = 49

$\Rightarrow$ AC = 7.

Xét tam giác ABM có AB = 3, BM = 4, AM = $\sqrt{13}$ áp dụng định lí côsin ta có:

Xét tam giác ABC, áp dụng định lí sin ta có:

Mà tam giác ABC là tam giác tù nên $\approx$98^o .

Xét tam giác ABC ta có:

= 180^o (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow$= 180^o -

$\Rightarrow$ $\approx$ 180^o - 98^o - 60^o = 22^o

Vậy AM = $\sqrt{13}$ , AC = 7, = 60^o, $\approx$98^o và $\approx$ 22^o.

Học tốt Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Các bài học để học tốt Giải tam giác và ứng dụng thực tế Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế