X

Lý thuyết Toán 10 Cánh diều

Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 lần lượt có vectơ chỉ phương là u1, u2. Khi đó

a) ∆1 cắt ∆2 khi và chỉ khi u1, u2 không cùng phương.

b) ∆1 song song với ∆2 khi và chỉ khi u1, u2 cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.

c) ∆1 trùng với ∆2 khi và chỉ khi u1, u2 cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.

Chú ý:

+ ∆1 vuông góc với ∆2 khi và chỉ khi u1, u2 vuông góc với nhau.

+ Khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, có thể dựa vào cặp vec tơ pháp tuyến của hai đường thẳng đó.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) ∆1: 3x + 6y – 7 = 0 và ∆2: x + 2y + 5 = 0;

b) ∆3: –3x – 2y + 4 = 0 và ∆4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng ∆1 có vectơ pháp tuyến n1 = (3 ; 6). Đường thẳng ∆2 có vectơ pháp tuyến n2 = (1; 2).

Ta thấy n1 = 3n2 nên n1n2 cùng phương.

Suy ra ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm A(–5 ; 0) thuộc ∆2. Thay tọa độ của điểm A vào phương trình của ∆1 ta có:

3.(–5) + 6.0 – 7 = 0 ⇔ –22 = 0 (vô lý)

Suy ra A ∉∆1.

Suy ra ∆1 và ∆2 song song.

Vậy ∆1 và ∆2 song song.

b) Đường thẳng ∆3 có vectơ pháp tuyến n3 = (–3 ; –2) nên có vectơ chỉ phương là u3 = (2 ; –3).

Đường thẳng ∆4 có vec tơ chỉ phương u4 = (–1 ; 2).

Ta thấy 2-1-32 nên u3u4 không cùng phương.

Suy ra ∆3 và ∆4 cắt nhau.

Vậy ∆3 và ∆4 cắt nhau.

Nhận xét: Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có phương trình lần lượt là:

a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0.

Xét hệ (I) Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

a) ∆1 cắt ∆2 khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy nhất.

b) ∆1 song song với ∆2 khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm.

c) ∆1 trùng với ∆2 khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

d1: –4x + y – 2 = 0 và d2: 2x + 2y + 5 = 0;

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d1 và đường thẳng d2 là nghiệm của hệ phương trình Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Hệ Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều có nghiệm duy nhất là Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Suy ra d1 và d2 cắt nhau tại điểm có tọa độ (–0,9 ; –1,6).

Vậy d1 và d2 cắt nhau tại điểm có tọa độ (–0,9 ; –1,6).

II. Góc giữa hai đường thẳng

– Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc.

+ Nếu hai đường thẳng ∆1 và ∆2 không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong bốn góc tạo thành được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.

+ Nếu hai đường thẳng ∆1 và ∆2 vuông góc với nhau thì ta nói góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bằng 90o.

- Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu 1,2^ và (∆1, ∆2).

Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Quy ước: Khi ∆1 song song hoặc trùng với ∆2, ta nói góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bằng 0°.

Nhận xét: Góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 90°, tức là (∆1, ∆2) ≤ 90°.

– Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương lần lượt là u1 = (a1; b1) , u2 = (a2; b2) . Ta có:

cos(∆1, ∆2) = |u1.u2||u1|.|u2|=|a1a2+b1b2|a12+b12.a22+b22.

Nhận xét:

+ 1⊥∆2⇔ a1a2 + b1b2 = 0.

+ Cho hai đường thẳng ∆1và∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1, n2. Ta cũng có:

cos(∆1, ∆2) = |cosn1,n2|=|n1.n2||n1|.|n2|.

Ví dụ: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng ∆1và∆2 trong mỗi trường hợp sau:

a) ∆1: x + 2y – 5 = 0 và ∆2: 2x + 3y – 4 = 0;

b) ∆3: 3x – 2y + 1 = 0 và ∆4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng ∆1: x + 2y – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là n1 = (1 ; 2); Đường thẳng ∆2: 2x + 3y – 4 = 0 có vec tơ pháp tuyến là n2 = (2 ; 3).

Do đó:

cos(∆1, ∆2) = |cosn1,n2|=|n1.n2||n1|.|n2|=|1.2+2.3|12+22.22+32=865

⇒ (∆1, ∆2) ≈ 7°8’.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ∆1và∆2 khoảng 7°8’.

b) Đường thẳng ∆3: 3x – 2y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là n3 = (3 ; –2) nên có vectơ chỉ phương là u3 = (2 ; 3); Đường thẳng ∆4 có vec tơ chỉ phương là u4 = (–5 ; 3).

Do đó cos(∆3, ∆4) = |2.-5+3.3|22+32.-52+32=1442.

⇒ (∆3, ∆4) ≈ 87°16’.

III. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) và điểm M(x0 ; y0). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, kí hiệu là d(M, ∆), được tính bởi công thức sau:

d(M, ∆) = |ax0+by0+c|a2+b2.

Chú ý: Nếu M ∈ ∆ thì d(M, ∆) = 0.

Ví dụ: Tìm khoảng cách từ điểm M(3; 4) đến đường thẳng ∆: 2x + 6y – 3 = 0.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ là d(M, ∆) = |2.3+6.4-3|22+62=2740.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là 2740.

Bài tập Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) ∆1: x – y – 2 = 0 và ∆2: x + 2y + 1 = 0;

b) ∆3: –2x – 5y + 6 = 0 và ∆4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

c) ∆5: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều và ∆6: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

a) Tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆1 và đường thẳng ∆2 là nghiệm của hệ phương trình Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Hệ Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều có nghiệm duy nhất là Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Suy ra ∆1 và ∆2 cắt nhau tại điểm có tọa độ (1 ; –1).

Vậy ∆1 và ∆2 cắt nhau tại điểm có tọa độ (1 ; –1).

b) Đường thẳng ∆3: –2x – 5y + 6 = 0 có vectơ pháp tuyến là n3 = (–2 ; –5) nên có vectơ chỉ phương là u3 = (5 ; –2).

Đường thẳng ∆4 có vectơ chỉ phương là u4 = (–10; 4).

Ta thấy u4 = –2u3 nên u4u3 cùng phương.

Khi đó ∆3 và ∆4 song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm A(3; 0) thuộc ∆3, thay tọa độ của A vào phương trình của ∆4 ta được:

Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều (thỏa mãn).

Suy ra A ∈∆4

Suy ra ∆3 và ∆4 trùng nhau.

Vậy ∆3 và ∆4 trùng nhau.

c) Đường thẳng ∆5 có vectơ chỉ phương là u5= (–3 ; 1); đường thẳng ∆6 có vectơ chỉ phương là u6 = (3 ; –1).

Ta thấy u5 = –1u6 nên u5u6 cùng phương

Suy ra ∆5 và ∆6 song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm B(–4 ; 1) ∈∆5. Thay tọa độ của B vào phương trình của ∆6 ta được:

Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều (vô lý).

⇒ B ∉∆6.

Suy ra ∆5 và ∆6 song song.

Vậy ∆5 và ∆6 song song.

Bài 2: Tìm góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆1 : x + y – 10 = 0 và ∆2 : 2x + 99 = 0.

b) d1: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều và d2: x – 2y + 3 = 0.

Hướng dẫn giải

a) ∆1 : x + y – 10 = 0 có vectơ pháp tuyến là n1 = (1 ; 1); Đường thẳng ∆2 : 2x + 99 = 0 có vectơ pháp tuyến là n2 = (2 ; 0);

cos(∆1, ∆2) = |cosn1,n2|=|n1.n2||n1|.|n2|=|1.2+1.0|12+12.22+02=12.

⇒ (∆1, ∆2) = 45°.

Vậy góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 45°.

b) Đường thẳng d1: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều có vectơ chỉ phương là u1 = (1 ; –2); đường thẳng d2: x – 2y + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là n2 = (1; –2) nên có vectơ chỉ phương là u2 = (2; 1).

Khi đó cos(d1, d2) = |1.2+-2.1|12+-22.22+12=05=0.

⇒ (d1, d2) = 90°.

Vậy góc giữa d1 và d2 bằng 90°.

Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) A(3 ; 5) và ∆: 4x + 3y + 1 = 0;

b) A(6 ; –2) và ∆: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Hướng dẫn giải

a) Khoảng cách từ A(3 ; 5) đến đường thẳng ∆ là d(M, ∆) = |4.3+3.5+1|42+32=285.

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là 285.

b) Thay tọa độ điểm A(6 ; –2) vào phương trình tham số của ∆ ta có:

Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều (thỏa mãn).

Do đó A ∈ ∆.

Suy ra khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆ bằng 0.

Vậy khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆ bằng 0.

Học tốt Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Các bài học để học tốt Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Toán lớp 10 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: