Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình
Ôn tập cuối năm
Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 9 trang 123 sgk Hình Học 12 nâng cao được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp bạn biết cách làm bài tập môn Toán 12.
Bài 9 (trang 123 sgk Hình Học 12 nâng cao): Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình
a) Viết phương trình hình chiếu của Δ trên các mặt phẳng tọa độ.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng: x+5y+z+4=0 đi qua Δ.
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng Δ và các trục tọa độ.
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của Δ và đường thẳng Δ':x=y=z
e) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả ∆ và ∆’.
Lời giải:
a) Mặt phẳng chứa Δ và vuông góc với mp(Oxy) có phương trình là:
x+2y+1=0
Vậy hình chiếu vuông góc của Δ lên mp(Oxy) có phương trình là:
Tương tự, hình chiếu vuông góc của Δ lên mp()yz) và (Oxz) có phương trình là:
b) Δ đi qua M0 (1; -1;0) và có vectơ pháp tuyến u→=2;-1; 3 ta thấy:
suy ra Δ nằm trên mp: x+5y+z+4=0
Cách khác: ta thấy tọa độ 2 điểm M0 (1; -1;0) và M1 (3; -2;3) thõa mãn phương trình mp: x+5y+z+4=0 nên Δ thuộc mặt phẳng đã cho.
c) Khoảng cách giữa Δ và trục Ox được xác định như sau:
Trong đó u→=(2; -1;3) là vectơ chỉ phương của Δ
i→=(1;0;0)là vectơ chỉ phương của Ox.
M0 (1; -1;0) ∈Δ,O(0;0;0) là gốc tọa dộ.
Ta có [uX→,i→]=(0;3;1),OM0→=(1; -1;0)
d) Đường thẳng Δ đi qua M0 (1; -1;0) có vectơ chỉ phương u→=(2; -1;3)
Δ' đi qua M0'(0;0;0) có vectơ chỉ phương u'→=(1;1;1)
Gọi d là đường vuông góc chung của ∆ và ∆’.
Giả sử d cắt ∆, ∆’ lần lượt tại A(1+ 2a, -1- a,3a) và B( b, b,b)
⇒ AB→(b-1- 2a, b+1+ a, b- 3a)
Do d vuông góc với ∆ và ∆’ nên ta có:
e) Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (α) và (β); trong đó, (α) là mặt phẳng chứa Δ và (α) song song với Oz.
(β) là mặt phẳng chứa Δ' và (β) song song với Oz.
Phương trình của (α) là: x+2y+1=0
Phương trình của (β) là: x-y=0
Suy ra Phương trình đường thẳng cần tìm là: