X

Lý thuyết Toán 10 Cánh diều

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

1.1 Định nghĩa

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Với mỗi góc α (0≤α≤180°) ta xác định một điểm M (x0, y0) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM^ =α.Khi đó ta có định nghĩa:

+) sin của góc α, kí hiệu là sinα, được xác định bởi: sinα = y0;

+) côsin của góc α, kí hiệu là cosα, được xác định bởi: cosα = x0;

+) tang của góc α, kí hiệu là tanα, được xác định bởi: tanα = y0x0(x0 ≠ 0);

+) côtang của góc α, kí hiệu là cotα, được xác định bởi: cotα = x0y0(y0 ≠ 0).

Các số sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.

Chú ý:

tanα = sinαcosα(α ≠ 90°);

cotα = cosαsinα(0 < α < 180°).

sin(90° - α) = cosα (0° ≤ α ≤ 90°);

cos(90° - α) = sinα (0° ≤ α ≤ 90°);

tan(90° - α) = cotα (0° ≤ α ≤ 90°);

cot(90° - α) = tanα (0° ≤ α ≤ 90°).

1.2. Tính chất

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM^= α thì xON^= 180o – α. Với 0° ≤ α ≤ 180° thì:

sin(180° - α) = sinα,

cos(180° - α) = - cosα,

tan(180° - α) = - tanα (α ≠ 90°),

cot(180° - α) = - cotα (α ≠ 0°, α ≠ 180°).

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau:

A = cos0° + cos20° + cos 40° + ... + cos160° + cos180°.

Hướng dẫn giải:

A = cos0° + cos20° + cos 40° + ... + cos160° + cos180°

= cos0° + cos180° + cos20° + cos160° + ... + cos80° + cos100°

= cos0° - cos0° + cos20° - cos20° + ... + cos80° - cos80°

= 0.

1.3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Chú thích: Dấu “||” biểu thị sự không xác định của giá trị lượng giác tại góc đó.

Ví dụ:

Sin30ׄ° = 12;

Cos120° = - 12;

Tan60° = 6;

Cot120° = - 33.

Chú ý: Cách sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác:

- Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° bằng cách sử dụng các phím: sin, cos, tan trên máy tính cầm tay.

Ví dụ: Dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác sau (làm tròn đến hàng phần chục nghìn).

Sin55°, cos140°, tan80°

Hướng dẫn giải:

Để tính các giá trị lượng giác trên, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ” ta làm như sau:

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

- Ta có thể tìm số đo (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° khi biết giá trị lượng giác của góc đó bằng cách sử dụng các phím: SHIFT cùng với sin; cos; tan trên máy tính cầm tay.

Ví dụ: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo góc của α (từ 0° đến 180°) và làm tròn đến độ, biết:

a) sinα = 0,56

b) cosα = - 0,95

c) tanα = 0, 42

Hướng dẫn giải:

Để tính gần đúng số đo góc α trong mỗi trường hợp trên, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ”, ta làm như sau:

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

2. Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó:

a2 = b2 + c2 – 2bccosA,

b2 = c2 + a2 – 2cacosB,

c2 = a2 + b2 – 2abcosC.

Lưu ý:

cosA = b2+c2-a22bc,

cosB = c2+a2-b22ca,

cosC = a2+b2-c22ab.

Ví dụ: Chứng minh a2 = b2 + c2 – 2bccosA.

Hướng dẫn giải:

Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c.

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Cho tam giác ABC, đặt AB = c, AC = b, BC = a, cosA = cosα

Kẻ BH vuông góc với AC.

Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

BC2 = BH2 + HC2

= BH2 + (AC – AH)2

= BH2 + AC2 – 2.AC.AH + AH2

= (BH2 + AH2) + AC2 – 2.AC.AH

= AB2 + AC2 – 2.AC.AH

(BH2 + AH2 = AB2 do áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông AHB).

Xét tam giác vuông AHB, ta lại có:

cosA = AHAB

⇒ AH = AB.cosA = c.cosα

Do đó: a2 = BC2 = AB2 + AC2 – 2.AC.AH

= c2 + b2 -2b. c.cosα

= b2 + c2 -2bc.cosα (đpcm).

Ví dụ: Cho tam giác ABC có A^= 60°, AB = 6, AC = 8. Tính BC.

Hướng dẫn giải:

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA

Thay số ta có:

BC2 = 62 + 82 – 2.6.8.cos60°

⇔ BC2 = 36 + 64 – 48 = 52

⇔ BC = 52= 213

Vậy BC = 213.

3. Định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Khi đó:

asinA=bsinB=csinC=2R

Lưu ý:

a = 2RsinA,

b = 2RsinB,

c = 2RsinC.

Ví dụ: Chứng minh định lí sin.

Hướng dẫn giải:

Ta chỉ cần chứng minh asinA=2R, các dấu bằng kia chứng minh hoàn toàn tương tự. Ta xét ba trường hợp sau:

TH1: Tam giác ABC vuông tại A. Khi đó sinA = sin90° = 1. Vì BC là đường kính của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC nên a = BC = 2R.

Vậy asinA=BC1=2R.

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

TH2: Góc A nhọn. Gọi D là điểm sao cho BD là đường kính. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên A^= D^.

Từ đó sinA = sinD = BCBD= a2R.

Suy ra asinA=2R.

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

TH3: Góc A^tù. Gọi D là điểm sao cho BD là đường kính. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên A^+ D^= 180°. Suy ra sinA = sinD ( hai góc bù nhau có sin bằng nhau).

Ta có sinD = BCBD= a2R

Suy ra asinA=2R.

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Ví dụ:Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà. Lần đầu tiên người đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc 35° và lần thứ hai người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc 15°. Tính chiều cao ngọn núi đó so với mặt đất biết rằng tòa nhà cao 60 m.

Hướng dẫn giải:

Bài toán trên được mô phỏng lại như hình vẽ với A là vị trí của người đó tại sân thượng của tòa nhà, B là vị trí của người đó tại tầng trệt. C và D lần lượt là đỉnh và chân của ngọn núi.

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Từ A hạ AE vuông góc với CD tại E.

Theo đề ra ta có Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Ta có:

ABD^ = ABC^ - DBC^= 90° - 35° = 55°;

BAD^ = BAE^+ DAE^ = 90° + 15° = 105°.

ADB^+BAD^+ABD^=180°(Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180°)

Suy ra:

ADB^ = 180° - BAD^ - ABD^ = 180° - 105° - 55° = 20°

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABD ta có:

ABsinADB^=BDsinBAD^

⇔ BD = AB.sinBAD^sinADB^ = 60.sin105osin20o ≈ 169,45 (m).

Xét tam giác CBD vuông tại C, ta có:

CD = BD.sin DBC^ = 169,45.sin35° ≈ 97,19 (m).

Vậy ngọn núi cao xấp xỉ 97,19 m.

Bài tập Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Bài 1:Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và A^= 60°. Tính BC.

Hướng dẫn giải:

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Ta có:

Cos60° = 12

Suy ra cosA = 12.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA

= 32 + 42 – 2.3.4.12= 13

⇒ BC = 13.

Bài 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = 3 – sin290° + 2cos260° - 3tan245°

b) B = a2sin90° + b2cos90° + c2cos180°

Hướng dẫn giải:

a) A = 3 – sin290° + 2cos260° - 3tan245°

= 3 – 12 + 2.122 - 3.222

= 1.

b) B = a2sin90° + b2cos90° + c2cos180°

= a2.1 + b2.0 + c2.(-1)

= a2 – c2.

Bài 3: Tính chiều cao của một ngọn núi (làm tròn đến mét), biết tại hai điểm A, B cách nhau 500m, người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 34° và 38°. (Hình minh họa như hình bên).

Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Hướng dẫn giải:

Gọi D và C lần lượt là đỉnh và chân của ngọn núi.

Đặt BC = x (m);

Ta có: 500 + x (m)

Xét tam giác vuông ACD, ta có:

tanCAD = CDAC⇒ CD = AC.tanCAD

⟹ CD = (500 + x).tan34° (1)

Xét tam giác BCD, ta có:

tanCBD = CDBC⇒ CD = BC.tanCBD

⟹ CD = x.tan38° (2)

Từ (1) và (2) ta có:

(500 + x).tan34° = x.tan38°

⟺ 500.tan34° + x.tan34° = x.tan38°

⟺ 500.tan34° = x.tan38° - x.tan34°

⟺ x.tan38° - x.tan34° = 500.tan34°

⟺ x.(tan38° - tan34°) = 500.tan34°

⟺ x = 500.tan34otan38o-tan34o

⟺ x 3158,5m

⟹ CD = 3158,5.tan38° 2467,7 (m)

Vậy chiều cao của ngọn núi là 2467,7 mét.

Học tốt Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: