Nhị thức Newton (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Nhị thức Newton (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton (a + b)ⁿ ứng với n = 4 ; n = 5 :

(a + b)⁴ = $C_4^0$a⁴ + $C_4^1$a³b + $C_4^2$a²b² + $C_4^3$ab³ + $C_4^4$b⁴

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

(a + b)⁵ = $C_5^0$a⁵ + $C_5^1$a⁴b + $C_5^2$a³b² + $C_5^3$a²b³ + $C_5^4$ab⁴ + $C_5^5$b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Ví dụ:

a) Khai triển (2 + x)⁴ ;

b) Khai triển (x – 3)⁵.

Hướng dẫn giải

a) Ta có :

(2 + x)⁴ = $C_4^0$2⁴ + $C_4^1$2³.x + $C_4^2$2²x² + $C_4^3$2.x³ + $C_4^4$x⁴

= 2⁴ + 4.2³x + 6.2².x² + 4.2.x³ + x⁴

= 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.

Vậy (2 + x)⁴ = 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.

b) Ta có :

(x – 3)⁵ = $C_5^0$x⁵ + $C_5^1$x⁴.(–3) + $C_5^2$x³.(–3)² + $C_5^3$x².(–3)³ + $C_5^4$x.(–3)⁴ + $C_5^5$(–3)⁵

= x⁵ + 5x⁴.(–3) + 10x³.(–3)² + 10x².(–3)³ + 5x.(–3)⁴ + (–3)⁵

= x⁵ – 15x⁴ + 90x³ – 270x² + 405x – 243.

Vậy (x – 3)⁵ = x⁵ – 15x⁴ + 90x³ – 270x² + 405x – 243.

Bài tập Nhị thức Newton

Bài 1: Khai triển các đa thức sau :

a) (2x – 3)⁴ ;

b) (x + 5)⁵ + (x – 5)⁵.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: (2x – 3)⁴ = (2x)⁴ + 4(2x)³.(–3) + 6(2x)².(–3)² + 4.2x.(–3)³ + (–3)⁴.

= 16x⁴ – 96x³ + 216x² – 216x + 81.

Vậy: (2x – 3)⁴ = 16x⁴ – 96x³ + 216x² – 216x + 81.

b) Ta có:

(x + 5)⁵ + (x – 5)⁵ = [x⁵ + 5x⁴.5 + 10.x³.5² + 10.x².5³ + 5.x.5⁴ + 5⁵] + [x⁵ + 5x⁴.(–5) + 10.x³.(–5)² + 10.x².(–5)³ + 5.x.(–5)⁴ + (–5)⁵]

= [x⁵ + 25x⁴ + 250x³ + 1250x² + 3125x + 3125] + [x⁵ – 25x⁴ + 250x³ – 1250x² + 3125x – 3125]

= x⁵ + 25x⁴ + 250x³ + 1250x² + 3125x + 3125 + x⁵ – 25x⁴ + 250x³ – 1250x² + 3125x – 3125

= 2x⁵ + 500x³ + 6250x.

Vậy (x + 5)⁵ + (x – 5)⁵ = 2x⁵ + 500x³ + 6250x.

Bài 2 : Xác định hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức (3x – 2)⁴.

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức Newton ta có :

(3x – 2)⁴ = $C_4^0$(3x)⁴ + $C_4^1$(3x)³.(–2) + $C_4^2$(3x)².(–2)² + $C_4^3$(3x).(–2)³ + $C_4^4$(–2)⁴

= (3x)⁴ + 4(3x)³(–2) + 6(3x)²(–2)² + 4(3x)(–2)³ + (–2)⁴

= 3⁴x⁴ + 4.3³x³.(–2) + 6.3².x².(–2)² + 4.3x.(–2)³ + (–2)⁴

⇒ Hệ số của x³ là 4.3³.(–2) = – 216.

Vậy hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁴ là – 216.

Bài 3 : Cho tập hợp E có 4 phần tử. Tính số tập con của E.

Hướng dẫn giải

Số tập hợp con của E có 0 phần tử là: $C_4^0$;

Số tập hợp con của E có 1 phần tử là: $C_4^1$;

Số tập hợp con của E có 2 phần tử là: $C_4^2$;

Số tập hợp con của E có 2 phần tử là: $C_4^3$;

Số tập hợp con của E có 6 phần tử là: $C_4^4$.

Khi đó số tập hợp con của E là : $C_4^0$ + $C_4^1$ + $C_4^2$ + $C_4^3$ + $C_4^4$.

Mặt khác, ta có: (1 + 1)⁴ = $C_4^0$ + $C_4^1$ + $C_4^2$ + $C_4^3$ + $C_4^4$

⇒ $C_4^0$ + $C_4^1$ + $C_4^2$ + $C_4^3$ + $C_4^4$ = 2⁴ = 16.

Vậy tập hợp E có 16 tập con.

Học tốt Nhị thức Newton

Các bài học để học tốt Nhị thức Newton Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton