X

Lý thuyết Toán 10 Cánh diều

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

1.1. Định nghĩa

- Với ba điểm bất kì A, B, C, vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ ABBC, kí hiệu là AC=AB+BC.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

- Cho hai vectơ a b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB=aBC=b. Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a b. Ta kí hiệu tổng của hai vectơ aba+b. Vậy AC=a+b.

Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Ví dụ:Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tính:

a) OA+DC

b) BC+OA

Hướng dẫn giải:

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD và AB = CD.

DC=AB.

OA+DC=OA+AB=OB.

b) Vì A, O, C thẳng hàng (O là trung điểm của đường chéo AC)

OA=CO.

BC+OA=BC+CO=BO.

1.2. Quy tắc hình bình hành

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Nếu ABCD là hình bình hành thì AB+AD=AC.

Ví dụ: Chứng minh quy tắc hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Ta có: AD=BC.

Suy ra: AB+AD=AB+BC=AC.

1.3. Tính chất

Với ba vecto tùy ý a,b,c ta có:

a+b=b+a(tính chất giao hoán) ;

a+b+c=a+b+c (tính chất kết hợp);

a+0=0+a=a(tính chất của vecto-không).

Chú ý: Tổng ba vecto a+b+cđược xác định theo một trong hai cách sau:

a+b+c hoặc a+b+c.

Ví dụ: Cho 5 điểm tùy ý A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:

a)CD+EC+DA+BE=BA.

b) AB+CD+EA=CB+ED.

Hướng dẫn giải:

a)Ta có:

CD+EC+DA+BE

= CD+DA+BE+EC (áp dụng tính chất giao hoán)

= CD+DA+BE+EC (áp dụng tính chất kết hợp)

= CA+BC(áp dụng quy tắc cộng vecto)

= BC+CA (áp dụng tính chất giao hoán)

= BA(áp dụng quy tắc cộng vecto) (đpcm).

Vậy CD+EC+DA+BE=BA.

b) Ta có:

AB+CD+EA

= AC+CB+CD+ED+DA(áp dụng quy tắc cộng vecto)

= CB+ED+AC+CD+DA(áp dụng tính chất giao hoán)

= CB+ED+AC+CD+DA(áp dụng tính chất kết hợp)

= CB+ED+AD+DA (áp dụng quy tắc cộng vecto)

= CB+ED+AD+DA(áp dụng tính chất kết hợp)

= CB+ED+AA

= CB+ED+0 (vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vecto-không)

= CB+ED (áp dụng tính chất vecto-không) (đpcm).

2. Hiệu của hai vectơ

2.1. Hai vectơ đối nhau

Định nghĩa: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a được gọi là vectơ đối của vectơ a, kí hiệu là -a. Hai vectơ a và -a được gọi là hai vectơ đối nhau.

Quy ước: Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0.

Nhận xét:

+) a+-a=-a+a=0

+) Hai vecto a, b là hai vecto đối nhau khi và chỉ khi a+b=0.

+) Với hai điểm A, B, ta có: AB+BA=0.

Lưu ý: Cho hai điểm A, B. Khi đó hai vectơ ABBA là hai vectơ đối nhau, tức là BA=-AB.

Chú ý:

- I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA+IB=0.

- G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA+GB+GC=0.

Ví dụ:Cho hình vuông ABCD có tâm O. Tìm vectơ đối của các vectơ AB,AO.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Hướng dẫn giải:

+ Vì |BA| = |AB| = AB và BA ngược hướng với AB

BA=-AB

BA là vecto đối của vecto AB.

+ Vì AB = CD, AB // CD (ABCD là hình vuông)

⇒ |AB| = |CD| và CD ngược hướng với AB

CD=-AB

CD là vecto đối của vecto AB.

Vì A, O, C là ba điểm thẳng hàng và OA = OC (ABCD là hình vuông)

AO ngược hướng với CO và |AO| = |CO|

CO=-AO

CO là vecto đối của AO.

Vậy BA, CD là vecto đối của vecto ABCO là vecto đối của AO.

2.2. Hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vecto ab, kí hiệu là a-b, là tổng của vecto a và vecto đối của vecto b, tức là a-b=a+-b.

Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ hai vecto.

Nhận xét: Với ba điểm bất kì A, B, O ta có: AB=OB-OA.

Ví dụ:Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Chứng minh rằng:

AB-AD=DC-BC

Hướng dẫn giải:

Ta có:

AB-AD=DB(áp dụng quy tắc về hiệu hai vecto) (1)

DC-BC=DC+-BC=DC+CB=DB(vecto đối) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB-AD=DC-BC(đpcm).

Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 1: Cho tứ giác ABCD, tìm các vecto sau:

a) AB-AD+DC-DB;

b) BA-BC+CD-CA;

c) MN-QP+RN-PN+QR.

Hướng dẫn giải:

a) AB-AD+DC-DB

= AB-AD+DC-DB (tính chất kết hợp)

= DB+DC+BD (quy tắc hiệu hai vecto)

= DB+BD+DC (tính chất giao hoán)

= DB+BC

= DC (quy tắc cộng hai vecto).

Vậy AB-AD+DC-DB = DC.

b) BA-BC+CD-CA

= BA-BC+CD-CA (tính chất kết hợp)

= CA+AD (quy tắc hiệu hai vecto)

= CD.

Vậy BA-BC+CD-CA = CD.

c) MN-QP+RN-PN+QR

= QR-QP+RN+MN+-PN (tính chất giao hoán)

= QR-QP+RN+MN+-PN (tính chất kết hợp)

= PR+RN+MN+NP (quy tắc hiệu hai vecto và vecto đối)

= PR+RN+MN+NP (tính chất kết hợp)

= PN+MP (quy tắc cộng hai vecto)

= MP+PN (tính chất giao hoán)

= MN (quy tắc cộng hai vecto).

Vậy MN-QP+RN-PN+QR = MN.

Bài 2: Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng AB+CBCO+AD.

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Hướng dẫn giải:

+ Vì ABCD là hình vuông nên AB // DC và AB = DC.

AB=DC

AB+CB=DC+CB

Áp dụng quy tắc cộng hai vecto ta có:

DC+CB=DB

AB+CB=DB

+ Vì A, O, C cùng nằm trên một đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông ABCD).

CO=OA

CO+AD=OA+AD

Áp dụng quy tắc công hai vecto ta có:

OA+AD=OD

CO+AD=OD.

Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: AB+CD=2MN.

Hướng dẫn giải:

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Ta có:

MN=MA+AB+BN

MN=MC+CD+DN

Vì M, N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD

Suy ra:

MA+MC=0

BN+DN=0

2MN=MA+AB+BC+MC+CD+DN

=MA+MC+AB+CD+BN+DN

= 0+AB+CD+0

= AB+CD (đpcm).

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Có đường cao AH, G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính độ dài vecto GA+GB+GC.

Hướng dẫn giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta áp dụng quy tắc trọng tâm có:

GA+GB+GC=0

⇒ |GA+GB+GC| = |0| = 0

Vậy độ dài vecto GA+GB+GC là 0.

Học tốt Tổng và hiệu của hai vectơ

Các bài học để học tốt Tổng và hiệu của hai vectơ Toán lớp 10 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: