Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

❮ Bài trước Bài sau ❯

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án)

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

1.1. Định nghĩa

- Với ba điểm bất kì A, B, C, vectơ $\vec{A C}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{B C}$ , kí hiệu là $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C}$ .

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

- Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $\vec{A B} = \vec{a}$ và $\vec{B C} = \vec{b}$ . Vectơ $\vec{A C}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Ta kí hiệu tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $\vec{a} + \vec{b}$ . Vậy $\vec{A C} = \vec{a} + \vec{b}$ .

Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Ví dụ:Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tính:

a) $\vec{O A} + \vec{D C}$

b) $\vec{B C} + \vec{O A}$

Hướng dẫn giải:

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD và AB = CD.

⇒ $\vec{D C} = \vec{A B}$ .

⇒ $\vec{O A} + \vec{D C} = \vec{O A} + \vec{A B} = \vec{O B}$ .

b) Vì A, O, C thẳng hàng (O là trung điểm của đường chéo AC)

⇒ $\vec{O A} = \vec{C O}$ .

⇒ $\vec{B C} + \vec{O A} = \vec{B C} + \vec{C O} = \vec{B O}$ .

1.2. Quy tắc hình bình hành

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Ví dụ: Chứng minh quy tắc hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\vec{A D} = \vec{B C}$ .

Suy ra: $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

1.3. Tính chất

Với ba vecto tùy ý $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ta có:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ (tính chất giao hoán) ;

$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ (tính chất kết hợp);

$\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$ (tính chất của vecto-không).

Chú ý: Tổng ba vecto $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ được xác định theo một trong hai cách sau:

$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$ hoặc $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ .

Ví dụ: Cho 5 điểm tùy ý A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:

a) $\vec{C D} + \vec{E C} + \vec{D A} + \vec{B E} = \vec{B A}$ .

b) $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{E A} = \vec{C B} + \vec{E D}$ .

Hướng dẫn giải:

a)Ta có:

$\vec{C D} + \vec{E C} + \vec{D A} + \vec{B E}$

= $\vec{C D} + \vec{D A} + \vec{B E} + \vec{E C}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

= $(\vec{C D} + \vec{D A}) + (\vec{B E} + \vec{E C})$ (áp dụng tính chất kết hợp)

= $\vec{C A} + \vec{B C}$ (áp dụng quy tắc cộng vecto)

= $\vec{B C} + \vec{C A}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

= $\vec{B A}$ (áp dụng quy tắc cộng vecto) (đpcm).

Vậy $\vec{C D} + \vec{E C} + \vec{D A} + \vec{B E} = \vec{B A}$ .

b) Ta có:

$\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{E A}$

= $(\vec{A C} + \vec{C B}) + \vec{C D} + (\vec{E D} + \vec{D A})$ (áp dụng quy tắc cộng vecto)

= $\vec{C B} + \vec{E D} + \vec{A C} + \vec{C D} + \vec{D A}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

= $\vec{C B} + \vec{E D} + (\vec{A C} + \vec{C D}) + \vec{D A}$ (áp dụng tính chất kết hợp)

= $\vec{C B} + \vec{E D} + \vec{A D} + \vec{D A}$ (áp dụng quy tắc cộng vecto)

= $\vec{C B} + \vec{E D} + (\vec{A D} + \vec{D A})$ (áp dụng tính chất kết hợp)

= $\vec{C B} + \vec{E D} + \vec{A A}$

= $\vec{C B} + \vec{E D} + \vec{0}$ (vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vecto-không)

= $\vec{C B} + \vec{E D}$ (áp dụng tính chất vecto-không) (đpcm).

2. Hiệu của hai vectơ

2.1. Hai vectơ đối nhau

Định nghĩa: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\vec{a}$ , kí hiệu là - $\vec{a}$ . Hai vectơ $\vec{a}$ và - $\vec{a}$ được gọi là hai vectơ đối nhau.

Quy ước: Vectơ đối của vectơ $\vec{0}$ là vectơ $\vec{0}$ .

Nhận xét:

+) $\vec{a} + (- \vec{a}) = (- \vec{a}) + \vec{a} = \vec{0}$

+) Hai vecto $\vec{a}$ , $\vec{b}$ là hai vecto đối nhau khi và chỉ khi $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ .

+) Với hai điểm A, B, ta có: $\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}$ .

Lưu ý: Cho hai điểm A, B. Khi đó hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{B A}$ là hai vectơ đối nhau, tức là $\vec{B A} = - \vec{A B}$ .

Chú ý:

- I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ .

- G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ví dụ:Cho hình vuông ABCD có tâm O. Tìm vectơ đối của các vectơ $\vec{A B}, \vec{A O}$ .

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Hướng dẫn giải:

+ Vì | $\vec{B A}$ | = | $\vec{A B}$ | = AB và $\vec{B A}$ ngược hướng với $\vec{A B}$

⇒ $\vec{B A} = - \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{B A}$ là vecto đối của vecto $\vec{A B}$ .

+ Vì AB = CD, AB // CD (ABCD là hình vuông)

⇒ | $\vec{A B}$ | = | $\vec{C D}$ | và $\vec{C D}$ ngược hướng với $\vec{A B}$

⇒ $\vec{C D} = - \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{C D}$ là vecto đối của vecto $\vec{A B}$ .

Vì A, O, C là ba điểm thẳng hàng và OA = OC (ABCD là hình vuông)

⇒ $\vec{A O}$ ngược hướng với $\vec{C O}$ và | $\vec{A O}$ | = | $\vec{C O}$ |

⇒ $\vec{C O} = - \vec{A O}$

$\Rightarrow \vec{C O}$ là vecto đối của $\vec{A O}$ .

Vậy $\vec{B A}$ , $\vec{C D}$ là vecto đối của vecto $\vec{A B}$ và $\vec{C O}$ là vecto đối của $\vec{A O}$ .

2.2. Hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{a} - \vec{b}$ , là tổng của vecto $\vec{a}$ và vecto đối của vecto $\vec{b}$ , tức là $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})$ .

Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ hai vecto.

Nhận xét: Với ba điểm bất kì A, B, O ta có: $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$ .

Ví dụ:Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Chứng minh rằng:

$\vec{A B} - \vec{A D} = \vec{D C} - \vec{B C}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\vec{A B} - \vec{A D} = \vec{D B}$ (áp dụng quy tắc về hiệu hai vecto) (1)

$\vec{D C} - \vec{B C} = \vec{D C} + (- \vec{B C}) = \vec{D C} + \vec{C B} = \vec{D B}$ (vecto đối) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\vec{A B} - \vec{A D} = \vec{D C} - \vec{B C}$ (đpcm).

Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 1: Cho tứ giác ABCD, tìm các vecto sau:

a) $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{D C} - \vec{D B}$ ;

b) $\vec{B A} - \vec{B C} + \vec{C D} - \vec{C A}$ ;

c) $\vec{M N} - \vec{Q P} + \vec{R N} - \vec{P N} + \vec{Q R}$ .

Hướng dẫn giải:

a) $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{D C} - \vec{D B}$

= $(\vec{A B} - \vec{A D}) + (\vec{D C} - \vec{D B})$ (tính chất kết hợp)

= $\vec{D B} + (\vec{D C} + \vec{B D})$ (quy tắc hiệu hai vecto)

= $\vec{D B} + (\vec{B D} + \vec{D C})$ (tính chất giao hoán)

= $\vec{D B} + \vec{B C}$

= $\vec{D C}$ (quy tắc cộng hai vecto).

Vậy $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{D C} - \vec{D B}$ = $\vec{D C}$ .

b) $\vec{B A} - \vec{B C} + \vec{C D} - \vec{C A}$

= $(\vec{B A} - \vec{B C}) + (\vec{C D} - \vec{C A})$ (tính chất kết hợp)

= $\vec{C A} + \vec{A D}$ (quy tắc hiệu hai vecto)

= $\vec{C D}$ .

Vậy $\vec{B A} - \vec{B C} + \vec{C D} - \vec{C A}$ = $\vec{C D}$ .

c) $\vec{M N} - \vec{Q P} + \vec{R N} - \vec{P N} + \vec{Q R}$

= $\vec{Q R} - \vec{Q P} + \vec{R N} + \vec{M N} + (- \vec{P N})$ (tính chất giao hoán)

= $(\vec{Q R} - \vec{Q P}) + \vec{R N} + \vec{M N} + (- \vec{P N})$ (tính chất kết hợp)

= $\vec{P R} + \vec{R N} + \vec{M N} + \vec{N P}$ (quy tắc hiệu hai vecto và vecto đối)

= $(\vec{P R} + \vec{R N}) + (\vec{M N} + \vec{N P})$ (tính chất kết hợp)

= $\vec{P N} + \vec{M P}$ (quy tắc cộng hai vecto)

= $\vec{M P} + \vec{P N}$ (tính chất giao hoán)

= $\vec{M N}$ (quy tắc cộng hai vecto).

Vậy $\vec{M N} - \vec{Q P} + \vec{R N} - \vec{P N} + \vec{Q R}$ = $\vec{M N}$ .

Bài 2: Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng $\vec{A B} + \vec{C B}$ và $\vec{C O} + \vec{A D}$ .

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Hướng dẫn giải:

+ Vì ABCD là hình vuông nên AB // DC và AB = DC.

⇒ $\vec{A B} = \vec{D C}$

⇒ $\vec{A B} + \vec{C B} = \vec{D C} + \vec{C B}$

Áp dụng quy tắc cộng hai vecto ta có:

$\vec{D C} + \vec{C B} = \vec{D B}$

⇒ $\vec{A B} + \vec{C B} = \vec{D B}$

+ Vì A, O, C cùng nằm trên một đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông ABCD).

⇒ $\vec{C O} = \vec{O A}$

⇒ $\vec{C O} + \vec{A D} = \vec{O A} + \vec{A D}$

Áp dụng quy tắc công hai vecto ta có:

$\vec{O A} + \vec{A D} = \vec{O D}$

⇒ $\vec{C O} + \vec{A D} = \vec{O D}$ .

Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: $\vec{A B} + \vec{C D} = 2 \vec{M N}$ .

Hướng dẫn giải:

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Ta có:

$\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A B} + \vec{B N}$

$\vec{M N} = \vec{M C} + \vec{C D} + \vec{D N}$

Vì M, N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD

Suy ra:

$\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{0}$

$\vec{B N} + \vec{D N} = \vec{0}$

⇒ $2 \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{M C} + \vec{C D} + \vec{D N}$

$= (\vec{M A} + \vec{M C}) + \vec{A B} + \vec{C D} + (\vec{B N} + \vec{D N})$

= $\vec{0} + \vec{A B} + \vec{C D} + \vec{0}$

= $\vec{A B} + \vec{C D}$ (đpcm).

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Có đường cao AH, G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính độ dài vecto $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}$ .

Hướng dẫn giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta áp dụng quy tắc trọng tâm có:

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

⇒ | $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}$ | = | $\vec{0}$ | = 0

Vậy độ dài vecto $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}$ là 0.

Học tốt Tổng và hiệu của hai vectơ

Các bài học để học tốt Tổng và hiệu của hai vectơ Toán lớp 10 hay khác:

Giải sgk Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯

Lý thuyết Toán 10 Cánh diều

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Tổng và hiệu của hai vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ

Học tốt Tổng và hiệu của hai vectơ

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: