Tọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều
Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.
Tọa độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều
Lý thuyết Tọa độ của vectơ
I. Tọa độ của một điểm
Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau (Hình 3):
+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.
+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.
Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a ; b).
Ví dụ: Xác định tọa độ của điểm B trong hình vẽ sau:
Hướng dẫn giải
+ Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm ứng với số –3. Số –3 là hoành độ của điểm B.
+ Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm ứng với số 3. Số 3 là tung độ của điểm M.
Khi đó, cặp số (–3; 3) là tọa độ của điểm B.
Vậy điểm B có tọa độ là B(–3; 3).
II. Tọa độ của một vectơ
Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vectơ .
Nếu có tọa độ (a; b) thì ta viết = (a; b) hay (a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ và b gọi là tung độ của vectơ (Hình 4).
Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:
+ = (a; b) ⇔ M(a ; b).
+ Vectơ có điểm gốc là O và có tọa độ (1; 0) gọi là vectơ đơn vị trên trục Ox.
Vectơ có điểm gốc là O và có tọa độ (0; 1) gọi là vectơ đơn vị trên trục Oy (Hình 4).
Ví dụ: Tìm tọa độ của vec tơ , trong hình sau:
Hướng dẫn giải
Ta thấy điểm M có tọa độ là (–2 ; 4)
Suy ra = (–2 ; 4).
Điểm N có tọa độ là (2 ; –1)
Suy ra = (2 ; –1).
Vậy = (–2 ; 4) và = (2 ; –1).
Nhận xét:
– Với mỗi vectơ , ta xác định được duy nhất một điểm A sao cho = .
– Với mỗi vectơ trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho = .
– Nếu có tọa độ (a; b) thì ta viết = (a; b) hay (a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ và b gọi là tung độ của vectơ .
Ví dụ: Tìm tọa độ của vec tơ trong hình vẽ sau:
Hướng dẫn giải
Ta xác định vec tơ = như hình sau:
Ta thấy điểm A(2 ; 2) nên = (2 ; 2).
Suy ra = (2 ; 2).
Vậy = (2 ; 2).
Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu = (a ; b) thì = a + b. Ngược lại, nếu = a + b thì = (a ; b).
Chú ý: Với = (x1 ; y1) và = (x2 ; y2), ta có = ⇔
Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 3) và vectơ = (1; – 3).
a) Biểu diễn vectơ qua hai vectơ và .
b) Biểu diễn vectơ qua hai vectơ và .
Hướng dẫn giải
a) Vì vectơ = (1; – 3) nên = 1 + (– 3) = – 3
Vậy = – 3.
b) Vì điểm M có tọa độ là (2 ; 3) nên = (2 ; 3).
Do đó: = 2 + 3.
Vậy = 2 + 3.
III. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vec tơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB).
Ta có = (xB – xA ; yB – yA).
Ví dụ: Cho hai điểm A(2; –4) và B(1; 5). Hãy tìm tọa độ của vectơ .
Hướng dẫn giải
Ta có = (1 – 2; 5 – (–4)) = (–1 ; 9).
Vậy = (–1 ; 9).
Bài tập Tọa độ của vectơ
Bài 1: Tìm tọa độ của các vec tơ sau:
a) = 2 + ;
b) = –;
c) = – 1,5.
Hướng dẫn giải
a) Ta có = 2 + = 2 + 1
Suy ra = (2 ; 1).
Vậy = (2 ; 1).
b) Ta có = – = 0 + (–1)
Suy ra = (0 ; –1).
Vậy = (0 ; –1).
c) Ta có = – 1,5 = + (– 1,5).
Suy ra = (; – 1,5).
Vậy = (; – 1,5).
Bài 2: Tìm số thực m và n sao cho hai vec tơ = (m; –4) và = (–1; 3m + n) bằng nhau.
Hướng dẫn giải
Ta có = ⇔
Vậy để = thì m = –1 và n = –1.
Bài 3: Cho 3 điểm A(0; 2), B(–1; 3), C(2; 5). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Giả sử điểm D có tọa độ là (xD ; yD)
Ta có = (–1 – 0 ; 3 – 2) = (–1 ; 1)
= (2 – xD ; 5 – yD).
Để ABCD là hình bình hành thì = .
= ⇔
Suy ra điểm D có tọa độ là (3 ; 4).
Vậy để ABCD là hình bình hành thì D(3 ; 4).
Học tốt Tọa độ của vectơ
Các bài học để học tốt Tọa độ của vectơ Toán lớp 10 hay khác: