X

Lý thuyết Toán 10 Cánh diều

Tọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Tọa độ của vectơ

I. Tọa độ của một điểm

Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau (Hình 3):

Tọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a ; b).

Ví dụ: Xác định tọa độ của điểm B trong hình vẽ sau:

Tọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

+ Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm ứng với số –3. Số –3 là hoành độ của điểm B.

+ Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm ứng với số 3. Số 3 là tung độ của điểm M.

Khi đó, cặp số (–3; 3) là tọa độ của điểm B.

Vậy điểm B có tọa độ là B(–3; 3).

II. Tọa độ của một vectơ

Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vectơ OM.

Nếu OM có tọa độ (a; b) thì ta viết OM = (a; b) hay OM (a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ OM và b gọi là tung độ của vectơ OM (Hình 4).

Tọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

+ OM = (a; b) ⇔ M(a ; b).

+ Vectơ i có điểm gốc là O và có tọa độ (1; 0) gọi là vectơ đơn vị trên trục Ox.

Vectơ j có điểm gốc là O và có tọa độ (0; 1) gọi là vectơ đơn vị trên trục Oy (Hình 4).

Tọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Ví dụ: Tìm tọa độ của vec tơ OM, ON trong hình sau:

Tọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

Ta thấy điểm M có tọa độ là (–2 ; 4)

Suy ra OM = (–2 ; 4).

Điểm N có tọa độ là (2 ; –1)

Suy ra ON = (2 ; –1).

Vậy OM = (–2 ; 4) và ON = (2 ; –1).

Nhận xét:

– Với mỗi vectơ u, ta xác định được duy nhất một điểm A sao cho OA = u.

– Với mỗi vectơ u trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ u là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho OA = u.

– Nếu u có tọa độ (a; b) thì ta viết u = (a; b) hay u(a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ u và b gọi là tung độ của vectơ u.

Ví dụ: Tìm tọa độ của vec tơ u trong hình vẽ sau:

Tọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

Tọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Ta xác định vec tơ u = OA như hình sau:

Ta thấy điểm A(2 ; 2) nên OA = (2 ; 2).

Suy ra u = (2 ; 2).

Vậy u = (2 ; 2).

Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu u = (a ; b) thì u = ai + bj. Ngược lại, nếu u = ai + bj thì u = (a ; b).

Chú ý: Với a = (x1 ; y1) và b = (x2 ; y2), ta có a = bTọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 3) và vectơ u = (1; – 3).

a) Biểu diễn vectơ u qua hai vectơ ij.

b) Biểu diễn vectơ OM qua hai vectơ ij.

Hướng dẫn giải

a) Vì vectơ u = (1; – 3) nên u = 1i + (– 3)j = i – 3j

Vậy u = i – 3j.

b) Vì điểm M có tọa độ là (2 ; 3) nên OM = (2 ; 3).

Do đó: OM = 2i + 3j.

Vậy OM = 2i + 3j.

III. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vec tơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB).

Ta có AB = (xB – xA ; yB – yA).

Ví dụ: Cho hai điểm A(2; –4) và B(1; 5). Hãy tìm tọa độ của vectơ AB.

Hướng dẫn giải

Ta có AB = (1 – 2; 5 – (–4)) = (–1 ; 9).

Vậy AB = (–1 ; 9).

Bài tập Tọa độ của vectơ

Bài 1: Tìm tọa độ của các vec tơ sau:

a) a = 2i + j;

b) b = –j;

c) c = 2i – 1,5j.

Hướng dẫn giải

a) Ta có a = 2i + j = 2i + 1j

Suy ra a = (2 ; 1).

Vậy a = (2 ; 1).

b) Ta có b = –j = 0i + (–1)j

Suy ra b = (0 ; –1).

Vậy b = (0 ; –1).

c) Ta có c = 2i – 1,5j = 2i + (– 1,5)j.

Suy ra c = (2; – 1,5).

Vậy c = (2; – 1,5).

Bài 2: Tìm số thực m và n sao cho hai vec tơ a = (m; –4) và b = (–1; 3m + n) bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Ta có a = bTọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Vậy để a = b thì m = –1 và n = –1.

Bài 3: Cho 3 điểm A(0; 2), B(–1; 3), C(2; 5). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm D có tọa độ là (xD ; yD)

Ta có AB = (–1 – 0 ; 3 – 2) = (–1 ; 1)

DC = (2 – xD ; 5 – yD).

Để ABCD là hình bình hành thì AB = DC.

AB = DCTọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Suy ra điểm D có tọa độ là (3 ; 4).

Vậy để ABCD là hình bình hành thì D(3 ; 4).

Học tốt Tọa độ của vectơ

Các bài học để học tốt Tọa độ của vectơ Toán lớp 10 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: