Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 6 Cánh diều

a) Tìm tứ phân vị của mẫu trên.

b) Từ kết quả câu a) bước đầu xác định những giá trị bất thường của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

a) Ta sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần như sau:

97	100	112	113	115
115	116	117	118	120
122	122	123	125	145

Mẫu trên có 15 số liệu.

Trung vị của mẫu số liệu trên là Q₂ = 117.

Trung vị nửa phía dưới 97, 100, 112, 113, 115, 115, 116 là Q₁ = 113.

Trung vị nửa phía trên 118, 120, 122, 122, 123, 125, 145 là Q₃ = 122.

Vậy tứ phân vị của mẫu là Q₁ = 113; Q₂ = 117; Q₃ = 122.

b) Dựa vào trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu, bước đầu ta thấy những số liệu bất thường trong mẫu là 97 và 145.

9. Khoảng biến thiên. Khoảng tứ phân vị

a. Định nghĩa

- Trong một mẫu số liệu, khoảng biến thiên là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó.

Ta có thể tính khoảng biến thiên R của mẫu số liệu theo công thức sau: R = x_max – x_min, trong đó x_max là giá trị lớn nhất, x_min là giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó.

- Giả sử Q₁, Q₂, Q₃ là tứ phân vị của mẫu số liệu. Ta gọi hiệu ∆_Q = Q₃ – Q₁ là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

Chú ý: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu còn gọi là khoảng trải giữa (tiếng Anh là InterQuartile Range – IQR) của mẫu số liệu đó.

Ví dụ: Mẫu số liệu thống kê cân nặng (đơn vị: kg) của 8 học sinh trong một tổ như sau:

45 52 41 37 50 52 66 49

a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.

b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

a) Trong mẫu có số liệu lớn nhất là 66, số liệu nhỏ nhất là 37.

Khi đó, khoảng biến thiên của mẫu là R = x_max­ – x_min = 66 – 37 = 29 (kg).

Vậy khoảng biến thiên của mẫu là R = 29 kg.

b) Sắp xếp mẫu theo thứ tự tăng dần, ta được:

37 41 45 49 50 52 52 66

Khi đó, trung vị của mẫu là: Q₂ = $\frac{49+50}{2}=49,5$.

Q₁ là trung vị của mẫu 37, 41, 45, 49 nên Q₁ = $\frac{41+45}{2}=43$.

Q₃ là trung vị của mẫu 50, 52, 52, 66 nên Q₃ = $\frac{52+52}{2}=52$.

Khi đó, ta có khoảng tứ phân vị là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 52 – 43 = 9 (kg).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu là ∆_Q = 9 kg.

b. Ý nghĩa

- Ý nghĩa của khoảng biến thiên: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu phản ánh sự “dao động”, “sự dàn trải” của các số liệu trong mẫu đó. Khoảng biến thiên được sử dụng trong nhiều tình huống thực tiễn, chẳng hạn: tìm ra sự phân tán điểm kiểm tra của một lớp học hay xác định phạm vi giá cả của một dịch vụ …

Theo cách nhìn như ở trong vật lí, ở đó biên độ dao động phản ánh khoảng cách từ điểm cân bằng đến điểm xa nhất của dao động, nếu coi số trung bình cộng là “điểm cân bằng” của mẫu số liệu thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu có thể xem như hai lần biên độ dao động của các số liệu trong mẫu đó quanh điểm cân bằng.

Trong các đại lượng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu, khoảng biến thiên là đại lượng dễ hiểu, dễ tính toán và tương đối tốt đối với các mẫu số liệu nhỏ. Tuy nhiên, do khoảng biến thiên chỉ sử dụng hai giá trị x_max và x_min của mẫu số liệu nên đại lượng đó chưa diễn giải đầy đủ sự phân tán của số liệu trong mẫu. Ngoài ra, giá trị của khoảng biến thiên sẽ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường của mẫu số liệu đó. Trong những trường hợp như vậy, khoảng biến thiên của mẫu số liệu không phản ánh chính xác độ dàn trải của mẫu số liệu.

- Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị là đại lượng cho biết mức độ phân tán của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp và có thể giúp xác định các giá trị bất thường của mẫu số liệu đó. Khoảng tứ phân vị thường được sử dụng thay cho khoảng biến thiên vì nó loại trừ hầu hết giá trị bất thường của mấu số liệu.

10. Phương sai

a. Định nghĩa

- Mỗi hiệu số giữa số liệu và số trung bình cộng gọi là độ lệch của số liệu đó đối với số trung bình cộng.

- Cho mẫu số liệu thống kê có n giá trị x₁, x₂, …, x_n và số trung bình cộng là $\overline{x}$.

Ta gọi số $s^2=\frac{{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2}{n}$ là phương sai của mẫu số liệu trên.

Nhận xét:

- Khi có các số liệu bằng nhau, ta có thể tính phương sai theo công thức sau:

+ Đối với bảng tần số:

Phương sai của mẫu số liệu thống kê trong bảng phân bố tần số là:

$s^2=\frac{n_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+n_2{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+n_k{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2}{n}$

trong đó n = n₁ + n₂ + …+ n_k ; $\overline{x}$ là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.

+ Đối với bảng phân bố tần số tương đối:

Phương sai của mẫu số liệu thống kê trong bảng phân bố tần số tương đối là:

$s^2=f_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+f_2{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+f_k{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2$

trong đó $\overline{x}$ là số trung bình cộng của số liệu đã cho.

- Trong thực tế, người ta còn dùng công thức sau để tính phương sai của mẫu số liệu:

${\hat{s}}^2=\frac{{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+...+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2}{n-1}$

trong đó: x_i là giá trị của quan sát thứ i; $\overline{x}$ là giá trị trung bình và n là số quan sát trong mẫu số liệu đó.

Ví dụ: Hai lớp 10A và 10B của một trường THPT đồng thời làm bài thi môn Toán theo cùng một đề thi. Kết quả được ghi lại trong bảng tần số sau:

Điểm thi của lớp 10A:

Điểm thi của lớp 10B:

a) Tính phương sai của từng mẫu số liệu ở hai bảng trên.

b) Xét xem kết quả bài thi của lớp nào đồng đều hơn.

Hướng dẫn giải

Ta có điểm thi trung bình của lớp 10A là:

$\overline{x_{10A}}=\frac{3.5+7.6+12.7+14.8+3.9+1.10}{3+7+12+14+3+1}=7,25$

Điểm thi trung bình của lớp 10A là:

$\overline{x_{10B}}=\frac{8.6+18.7+10.8+4.9}{8+18+10+4}=7,25$

Ta có phương sai của mẫu số liệu lớp 10A là:

$s_{10A}^2=\frac{3{\left(5-7,25\right)}^2+7{\left(6-7,25\right)}^2+...+1{(10-7,25)}^2}{3+7+12+14+3+1}=1,2875$

⇒$s_{10A}^2$ = 1,2875

Ta có phương sai của mẫu số liệu lớp 10B là:

$s_{10B}^2=\frac{8{\left(6-7,25\right)}^2+18{\left(7-7,25\right)}^2+10{(8-7,25)}^2+4{(9-7,25)}^2}{8+18+10+4}=0,7875$

⇒ $s_{10B}^2$ = 0,7875.

Ta thấy điểm thi trung bình của lớp 10A và 10B bằng nhau đều bằng 7,25. Nhưng phương sai bảng điểm của lớp 10A lại lớn hơn phương sai bảng điểm lớp 10B nên kết quả làm bài thi của lớp 10B đồng đều hơn lớp 10A.

b. Ý nghĩa

Phương sai là số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Mẫu số liệu nào có phương sai nhỏ hơn thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn.

11. Độ lệch chuẩn

a. Định nghĩa

Căn bậc hai (số học) của phương sai gọi là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê.

Nhận xét: Vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với số liệu thống kê nên khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta sử dụng độ lệch chuẩn mà không sử dụng phương sai.

Ví dụ: Cho mẫu số liệu:

23 22 20 12 35

Tính độ lệch chuẩn của mẫu trên.

Hướng dẫn giải

Mẫu trên có 5 số liệu.

Số trung bình của mẫu trên là: $\overline{x}=\frac{23+22+20+12+35}{5}=22,4$.

Phương sai của mẫu số liệu đó là:

$s^2=\frac{{\left(23-22,4\right)}^2+{\left(22-22,4\right)}^2+{\left(20-22,4\right)}^2+{\left(12-22,4\right)}^2+{\left(35-22,4\right)}^2}{5}=54,64$

⇒ s = $\sqrt{s^2}=\sqrt{54,64}$ ≈ 7,39.

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu là 7,39.

b. Ý nghĩa

Cũng như phương sai, khi hai mấu số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng bằng nhau (hoặc xấp xỉ nhau), mẫu số liệu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn. Độ lệch chuẩn là số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu thống kê có cùng đơn vị đo.

12. Tính hợp lí của số liệu thống kê

Ta có thể sử dụng các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm để chỉ ra được những số liệu bất thường của mẫu số liệu đó. Ta thường sử dụng khoảng tứ phân vị để xác định số liệu bất thường của mẫu số liệu. Cụ thể như sau:

Giả sử Q₁, Q₂, Q₃ là tứ phân vị của mẫu số liệu và hiệu ∆_Q = Q₃ – Q₁ là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó. Một giá trị trong mẫu số liệu được coi là một giá trị bất thường nếu nó nhỏ hơn $Q_1-\frac{3}{2}.{∆}_Q$ hoặc lớn hơn $Q_3+\frac{3}{2}.{∆}_Q$. Như vậy, khoảng tứ phân vị cho ta cách nhận biết giá trị bất thường của mẫu số liệu.

Chú ý: Ta cũng có thể xác định số liệu bất thường của mẫu số liệu bằng số trung bình cộng và độ lệch chuẩn. Cụ thể như sau:

Giả sử $\overline{x}$, s lần lượt là số trung bình cộng và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu. Một giá trị trong mẫu số liệu cũng được coi là một giá trị bất thường nếu nó nhỏ hơn $\overline{x}$– 3s hoặc lớn hơn $\overline{x}$ + 3s. Như vậy, số trung bình cộng và độ lệch chuẩn cho ta cách nhận ra giá trị bất thường của mẫu số liệu.

Ví dụ: Hãy tìm các giá trị bất thường của mẫu số liệu sau:

12 4 10 –5 6 7 9 30

Hướng dẫn giải

Mẫu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là:

–5 4 6 7 9 10 12 30

Mẫu có 8 số liệu

Trung vị của mẫu là:$\frac{7+9}{2}$ = 8. Suy ra Q₂ = 8.

Trung vị nửa dưới –5, 4, 6, 7 là $\frac{4+6}{2}$ = 5. Suy ra Q₁ = 5.

Trung vị nửa trên 9, 10, 12, 30 là $\frac{10+12}{2}$ = 11. Suy ra Q₃ = 11.

Khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 11 – 5 = 6.

Ta có: $Q_1-\frac{3}{2}.{∆}_Q=5-\frac{3}{2}.6=-4$; $Q_3+\frac{3}{2}.{∆}_Q=11+\frac{3}{2}.6=20$.

Ta thấy –5 < –4 và 30 > 20 nên các giá trị –5 và 30 là các giá trị bất thường của mẫu.

Vậy mẫu có hai giá trị bất thường là –5 và 30.

13. Xác suất của biến cố trong trò chơi tung đồng xu

- Trong trò chơi tung đồng xu, ta quy ước đồng xu là cân đối và đồng chất.

Nhận xét:

Khi tung một đồng xu hai lần liên tiếp:

+ Tập hợp Ω các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của đồng xu sau hai lần tung là Ω = {SS; SN; NS; NN}, trong đó, chẳng hạn SN là kết quả “Lần thứ nhất đồng xu xuất hiện mặt sấp, lần thứ hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.

+ Tập hợp Ω gọi là không gian mẫu trong trò chơi tung một đồng xu hai lần liên tiếp.

- Trong trò chơi tung một đồng xu hai lần liên tiếp, đối với mỗi biến cố A ta có định nghĩa cổ điển của xác suất như sau:

Xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A), là tỉ số giữa số các kết quả thuận lợi cho biến cố A và số phần tử của không gian mẫu Ω:

P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$

ở đó n(A), n(Ω) lần lượt là số phần tử của hai tập hợp A và Ω.

Ví dụ: Tung một đồng xu hai lần liên tiếp.

a) Viết tập hợp Ω là không gian mẫu của trò chơi trên.

b) Xét biến cố A: “Có một lần đồng xu xuất hiện mặt sấp”. Tính xác suất của biến cố A.

Hướng dẫn giải

a) Không gian mẫu của trò chơi trên là: Ω = {SS; SN; NS; NN}.

Vậy không gian mẫu là Ω = {SS; SN; NS; NN}.

b) Từ Ω = {SS; SN; NS; NN} ⇒ n(Ω) = 4.

Có hai kết quả thuận lợi cho biến cố A là SN, NS, tức là A = {SN; NS} ⇒ n(A) = 2.

⇒ Xác suất của biến cố A là P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$.

Vậy xác suất của biến cố A bằng $\frac{1}{2}$.

14. Xác suất của biến cố trong trò chơi gieo xúc xắc

- Trong trò chơi gieo xúc xắc, ta quy ước xúc xắc là cân đối và đồng chất.

Nhận xét: Khi gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp, có 36 kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của xúc xắc sau hai lần gieo, đó là:

(1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)

(2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)

(3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)

(4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)

(5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)

(6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)

+ Tập hợp Ω các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của xúc xắc sau hai lần gieo là Ω = {(i; j)| i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, trong đó (i; j) là kết quả “Lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm”.

+ Tập hợp Ω gọi là không gian mẫu trong trò chơi gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp.

- Trong trò chơi gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp, đối với mỗi biến cố C ta có định nghĩa cổ điển của xác suất như sau:

Xác suất của biến cố C, kí hiệu P(C), là tỉ số giữa số các kết quả thuận lợi cho biến cố C và số phần tử của không gian mẫu Ω:

P(C) = $\frac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega \right)}$

ở đó n(C), n(Ω) lần lượt là số phần tử của hai tập hợp C và Ω.

Ví dụ: Gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp.

a) Viết tập hợp Ω là không gian mẫu của trò chơi trên.

b) Xét biến cố C: “Hai lần gieo xuất hiện ít nhất một mặt là số chẵn”. Tính xác suất của biến cố C.

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu của trò chơi gieo một con xúc xắc hai lần là: Ω = {(i; j)| i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, trong đó (i; j) là kết quả “Lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm”.

Vậy ta có không gian mẫu của trò chơi gieo một con xúc xắc hai lần là:

Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4; 6); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6); (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)}.

b) Từ Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4; 6); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6); (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)}.

⇒ n(Ω) = 36.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố C là: (1; 2); (1; 4); (1; 6); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6);(3; 2); (3; 4); (3; 6);(4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4; 6);(5; 2); (5; 4); (5; 6); (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6).

⇒ C = {(1; 2); (1; 4); (1; 6); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6);(3; 2); (3; 4); (3; 6);(4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4; 6);(5; 2); (5; 4); (5; 6); (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)}.

⇒ n(C) = 27.

⇒ P(C) = $\frac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{27}{36}$= $\frac{3}{4}$.

Vậy xác suất của biến cố C là $\frac{3}{4}$.

15. Một số khái niệm về xác suất

a. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Có những phép thử mà ta không thể đoán được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể của phép thử đó. Những phép thử như thế gọi là phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử).

Tập hợp Ω các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử đó.

Ví dụ: Viết không gian mẫu của phép thử tung một đồng xu ba lần.

Hướng dẫn giải

Khi tung một đồng xu thì có hai kết quả có thể là đồng xu xuất hiện mặt sấp (S) hoặc đồng xu xuất hiện mặt ngửa (N).

Khi đó, tung ba đồng xu thì có các kết quả có thể là: SSS; SSN; SNN; SNS; NSS; NSN; NNS; NNN.

Suy ra không gian mẫu của phép thử là Ω = {SSS; SSN; SNN; SNS; NSS; NSN; NNS; NNN}.

Vậy không gian mẫu của phép thử tung đồng xu ba lần là: Ω = {SSS; SSN; SNN; SNS; NSS; NSN; NNS; NNN}.

b. Biến cố

* Định nghĩa

Nhận xét:

- Mỗi sự kiện liên quan đến phép thử T tương ứng với một (và chỉ một) tập con A của không gian mẫu Ω.

- Ngược lại, mỗi tập con A của không gian mẫu Ω có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện liên quan đến phép thử T.

Định nghĩa:

Biến cố ngẫu nhiên (gọi tắt là biến cố) là một tập con của không gian mẫu.

Chú ý: Vì sự kiện chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của một biến cố nên ta cũng gọi sự kiện là biến cố. Chẳng hạn “Kết quả của hai lần tung là giống nhau” trong phép thử “Tung một đồng xu hai lần liên tiếp” là một biến cố.

Ví dụ: Với phép thử tung đồng xu ba lần liên tiếp. Biến cố A: “Có ít nhất hai lần xuất hiện mặt sấp” là tập con nào của không gian mẫu.

Hướng dẫn giải

Phép thử tung đồng xu ba lần có không gian mẫu là: Ω = {SSS; SSN; SNN; SNS; NSS; NSN; NNS; NNN}.

Khi đó, biến cố A tương ứng với tập con {SSS; SSN; SNS; NSS}.

Vậy A = {SSS; SSN; SNS; NSS}.

* Biến cố không. Biến cố chắc chắn

Xét phép thử T với không gian mẫu Ω. Mỗi biến cố là một tập con của tập Ω. Vì thế, tập hợp ∅ cũng là một biến cố, gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập hợp Ω gọi là biến cố chắc chắn.

Ví dụ: Khi gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp. Biến cố A: “Tổng số chấm của hai lần gieo bằng 1” là biến cố không. Biến cố B: “Tổng số chấm hai lần gieo nhỏ hơn 13” là biến cố chắc chắn.

* Biến cố đối

Tập con Ω\A xác định một biến cố, gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là $\overline{A}$.

Chú ý: Nếu biến cố A được mô tả dưới dạng mệnh đề toán học Q thì biến cố đối $\overline{A}$được mô tả bằng mệnh đề phủ định của mệnh đề Q (tức là mệnh đề $\overline{Q}$).

Ví dụ: Xét phép thử “Tung một đồng xu”. Hãy xác định biến cố đối của biến cố A: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.

Hướng dẫn giải

Khi tung một đồng xu thì sẽ xuất hiện mặt sấp (S) hoặc mặt ngửa (N).

Khi đó biến cố đối của biến cố A: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” là $\overline{A}$: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”.

Vậy biến cố đối của biến cố A là $\overline{A}$: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”.

c. Xác suất của biến cố

Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), bằng tỉ số $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$, ở đó n(A), n(Ω) lần lượt là số phần tử của hai tập hợp A và Ω. Như vậy P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$.

Ví dụ: Với phép thử tung đồng xu ba lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố A: “Có ít nhất hai lần xuất hiện mặt sấp”.

Hướng dẫn giải

Phép thử tung đồng xu ba lần có không gian mẫu là: Ω = {SSS; SSN; SNN; SNS; NSS; NSN; NNS; NNN}.

⇒ n(Ω) = 8.

Khi đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: SSS; SSN; SNS; NSS.

⇒ A = {SSS; SSN; SNS; NSS}.

⇒ n(A) = 4.

⇒P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$= $\frac{4}{8}$= $\frac{1}{2}$.

Vậy xác suất của biến cố A: “Có ít nhất hai lần xuất hiện mặt sấp” là $\frac{1}{2}$.

16. Tính chất của xác suất

Xét phép thử T với không gian mẫu là Ω. Khi đó, ta có các tính chất sau:

+) P(∅) = 0; P(Ω) = 1;

+) 0 ≤ P(A) ≤ 1 với mỗi biến cố A;

+) $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$với mỗi biến cố A.

Ví dụ: Trong túi có 3 quả bóng màu xanh và 2 quả bóng màu vàng, các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy đồng thời ngẫu nhiên 2 quả bóng.

Tính xác suất cuả các biến cố:

A: “Hai quả bóng lấy ra không phải màu xanh và màu vàng”.

B: “Hai quả bóng lấy ra là màu xanh hoặc màu vàng”.

C: “Hai quả bóng lấy ra khác màu”.

Hướng dẫn giải

Do trong túi chỉ có hai loại bóng màu xanh và màu vàng nên khi lấy ngẫu nhiên hai quả bóng trong túi thì hai quả bóng lấy ra phải là bóng màu xanh hoặc màu vàng.

Do đó biến cố A: “Hai quả bóng lấy ra không phải màu xanh và màu vàng” là biến cố không thể, tức là A = ∅.

Suy ra P(A) = P(∅) = 0.

Biến cố B: “Hai quả bóng lấy ra là màu xanh hoặc màu vàng” luôn luôn xảy ra.

⇒ B = Ω

⇒ P(B) = P(Ω) = 1.

Ta có 3 quả bóng màu xanh, 2 quả bóng màu vàng, nên trong túi có 3 + 2 = 5 quả bóng.

Khi lấy ngẫu nhiên ra 2 trong 5 quả bóng, ta có $C_5^2=10$(cách).

Suy ra không gian mẫu Ω có 10 phần tử.

⇒ n(Ω) = 10.

Xét biến cố C: “Hai quả bóng lấy ra khác màu”.

Ta có biến cố đối của C là $\overline{C}$: “Hai quả bóng lấy ra cùng màu”.

Suy ra hai quả bóng lấy ra cùng là màu xanh hoặc cùng là màu vàng.

+ Hai quả bóng lấy ra cùng là màu xanh, tức là lấy được 2 trong 3 quả bóng màu xanh, có $C_3^2$=3 (cách).

+ Hai quả bóng lấy ra cùng là màu vàng, tức là lấy được 2 trong 2 quả bóng màu vàng, có $C_2^2=1$ (cách).

Suy ra số cách lấy được hai quả bóng cùng màu là: 3 + 1 = 4 (cách)

⇒$n\left(\overline{C}\right)=4$.

⇒$P\left(\overline{C}\right)$= $\frac{n\left(\overline{C}\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.

Mặt khác $P\left(\overline{C}\right)=1-P\left(C\right)$

⇒ P(C) = 1 – $P\left(\overline{C}\right)$ = 1 – $\frac{2}{5}$ = $\frac{3}{5}$.

Vậy xác xuất của biến cố C là $\frac{3}{5}$.

17. Nguyên lí xác suất bé

- Nếu một biến cố ngẫu nhiên có xác suất rất bé thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

- Một xác suất như thế nào được xem là bé phải tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.

Ví dụ:

- Mỗi chuyến bay đều có một xác suất rất bé bị xảy ra tai nạn. Nhưng thực tế, tai nạn của một chuyến bay gần như sẽ không xảy ra.

- Xác suất để dù không mở là 0,01(dùng cho nhảy dù) thì không thể coi là bé và không thể dùng loại dù đó. Xác suất để tàu về ga chậm là 0,01 thì có thể xem là tàu về ga đúng giờ.

Bài tập tổng hợp Toán 10 Chương 6

Bài 1: Hãy quy tròn số – 2,17842 đến hàng phần nghìn. Số gần đúng nhận được có độ chính xác là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Số quy tròn của số –2,17842 đến hàng phần nghìn là –2,178.

Ta có |–2,17842 – (–2,178)| = 0,00042 < 0,0005.

Vì vậy, độ chính xác d = 0,0005.

Vậy số quy tròn của số –2,17842 đến hàng phần nghìn là –2,178 và độ chính xác d = 0,0005.

Bài 2: Hãy viết số quy tròn của mỗi số gần đúng sau với độ chính xác d sau đó ước lượng sai số tương đối của số gần đúng đó.

a) a = 32 564 với d = 20;

b) a = 0,7612309 với d = 0,001.

Hướng dẫn giải

a) Vì độ chính xác d = 20 thỏa mãn 10 < d = 20 < 100 nên hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng trăm.

Vì vậy, ta quy tròn số a = 32 564 đến hàng trăm.

Quy tròn số a = 32 564 đến hàng trăm ta được số quy tròn là 32 600.

Do đó sai số tương đối là: δ_a ≤ $\frac{d}{\left|a\right|}$= $\frac{20}{32564}\approx 0,06\%$.

Suy ra, sai số tương đối không vượt quá 0,06%.

Vậy số quy tròn của số gần đúng a = 32 564 với độ chính xác d = 20 là 32 600 và sai số tương đối không vượt quá 0,06%.

b) Vì độ chính xác d = 0,001 thỏa mãn d = 0,001 < 0,01 nên hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần trăm.

Vì vậy, ta quy tròn số 0,7612309 đến hàng phần trăm.

Quy tròn số a = 0,7612309 đến hàng phần trăm ta được số quy tròn là 0,76.

Do đó sai số tương đối là: δ_a ≤ $\frac{d}{\left|a\right|}$= $\frac{0,001}{0,7612309}\approx 0,13\%$.

Suy ra, sai số tương đối không vượt quá 0,13%.

Vậy số quy tròn của số gần đúng a = 0,7612309 với độ chính xác d = 0,001 là 0,76 và sai số tương đối không vượt quá 0,13%.

Bài 3: Sử dụng máy tính cầm tay, tính và làm tròn kết quả của phép tính $\sqrt{15}:3-1$ (trong kết quả lấy ba chữ số ở phần thập phân).

Hướng dẫn giải

Để thực hiện phép tính $\sqrt{15}:3-1$ ra kết quả có ba chữ số ở phần thập phân, ta làm như sau :

Ta ấn liên tiếp

Tiếp tục ấn lần lượt phím thì màn hình hiện ra Fix 0 ~ 9?

Ấn tiếp ta thấy kết quả hiện ra là 0.291

Vậy kết quả làm tròn của $\sqrt{15}:3-1$ là 0,291.

Bài 4: Một trường THPT A có 5 lớp 10. Trong đợt tham gia trồng cây hưởng ứng ngày Tết trồng cây các lớp của khối 10 trồng được số cây như trong bảng sau:

Lớp	10A1	10A2	10A3	10A4	10A5
Số cây trồng	5	3	3	4	5

Trung bình mỗi lớp của khối 10 trồng được bao nhiêu cây?

Hướng dẫn giải

Trung bình mỗi lớp của khối 10 trồng được số cây là:

$\overline{x}=\frac{5+3+3+4+5}{5}=4$.

Vậy trung bình mỗi lớp của khối 10 trồng được 4 cây.

Bài 5:Điểm số bài kiểm tra Toán của các bạn trong 2 tổ của lớp 10A được ghi lại trong bảng sau:

Tổ 1	8	7	8	8	7	9
Tổ 2	7	8	9	7	6	9

Tổ nào có kết quả tốt hơn? Tại sao?

Hướng dẫn giải

Ta có số bạn trong mỗi tổ 1 và 2 là 6 (người).

Điểm trung bình của tổ 1 là : $\overline{x_1}=\frac{8+7+8+8+7+9}{6}\approx 7,83$

Điểm trung bình của tổ 2 là : $\overline{x_2}=\frac{7+8+9+7+6+9}{6}\approx 7,67$

Vì $\overline{x_2}<\overline{x_1}$ nên điểm trung bình của tổ 2 nhỏ hơn của tổ 1.

Vậy tổ 1 có kết quả bài kiểm tra tốt hơn tổ 2.

Bài 6: Một cửa hàng thống kê số lượng một loại giày bán được trong 1 tháng trong bảng sau:

Size giày	35	36	37	38	39
Số giày bán được	12	50	31	32	22

a) Tìm mốt của mẫu số liệu trên?

b) Cửa hàng nên nhập nhiều hơn size giày nào để bán?

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy số giày bán được của size giày 36 là lớn nhất bằng 50 nên mốt của mẫu số liệu là M_o = 36.

Vậy mốt của mẫu số liệu là M_o = 36.

b) Vì M_o = 36 nên số lượng bán được của size 36 là lớn nhất.

Do đó, cửa hàng nên nhập nhiều số lượng giày size 36.

Vậy cửa hàng nên nhập nhiều số lượng giày size 36.

Bài 7: Cân nặng của 12 học sinh (đơn vị: kg) của một lớp 5 được cho trong bảng sau:

25	34	36	41	19	35
27	57	36	37	29	30

a) Xác định trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Từ kết quả của câu a), bước đầu xác định những số liệu bất thường trong mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

a) Ta sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần như sau:

19	25	27	29	30	34
35	36	36	37	41	51

Mẫu trên có 12 số liệu, là số chẵn

Trung vị của mẫu số liệu trên là Q₂ = $\frac{34+35}{2}$ = 34,5.

Trung vị nửa phía dưới 19, 25, 27, 29, 30, 34 là Q₁ = $\frac{27+29}{2}$ = 28.

Trung vị nửa phía trên 35, 36, 36, 37, 41, 51 là Q₃ = $\frac{36+37}{2}$ = 36,5.

Vậy tứ phân vị của mẫu là Q₁ = 28; Q₂ = 34,5; Q₃ = 36,5.

b) Dựa vào trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu, bước đầu ta thấy số liệu bất thường trong mẫu là 51.

Bài 8: Thời gian 5 lần chạy cự li 100 m (đơn vị: giây) của hai bạn Long và Nam được ghi lại trong bảng sau:

a) Tính thời gian chạy trung bình của mỗi bạn Long và Nam. Bạn nào có kết quả chạy tốt hơn.

b) Tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần chạy của mỗi bạn. Từ đó cho biết bạn nào có kết quả chạy ổn định hơn.

Hướng dẫn giải

a) Thời gian chạy trung bình của Long là: $\overline{x_L}=\frac{20+23+19+21+22}{5}=21$ (s).

Thời gian chạy trung bình của Nam là: $\overline{x_N}=\frac{18+21+20+22+22}{5}=20,6$ (s).

Do $\overline{x_L}>\overline{x_N}$ (21 > 20,6) nên kết quả chạy của Nam tốt hơn của Long.

Vậy thời gian chạy trung bình của Long là 21 giây, của Nam là 20,6 giây và kết quả chạy của Nam tốt hơn của Long.

b) Ta có phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần chạy của Long là:

$s_L^2=\frac{{\left(20-21\right)}^2+{\left(23-21\right)}^2+{\left(19-21\right)}^2+{\left(21-21\right)}^2+{\left(22-21\right)}^2}{5}=2$

⇒ s_L = $\sqrt{s_L^2}$ = $\sqrt{2}$ ≈ 1,41.

Phương sau của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần chạy của Nam là:

$s_N^2=\frac{{\left(18-20,6\right)}^2+{\left(21-20,6\right)}^2+{\left(20-20,6\right)}^2+{\left(22-20,6\right)}^2+{\left(22-20,6\right)}^2}{5}=2,24$.

⇒ s_N = $\sqrt{s_N^2}$ = $\sqrt{2,24}$ ≈ 1,5.

Ta thấy $s_L^2<s_N^2$ (2 < 2,24) nên bạn Long có kết quả chạy ổn định hơn bạn Nam.

Vậy phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần chạy của Long và Nam lần lượt là 2 và 2,24. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần chạy của Long và Nam lần lượt là 1,41 và 1,5. Bạn Long có kết quả chạy ổn định hơn bạn Nam.

Bài 9: Cho mẫu số liệu thống kê chiều cao của 13 cây xoan đào (đơn vị: mét) như sau:

2,4 3 2,5 4 0,9 5 4,3 4 3,7 3,9 4,4 7,3 1,7

a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.

b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

c) Tìm các giá trị bất thường của mẫu.

Hướng dẫn giải

a) Sắp xếp mẫu theo thứ tự tăng dần:

0,9 1,7 2,4 2,5 3 3,7 3,9 4 4 4,3 4,4 5 7,3

Mẫu có 13 số liệu, số liệu nhỏ nhất là 0,9; số liệu lớn nhất là 8.

Khi đó khoảng biến thiên của mẫu là R = 8 – 0,9 = 7,1 (m).

Vậy khoảng biến thiên của mẫu là 7,1 mét.

b) Trung vị của mẫu là 3,9; tức là Q₂ = 3,9.

Trung vị nửa dưới của mẫu 0,9; 1,7; 2,4; 2,5; 3; 3,7 là $\frac{2,4+2,5}{2}$ = 2,45. Suy ra Q₁ = 2,45 (m).

Trung vị nửa dưới của mẫu 4; 4; 4,3; 4,4; 5; 8 là $\frac{4,3+4,4}{2}$ = 4,35. Suy ra Q₃ = 4,35(m).

Khi đó khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 4,35 – 2,45 = 1,9 (m).

Vậy khoảng tứ phân vị là 1,9 m.

c) Ta có: $Q_1-\frac{3}{2}.{∆}_Q=2,45-\frac{3}{2}.1,9=-0,4$

$Q_3+\frac{3}{2}.{∆}_Q=4,35+\frac{3}{2}.1,9=7,2$.

Ta thấy 7,3 > 7,2 nên giá trị 7,3 là các giá trị bất thường của mẫu.

Vậy mẫu có giá trị bất thường là 7,3.

Bài 10: Tung một đồng xu hai lần liên tiếp.

a) Viết tập hợp Ω là không gian mẫu của trò chơi trên.

b) Xét biến cố A: “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”. Tính xác suất của biến cố A.

Hướng dẫn giải

a) Không gian mẫu của trò chơi trên là: Ω = {SS; SN; NS; NN}.

Vậy không gian mẫu là Ω = {SS; SN; NS; NN}.

b) Từ Ω = {SS; SN; NS; NN} ⇒ n(Ω) = 4.

Có ba kết quả thuận lợi cho biến cố A là SS; SN, NS, tức là A = {SS; SN; NS} ⇒ n(A) = 3.

⇒ Xác suất của biến cố A là P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{3}{4}$.

Vậy xác suất của biến cố A bằng $\frac{3}{4}$.

Bài 11: Gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp.

a) Viết tập hợp Ω là không gian mẫu của trò chơi trên.

b) Xét biến cố B: “Tổng số chấm của hai lần gieo nhỏ hơn 5”. Tính xác suất của biến cố B.

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu của trò chơi gieo một con xúc xắc hai lần là: Ω = {(i; j)| i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, trong đó (i; j) là kết quả “Lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm”.

Vậy ta có không gian mẫu của trò chơi gieo một con xúc xắc hai lần là:

Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4; 6); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6); (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)}.

b) Từ Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4; 6); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6); (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)}.

⇒ n(Ω) = 36.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: (1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (3; 1).

⇒ B = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (3; 1)}.

⇒ n(B) = 6.

⇒ P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{6}{36}$= $\frac{1}{6}$.

Vậy xác suất của biến cố B là $\frac{1}{6}$.

Bài 12: Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ một túi đựng 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh,các viên vi có kích thước và khối lượng giống nhau. Gọi A là biến cố: “Trong bốn viên bi đó có cả bi đỏ và cả bi xanh”. Tính P(A) và P($\overline{A}$).

Hướng dẫn giải

Có 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh thì có tất cả 5 + 6 = 11 viên bi.

Chọn 4 viên bi từ 11 viên bi, thì số cách là: $C_{11}^4$= 330 (cách).

⇒ n(Ω) = 330.

Xét biến cố A:“Trong bốn viên bi đó có cả bi đỏ và cả bi xanh”.

Khi đó, biến cố $\overline{A}$: “trong bốn viên bi chỉ có bi đỏ hoặc chỉ có bi xanh”.

- Nếu 4 viên bi đều là bi đỏ, thì ta chọn 4 trong 5 viên bi đỏ, ta có $C_5^4$= 5(cách).

- Nếu 4 viên bi đều là bi xanh, thì ta chọn 4 trong 6 viên bi xanh, ta có $C_6^4$= 15 (cách).

Khi đó, ta có 5 + 15 = 20 cách chọn bốn viên bi chỉ có bi đỏ hoặc chỉ có bi xanh.

⇒ n($\overline{A}$) = 20.

⇒ P($\overline{A}$) = $\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}$= $\frac{20}{330}$= $\frac{2}{33}$.

Mặt khác P($\overline{A}$) = 1 – P(A) ⇒ P(A) = 1 – P($\overline{A}$) = 1 – $\frac{2}{33}$= $\frac{31}{33}$.

Vậy P(A) = $\frac{31}{33}$và P($\overline{A}$) = $\frac{2}{33}$.

Bài 13: Một tổ trong lớp 10A có 5 bạn nữ và 4 bạn nam. Giáo viên chọn ngẫu nhiên hai bạn trong tổ đó tham gia đội làm báo tường của lớp. Tính xác suất để hai bạn được chọn có một bạn nam và một bạn nữ.

Hướng dẫn giải

Vì tổ có 5 bạn nữ và 4 bạn nam nên tổ đó có 5 + 4 = 9 (học sinh).

Chọn 2 trong 9 bạn học sinh của tổ đó, ta có $C_9^2$= 36(cách chọn).

Gọi A là biến cố “hai bạn được chọn có một bạn nam và một bạn nữ”.

+ Để chọn được 1 bạn nữ trong 5 bạn nữ, ta có $C_5^1$= 5 (cách chọn).

+ Để chọn được 1 bạn nam trong 4 bạn nam, ta có $C_4^1$= 4 (cách chọn).

Áp dụng quy tắc nhân ta có 5.4 = 20 cách chọn 1 bạn nữ và 1 bạn nam.

Suy ra n(A) = 20.

Khi đó $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$.

Vậy xác suất để hai bạn được chọn có một bạn nam và một bạn nữ là $\frac{5}{9}$.

Học tốt Toán 10 Chương 6

Các bài học để học tốt Chương 6 Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài tập cuối chương 6 trang 53, 54