Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

I. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vec tơ, phép trừ hai vec tơ, phép nhân một số với một vec tơ

Nếu $\overrightarrow{u}$ = (x₁ ; y₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂ ; y₂) thì

$\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = ( x₁ + x₂ ; y₁ + y₂);

$\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = ( x₁ – x₂ ; y₁ – y₂);

k$\overrightarrow{u}$ = (kx₁; ky₁) với k ∈ℝ.

Ví dụ: Cho hai vec tơ $\overrightarrow{u}$ = (–5 ; 1) và $\overrightarrow{v}$ = (2 ; –3). Tìm tọa độ của mỗi vec tơ sau:

a) $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$;

b) $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$;

c) –2$\overrightarrow{v}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (–5 + 2 ; 1 + (–3)) = (–3 ; –2).

Vậy $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (–3 ; –2).

b) Ta có $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = (–5 – 2 ; 1 – (–3)) = (–7 ; 4).

Vậy $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = (–7 ; 4).

c) Ta có –2$\overrightarrow{v}$ = (–2.2 ; –2.(–3)) = (–4 ; 6).

Vậy –2$\overrightarrow{v}$ = (–4 ; 6).

Nhận xét: Hai vec tơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁ ; y₁), $\overrightarrow{v}$ = (x₂ ; y₂) ($\overrightarrow{v}$ ≠ $\overrightarrow{0}$) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho x₁ = kx₂ và y₁ = ky₂.

Ví dụ: Hai vec tơ $\overrightarrow{u}$ = (–1 ; 2) và $\overrightarrow{v}$ = (4 ; –8) có cùng phương hay không?

Hướng dẫn giải

Ta thấy 4 = –4.(–1) và –8 = –4.2

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (–1 ; 2) và $\overrightarrow{v}$ = (4 ; –8) cùng phương với nhau.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (–1 ; 2) và $\overrightarrow{v}$ = (4 ; –8) cùng phương.

II. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác

– Cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Nếu M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$ ; $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$.

– Cho tam giác ABC có A(x_A ; y_A), B(x_B ; y_B), C(x_C ; y_C). Nếu G(x_G ; y_G) là trọng tâm của tam giác ABC thì

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$; $y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(0 ; 3), B(–1 ; –4), C(4 ; –2). Hãy tìm tọa độ trung điểm I của cạnh BC và trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ trung điểm I của cạnh BC và trọng tâm G của tam giác ABC lần lượt là (x_I ; y_I) và (x_G ; y_G).

Khi đó, vì I là trung điểm của BC nên ta có:

$x_I=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$; $y_I=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{(-4)+(-2)}{2}=-3$.

Suy ra $I\left(\frac{3}{2};-3\right)$.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{0+\left(-1\right)+4}{3}=1$; $y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{3+\left(-4\right)+\left(-2\right)}{3}=-1$.

Suy ra G(1 ; –1).

Vậy $I\left(\frac{3}{2};-3\right)$ và G(1 ; –1).

III. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂) thì $\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$ = x₁x₂ + y₁y₂.

Nhận xét:

a) Nếu $\overrightarrow{a}$ = (x; y) thì |$\overrightarrow{a}$| = $\sqrt{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}}=\sqrt{x^2+y^2}$.

b) Nếu A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thì AB = |$\overrightarrow{AB}$| = $\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$.

c) Với hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂) đều khác $\overrightarrow{0}$, ta có:

+ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

+ cos($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = $\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}.\sqrt{x_2^2+y_x^2}}$.

Ví dụ: Cho hai vec tơ $\overrightarrow{u}$ = (3 ; –5) và $\overrightarrow{v}$ = (5 ; 3).

a) Tính |$\overrightarrow{u}$|;

b) Tính $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$;

c) Tính góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\left|\overrightarrow{u}\right|$ = $\sqrt{3^2+{\left(-5\right)}^2}$ = $\sqrt{34}$.

Vậy $\left|\overrightarrow{u}\right|$ = $\sqrt{34}$.

b) Ta có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ = 3.5 + (–5).3 = 0.

Vậy $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ = 0.

c) Ta có cos($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = $\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}$ = $\frac{3.5+\left(-5\right).3}{\sqrt{3^2+{\left(-5\right)}^2}.\sqrt{5^2+3^2}}=\frac{0}{34}=0$.

Suy ra ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = 90^o.

Vậy $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau.

Bài tập Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; –3), C(0; 4).

a) Tính $\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$

b) Giải tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (–2 – 1 ; –3 – 2) = (–3 ; –5)

$\overrightarrow{AC}$ = (0 – 1 ; 4 – 2) = (–1 ; 2)

Khi đó $\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$ = –3.(–1) + (–5). 2 = –7.

Vậy $\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$ = –7.

b) Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (–3; –5) ⇒ AB = |$\overrightarrow{AB}$| = $\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{34}$.

$\overrightarrow{AC}$ = (–1; 2) ⇒ AC = |$\overrightarrow{AC}$| = $\sqrt{{\left(-1\right)}^2+2^2}=\sqrt{5}$.

$\overrightarrow{BC}$ = (0 – (–2) ; 4 – (–3)) = (2; 7) ⇒ BC = |$\overrightarrow{BC}$| = $\sqrt{2^2+7^2}=\sqrt{53}$.

cos($\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$) = $\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{-3.\left(-1\right)+\left(-5\right).2}{\sqrt{34}.\sqrt{5}}=\frac{-7}{\sqrt{170}}$

Suy ra ($\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$) ≈ 122^o28’

⇒ $\widehat{BAC}$ ≈ 122^o28’.

Ta có $\overrightarrow{BA}$ = (1 – (–2) ; 2 – (–3)) = (3; 5).

cos($\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$) = $\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{BA}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|}=\frac{3.2+5.7}{\sqrt{34}.\sqrt{53}}=\frac{41}{\sqrt{1802}}$

Suy ra ($\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$) ≈ 15°1’

⇒ $\widehat{ABC}$ ≈15°1’.

Mặt khác $\widehat{ACB}$ = 180^o – ($\widehat{BAC}$+$\widehat{ABC}$) = 42^o31’.

Vậy tam giác ABC có AB = $\sqrt{34}$; AC = $\sqrt{5}$; BC = $\sqrt{53}$; $\widehat{BAC}$ ≈ 122^o28’; $\widehat{ABC}$ ≈15^o1’; $\widehat{ACB}$ = 42^o31’.

Bài 2: $\overrightarrow{u}$ = (2 ; –2) và $\overrightarrow{v}$ = (3 ; 5)

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{m}$ = $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$.

b) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n}$ = –3$\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{m}$ = $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (2 + 3; –2 + 5) = (5 ; 3).

Vậy $\overrightarrow{m}$ = $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (5; 3).

b) Ta có $\overrightarrow{n}$ = –3$\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = (–3.2 – 3; –3.(–2) – 5) = (–9; 1).

Vậy $\overrightarrow{n}$ = –3$\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = (–9; 1).

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(0; 4), B(–1; 3), C(–5; 2).

a) Tìm tọa độ trung điểm I của đọan thẳng AB.

b) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Gọi tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là (x_I; y_I).

Khi đó, vì I là trung điểm của AB nên ta có:

$x_I=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{0+\left(-1\right)}{2}=\frac{-1}{2}$; $y_I=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{4+3}{2}=\frac{7}{2}$.

Suy ra $I\left(\frac{-1}{2};\frac{7}{2}\right)$.

Vậy $I\left(\frac{-1}{2};\frac{7}{2}\right)$.

b) Để chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta chứng minh $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (–1 – 0 ; 3 – 4) = (–1 ; –1)

$\overrightarrow{AC}$ = (–5 – 0 ; 2 – 4) = (–5 ; –2)

Ta thấy $\frac{-1}{-5}\ne \frac{-1}{-2}$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương

Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

c) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC lần lượt là (x_G ; y_G).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{0+\left(-1\right)+\left(-5\right)}{3}=-2$; $y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{4+3+2}{3}=3$.

Suy ra G(–2 ; 3).

Vậy G(–2 ; 3).

Học tốt Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Các bài học để học tốt Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ