Bất phương trình bậc hai một ẩn (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Bất phương trình bậc hai một ẩn (Lý thuyết Toán lớp 10) - Cánh diều

Lý thuyết Bất phương trình bậc hai một ẩn

1. Bất phương trình bậc hai một ẩn

- Bất phương trình bậc hai một ẩnx là bất phương trình có một trong các dạng sau: ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c ≤ 0; ax² + bx + c > 0; ax² + bx + ≥ 0, trong đó a, b, c là các số thực đã cho, a ≠ 0.

- Đối với bất phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c < 0, mỗi số $x_0\in ℝ$sao cho $a{x}_0^2+b{x}_0+c<0$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình đó.

Tập hợp các nghiệm x như thế còn được gọi là tập nghiệm của bất phương trình bậc hai đã cho.

Nghiệm và tập nghiệm của các dạng bất phương trình bậc hai ẩn x còn lại được định nghĩa tương tự.

Ví dụ: Cho bất phương trình bậc hai một ẩn $x^2-3x+2\le 0$ (1). Trong các giá trị sau đây của x, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình (1)?

a) x = 2;

b) x = 0;

c) x = 3.

Hướng dẫn giải

a) Với x = 2, ta có:2² - 3.2 + 2 = 0. Vậy x = 2 là nghiệm của bất phương trình (1).

b) Với x = 0, ta có: $0^2$-3.0 + 2 = 2 > 0.Vậy x = 0 không phải là nghiệm của bất phương trình (1).

c) Với x = 3, ta có: 3² - 3.3 + 3 > 0. Vậy x = 3 không phải là nghiệm của bất phương trình (1).

Chú ý: Giải bất phương trình bậc hai ẩn x là đi tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

2.1. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng:

f(x) > 0 (f(x) = ax² + bx + c), ta chuyển việc giải bất phương trình đó về việc tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x)mang dấu “+”. Cụ thể, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định dấu của hệ số a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có).

Bước 2. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) mang dấu “+”.

Chú ý: Các bất phương trình bậc hai có dạng f(x) < 0, f(x) ≥ 0, ,f(x) ≤ 0 được giải bằng cách tương tự.

Ví dụ: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $x^2-5x+4>0$;

b) $-x^2-3x+4>0$.

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai $x^2-5x+4>0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1=1$, $x_2=4$và có hệ số a = 1 > 0. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức $x^2-5x+4>0$ mang dấu “+” là $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(4;+\infty \right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $x^2-5x+4>0$ là $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(4;+\infty \right)$.

b) Tam thức bậc hai $-x^2-3x+4>0$ có hai nghiệm $x_1=-4$, $x_2=1$ và có hệ số a = -1 < 0.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức $-x^2-3x+4>0$ mang dấu “+” là (- 4; 1).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình - x² - 3x + 4 > 0 là (- 4; 1).

2.2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng đồ thị

- Giải bất phương trình bậc hai ax² +bx + c > 0 là tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol y = ax² + bx + c nằm phía trên trục hoành.

- Tương tự, giải bất phương trình bậc hai ax² + bx + c < 0 là tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol y = ax² + bx + c nằm phía dưới trục hoành.

Như vậy, để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng:

f(x) > 0 (f(x) = ax² + bx + c) bằng cách sử dụng đồ thị, ta có thể làm như sau: Dựa vào parabol y = ax² + bx + c, ta tìm tập hợp những giá trị của x ứng với phần parabol đó nằm phía trên trục hoành. Đối vổi các bất phương trình bậc hai có dạng f(x) < 0, f(x) ≥ 0, ,f(x) ≤ 0, ta cũng làm tương tự.

Ví dụ: Quan sát đồ thị và giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $x^2-3x+2<0$

b) $-x^2+2x$ > 0

Hướng dẫn giải

a) Quan sát đồ thị, ta thấy $x^2-3x+2<0$ biểu diễn phần parabol y = $x^2-3x+2$ nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với 1 < x < 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $x^2-3x+2<0$ là khoảng (1; 2).

b) Quan sát đồ thị, ta thấy $-x^2+2x$ > 0 biểu diễn phần parabol y = $-x^2+2x$ nằm phía trên trục hoành, tương ứng với 0 < x < 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $-x^2+2x$ > 0 là khoảng (0 ; 2).

2.3. Ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai một ẩn có nhiều ứng dụng, chẳng hạn: giải một số hệ bất phương trình; ứng dụng vào tính toán lợi nhuận trong kinh doanh; tính toán điểm rơi trong pháo binh;...

Chúng ta sẽ làm quen với những ứng dụng đó qua một số ví dụ sau đây.

Ví dụ 4: Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình sau:

$x^2+2x-3<0$ (3) và $x^2-4x+3<0$ (4)

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left(3\right)\iff -3<x<1$. Tập nghiệm của bất phương trình (3) là S₃= (−3 ; 1);

$\left(4\right)\iff 1<x<3$. Tập nghiệm của bất phương trình (4) là S₄= (1 ; 3).

Giao các tập nghiệm của hai bất phương trình trên là:

$S=S_3\cap S_4=\left(-3;1\right)\cap \left(1;3\right)=\varnothing$.

Bài tập Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai một ẩn? Vì sao?

a) $-2x+2<0$;

b) $\frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}\left(y+1\right)\le 0$;

c) $y^2+x^2-2x\ge 0$.

Hướng dẫn giải

a) Bất phương trình $-2x+2<0$có a = 0 nên không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn.

b) $\frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}\left(y+1\right)\le 0$ $\iff \frac{1}{2}{y}^2-\sqrt{2}y-\sqrt{2}\le 0$ là bất phương trình bậc hai một ẩn vì bậc của bất phương trình này là bậc 2 và có đúng 1 ẩn là y.

c) Bất phương trình $y^2+x^2-2x\ge 0$ không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì có 2 ẩn là x và y.

Bài 2. Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) trong mỗi hình sau, hãy viết tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau: f(x) > 0; f(x) < 0; f(x) ≥ 0; f(x) ≤ 0.

Hướng dẫn giải

Đồ thị 1: Tập nghiệm của bất phương trình:

f(x) > 0: $S=\left(-\infty ;1\right)\cup \left(4;+\infty \right)$

f(x) < 0: S = (1;4)

f(x) ≥ 0: S = (-$\infty$;1]$\cup$[4; +$\infty$)

f(x) ≤ 0: $S=[1;4]$

Đồ thị 2: Tập nghiệm của bất phương trình:

f(x) > 0: $ℝ$∖{2}

f(x) < 0: $S=\varnothing$

f(x) ≥ 0: $S=ℝ$

f(x) ≤ 0: S = {2}

Đồ thị 3: Tập nghiệm của bất phương trình:

f(x) > 0: $S=ℝ$

f(x) < 0: $S=\varnothing$

f(x) ≥ 0: $S=ℝ$

f(x) ≤ 0: $S=\varnothing$

Bài 3. Tìm tập nghiệm của bất phương trình:$\sqrt{2}{x}^2-\left(\sqrt{2}+1\right)x+1<0$

Hướng dẫn giải

Ta có: $f\left(x\right)=\sqrt{2}{x}^2-\left(\sqrt{2}+1\right)x+1=0\iff$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $f\left(x\right)<0\iff \frac{\sqrt{2}}{2}<x<1.$

Bài 4. Tìm tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình: $x\left(2-x\right)\ge x\left(7-x\right)-6\left(x-1\right)$ trên đoạn [-10;10].

Hướng dẫn giải

Bất phương trình: $x\left(2-x\right)\ge x\left(7-x\right)-6\left(x-1\right)$

$\iff 2x-x^2\ge 7x-x^2-6x+6$.

$\iff x\ge 6\underset{x\in \mathbb{Z}}{\overset{x\in [-10;10]}{\to }}x\in \{6;7;8;9;10\}$.

Tổng tất cả các nghiệm là: 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40.

Học tốt Bất phương trình bậc hai một ẩn

Các bài học để học tốt Bất phương trình bậc hai một ẩn Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn