X

Lý thuyết Toán 10 Cánh diều

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ

1. Định nghĩa

Cho một số k ≠ 0 và vectơ a0. Tích của một số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là ka, được xác định như sau:

+ cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0;

+ có độ dài bằng |k|.|a|.

Quy ước: 0a=0,k0=0.

Phép lấy tích của một số với một vecto gọi là phép nhân một số với một vecto.

Ví dụ:Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, DE lần lượt là trung điểm của BCAC. Tìm mối quan hệ của GAGD; mối quan hệ của ADGD.

Hướng dẫn giải

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Khi đó ta có:

- Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA = 2GD.

Mà G nằm giữa A và D nên GAGD là hai vecto ngược hướng.

GA=-2GD.

- Ta có: AD = 3GD.

GDAD là hai vecto cùng hướng.

AD=3GD.

Ví dụ: Cho vecto a có |a| = 4. Tìm số thực x sao cho vecto xa có độ dài bằng 1 và cùng hướng với a.

Hướng dẫn giải:

Ta có: |xa| = 1 ⟺ |x|.|a| = 1 ⟺ |x|.4 = 1

⟺ |x| = 14

Lại có vecto xa cùng hướng với vecto a nên x > 0

Suy ra x = 14.

Vậy x = 14 là giá trị cần tìm.

2. Tính chất

Với hai vecto bất kì a, b và hai số thực h, k, ta có:

+) k(a+b) = ka + kb; k(a-b) = ka - kb;

+) (h + k)a = ha + ka;

+) h(ka) = (hk)a;

+) 1a = a; (-1)a = -a.

Nhận xét: ka = 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc a=0.

Ví dụ: Tính:

a) 5BC+5CA;

b) 4AB+6AB;

c) 42AB+2BC-3AB.

Hướng dẫn giải:

a) 5BC+5CA = 5(BC+CA) = 5BA.

b) 4AB+6AB = (4 + 6)AB = 10AB.

c) 42AB+2BC-3AB

= (4.2)AB + 5BC - 3AB

= 8AB+5BC-3AB

= 8AB-3AB+5BC

= (8 – 3)AB + 5BC

= 5AB + 5BC

= 5(AB+BC) = 5AC

3. Một số ứng dụng

3.1. Trung điểm của đoạn thẳng

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA+MB=2MI với điểm M bất kì.

Chứng minh:

Vì I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên IA+IB=0

Suy ra:

MA+MB=MI+IA+MI+IB=MI+IA+MI+IB=2MI+IA+IB

=2MI+0=2MI.

MA+MB=2MI (đpcm).

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng minh MA+MB+MC+MD=2MN.

Hướng dẫn giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD nên ta có:

MA+MC=0

MB+MD=2MN

MA+MB+MC+MD=MA+MC+MB+MD=0+2MN=2MN

MA+MB+MC+MD=2MN (đpcm).

3.2. Trọng tâm của tam giác

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì MA+MB+MC=3MG với điểm M bất kì.

Ví dụ: Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng: AA'+BB'+CC'=3GG'.

Hướng dẫn giải:

Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ nên:

GA+GB+GC=0GA'+GB'+GC'=0

Theo quy tắc cộng vecto ta có:

AA'=AG+GG'+G'A' (1)

BB'=BG+GG'+G'B' (2)

CC'=CG+GG'+G'C' (3)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:

AA'+BB'+CC'=3GG'+AG+BG+CG+GA'+GB'+GC'

= 3GG'+-GA-GB-GC+GA'+GB'+GC'

= 3GG'-GA+GB+GC+GA'+GB'+GC'

= 3GG'+0+0=3GG'

AA'+BB'+CC'=3GG' (đpcm).

3.3. Điều kiện để hai vecto cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng.

- Điều kiện cần và đủ để hai vecto ab ( ≠ 0) cùng phương là có một số thực k để a=kb.

- Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để AB=kAC.

Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vecto ab không cùng phương. Với mỗi vecto c có duy nhất cặp số (x; y) thoả mãn c=xa+yb.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Đặt a=AB, b=AC. Dựng các điểm M, N sao cho AM=13AB; CN=2BC.

a) Phân tích CM, AN theo các vecto ab.

b) Gọi I là điểm thỏa mãn: MI=CM. Chứng minh I, A, N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

a) Ta có:

+) CM=CA+AM=-AC+13AB=13a-b.

+) Vì CN=2BC ⇒ CN = 2BC ⇒ BC = 13BN ⇒ BN = 3BC.

BN=3BC.

AN=AB+BN=AB+3BC=AB+3AC-AB=AB+3AC-3AB

= -2AB+3AC=-2a+3b.

b) Ta có:

AI=AM+MI=13AB+CM=13a+13a-b=23a-b=-13-2a+3b

AI=-13AN.

⇒ I, A, N thẳng hàng.

Bài tập Tích của một số với một vectơ

Bài 1:Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng: MA+MB+MC+MD=4MO với M là điểm bất kì.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Ta có:

OA+OB=2OI (Do I là trung điểm của AB)

OC+OD=2OJ (Do J là trung điểm của CD)

Mặt khác O là trung điểm IJ nên OI+OJ=0

OA+OB+OC+OD=2OI+2OJ=2OI+OJ=0

Với mọi điểm M, ta lại có:

OA+OB+OC+OD=0

OM+MA+OM+MB+OM+MC+OM+MD=0

4OM+MA+MB+MC+MD=0

-4MO+MA+MB+MC+MD=0

MA+MB+MC+MD=4MO (đpcm).

Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, CD sao cho MB = 2MA và NC = 2ND. Chứng minh rằng: MN=23AD+13BC.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Áp dụng quy tắc cộng vecto, ta có:

MN=MA+AD+DN (1)

MN=MB+BC+CN (2)

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 ta có:

2MN=2MA+2AD+2DN (3)

Cộng hai vế của (2) và (3) ta có:

3MN=MB+BC+CN+2MA+2AD+2DN

3MN=2MA+MB+2AD+BC+2DN+CN

Vì M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, CD (M, N lần lượt nằm giữa đoạn thẳng AB và CD).

MA,MBDN,CN là hai cặp vecto ngược hướng.

Mà MB = 2MA và NC = 2ND nên ta có:

2MA+MB=0

2DN+CN=0

Suy ra:

3MN=2AD+BC

MN=23AD+13BC (đpcm).

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích vecto AN,MN,AG qua các vecto ABAC.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

+ Vì ABCD là hình bình hành nên BA=CD

Ta lại có: CD = 2CN nên N là trung điểm của CD.

CDCN là hai vecto cùng hướng.

CD=2CN.

CN=12CDCN=12BACN=-12AB

Suy ra :

AN=AC+CN=AC-12AB

+ Ta có: AB = 3AM ⇒ AM = 13AB

AMAB là hai vecto cùng hướng.

AM=13AB

MA=-13AB

MN=MA+AN=-13AB+AC-12AB=-56AB+AC

Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên:

3AG=AM+AN+AB=13AB+AC-12AB+AB=56AB+AC

AG=518AB+13AC

Vậy:

AN=AC-12AB

MN=-56AB+AC

AG=518AB+13AC

Bài 4: Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M, N thỏa mãn các hệ thức: MB=2MC;AN=2NC.

Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Cánh diều

Vì:

+) AN=2NC

Nên AN = 2NC ⇒ CN = 13CA.

CNCA là hai vecto cùng hướng.

CN=13CA.

+) MB=2MC ⇒ MB = 2MC ⇒ C là trung điểm của MB.

⟹ MC = CB

MCCB là hai vecto cùng hướng.

MC=CB

MN=MC+CN=CB+13CA

3MN=3CB+CA (1)

Ta lại có:

+) C là trung điểm của MB ⇒ MB=2CB

+) P là trung điểm của AB ⇒ BP=12BA

MP=MB+BP=2CB+12BA=2CB+12CA-CB=2CB+12CA-12CB

= 32CB+12CA

2MP=3CB+CA (2)

Từ (1) và (2) ta có:

3MN=2MPMN=23MP

Do đó ba điểm M, N, P thẳng hàng (đpcm).

Học tốt Tích của một số với một vectơ

Các bài học để học tốt Tích của một số với một vectơ Toán lớp 10 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: