Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

❮ Bài trước Bài sau ❯

Trong Ví dụ 10, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a (H.2.26). Hãy tính các tích vô hướng và .

Giải Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian - Kết nối tri thức

Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 10, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a (H.2.26). Hãy tính các tích vô hướng $\vec{A S} \cdot \vec{B D}$ và $\vec{A S} \cdot \vec{C D}$ .

Luyện tập 10 trang 57 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC và BD.

Gọi E là trung điểm của SC. Suy ra OE là đường trung bình của tam giác SAC.

Suy ra $O E = \frac{S A}{2} = \frac{a}{2}$ và OE // SA.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $B D = a \sqrt{2}$ mà O là trung điểm của BD nên $O B = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vì DSBC đều cạnh a nên BE là đường cao. Suy ra $B E = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì $O E^{2} + O B^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{3 a^{2}}{4} = B E^{2}$ .

Do đó DBOE vuông tại O. Do đó $\vec{O E} ⊥ \vec{O B}$ .

Vì OE // SA và $O E = \frac{1}{2} S A$ nên $\vec{A S} = 2 \vec{O E}$ .

Vì O là trung điểm của BD nên $\vec{B D} = - 2 \vec{O B}$ .

Khi đó $\vec{A S} \cdot \vec{B D} = 2 \vec{O E} . (- 2 \vec{O B}) = 0$ .

Vì ABCD là hình vuông nên $\vec{C D} = \vec{B A}$ .

Do đó $\vec{A S} \cdot \vec{C D}$ $= \vec{A S} \cdot \vec{B A} = - \vec{A S} \cdot \vec{A B} = - |\vec{A S}| \cdot |\vec{A B}| \cdot \cos \hat{S A B}$ .

Vì DSAB đều nên $\hat{S A B} = 60 °$ .

Do đó $\vec{A S} \cdot \vec{C D} = - a \cdot a \cdot \cos 60 ° = - \frac{a^{2}}{2}$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯