Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn góc ASB = góc BSC = góc CSA = 90 độ. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)

Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 17 trang 48 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 90 °$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{S H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{S B^{2}} + \frac{1}{S C^{2}} .$

Lời giải:

Đặt SA = a, SB = b, SC = c (a, b, c > 0).

Theo đề, ta có: $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 90 °$ hay SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau nên có thể gắn hệ trục Oxyz thỏa mãn S(0; 0; 0), A(a; 0; 0), b(0; b; 0), C(0; 0; c).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ hay $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$ .

Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) là:

SH = $\frac{|\frac{0}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1|}{\sqrt{{(\frac{1}{a})}^{2} + {(\frac{1}{b})}^{2} + {(\frac{1}{c})}^{2}}}$ = $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}}$ ⇒ $\frac{1}{S H} = \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}$ .

Suy ra $\frac{1}{S H^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$ hay $\frac{1}{S H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{S B^{2}} + \frac{1}{S C^{2}}$ (đpcm).

Lời giải SBT Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯