Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

I. Giải phương trình có dạng $\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{g\left(x\right)}$(I)

(f(x) = a$x^2$+ bx + c và g(x) = m$x^2$+ nx + c với a ≠ m)

Để giải phương trình (I) ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của (I) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) rồi tìm nghiệm của phương trình này

Bước 2: Thay từng nghiệm của phương trình f(x) = g(x) vào bất phương trình

f(x) ≥ 0 hoặc g(x) ≥ 0. Nghiệm nào thoả mãn bất phương trình đó thì giữ lại, nghiệm nào không thoả mãn thì loại đi.

Bước 3: Trên cơ sở những nghiệm giữ lại ở Bước 2, ta kết luận nghiệm của phương trình (I)

Chú ý:

- Trong hai bất phương trình f(x) ≥ 0 và g(x) ≥ 0 ta thường chọn bất phương trình dạng đơn giản để thực hiện bước 2.

- Người ta chứng minh được rằng tập hợp (số thực) giữ lại ở Bước 2 chính là tập nghiệm của phương trình (I).

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{x-2}$ (1)

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình ta được: $x^2-3x+2$ = x - 2 (2)

Ta có: (2) $\iff x^2$- 4x + 4 = ${\left(x-2\right)}^2$ = 0

Do đó, phương trình (2) có nghiệm là x = 2.

Thay lần giá trị trên vào bất phương trình x - 2 ≥ 0, ta thấy x = 2 thoả mãn bất phương trình

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2.

II. Giải phương trình có dạng $\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)$(II)

(f(x) = a$x^2$+ bx + c và g(x) = dx + e với a ≠ $d^2$)

Để giải phương trình (II), ta làm như sau:

Bước 1: Giải bất phương trình g(x) ≥ 0 để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó

Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình dẫn đến phương trình f(x) = $\left[g{\left(x\right)}^2\right]$ rồi tìm tập nghiệm của phương trình đó.

Bước 3: Trong những nghiệm của phương trình f(x) = $\left[g{\left(x\right)}^2\right]$, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình g(x) ≥ 0. Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình (II).

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{x^2-4x+3}$ = x - 1

Hướng dẫn giải

Ta có: x - 1 ≥ 0 $\iff$ x ≥ 1

Bình phương hai vế của phương trình, ta được: $x^2$ - 4x + 3 = ${\left(x-1\right)}^2$

$\iff x^2$ - 4x + 3 = $x^2$ - 2x + 1 $\iff$ - 2x + 2 = 0. Phương trình có hai nghiệm là

x = 1, giá trị x = 1 là thoả mãn x ≥ 1

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.

Bài tập Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2-3x-1}=\sqrt{2x+3}$

b) $\sqrt{4x^2-6x-6}=\sqrt{x^2-6}$

c) $\sqrt{x+9}=2x-3$

d) $\sqrt{-x^2+4x-2}=2-x$

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế ta có: 2$x^2$ - 3x - 1 = 2x + 3 $\iff$2$x^2$- 5x - 4 = 0

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình 2x + 3 ≥ 0 thì thấy cả hai nghiệm đều thoả mãn.

Vật tập nghiệm của phương trình là S = $\{\frac{5+\sqrt{57}}{4};\frac{5-\sqrt{57}}{4}\}$

b) Bình phương hai vế của phương trình ta được: 4$x^2$- 6x - 6 = x² - 6

$\iff$3x² - 6x = 0$\iff$ . Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình x² - 6 ≥ 0 thì thấy chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}

c) Ta có: 2x - 3 ≥ 0$\iff$x ≥ $\frac{3}{2}$. Bình phương hai vế của phương trình ta được:

x + 9 = ${\left(2x-3\right)}^2\iff$4$x^2$ - 12x + 9 = x + 9$\iff$4$x^2$- 13x = 0

Đối chiếu với điều kiện x ≥ $\frac{3}{2}$. Ta thấy x = $\frac{13}{4}$ thỏa mãn. Vậy tập nghiệm S = {$\frac{13}{4}$}.

d) Ta có: 2 - x ≥ 0 $\iff$x ≤ 2

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

-$x^2$+ 4x - 2 = ${\left(2-x\right)}^2\iff$-$x^2$+ 4x - 2 = $x^2$- 4x + 4$\iff$2$x^2$- 8x + 6 = 0

Đối chiếu với điều kiện x ≤ 2, ta thấy x = 3 không thoả mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2-x}$ + 2x = 3

b) $\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{2-x}$ + 2x = 3 $\iff \sqrt{2-x}$= 3 - 2x

Ta có: 3 - 2x ≥ 0$\iff$x ≤ $\frac{3}{2}$. Bình phương hai vế của phương trình ta được:

2 - x = ${\left(3-2x\right)}^2\iff$2 - x = 9 - 12x + 4$x^2\iff$4$x^2$- 11x + 7 = 0

Đối chiếu với điều kiện, ta thấy chỉ có giá trị x = 1 thoả mãn. Vậy tập nghiệm S = {1}

b)

$\sqrt{-x^2+7x-6}+x=4\iff \sqrt{-x^2+7x-6}$= 4 - x. Ta có: 4 - x ≥ 0$\iff$x ≤ 4

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$-x^2+7x-6={\left(4-x\right)}^2$ $\iff -x^2+7x-6$ = 16 - 8x + $x^2\iff$2$x^2$- 15x + 22 = 0

. Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn. Vậy tập nghiệm S = {2}

Bài 3. Giải phương trình $\sqrt{3x^2-9x+1}=x-2$

Hướng dẫn giải

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {3}.

Bài 4. Giải phương trình$\sqrt{x^2-5x+4}=\sqrt{-2x^2-3x+12}$.

Hướng dẫn giải

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {$\frac{-8}{6}$}.

Học tốt Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Các bài học để học tốt Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai