15 Bài tập Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với 15 bài tập trắc nghiệm Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác Toán lớp 10 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 10.

15 Bài tập Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Câu 1. Tam giác ABC có $AB=5,BC=7,CA=8$. Số đo góc $\hat{A}$ bằng:

A. $30°;$

B. $45°;$

C. $60°;$

D. $90°.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có: $\cos \hat{A}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB.AC}=\frac{5^2+8^2-7^2}{\mathrm{2.5.8}}=\frac{1}{2}$

Do đó, $\hat{A}=60°$.

Câu 2. Tam giác ABC có $AB=2,AC=1$ và $\hat{A}=60°$. Tính độ dài cạnh BC.

A. BC = 1;

B. BC = 2;

C. BC =$\sqrt{2}$;

D. BC = $\sqrt{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos \hat{A}=2^2+1^2-\mathrm{2.2.1.}\cos 60°=3\Rightarrow BC=\sqrt{3}$

Câu 3.Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3, cạnh

AB = 9 và $\widehat{ACB}=60°$. Tính độ dài cạnh cạnh BC.

A. $BC=3+3\sqrt{6};$

B. $BC=3\sqrt{6}-3;$

C.$BC=3\sqrt{7};$

D. $BC=\frac{3+3\sqrt{33}}{2}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

$\Rightarrow$MN là đường trung bình của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AC$. Mà MN = 3, suy ra AC = 6.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2.AC.BC.\cos \widehat{ACB}$

$\iff 9^2=6^2+B{C}^2-\mathrm{2.6.}BC.\cos 60°$

$\iff$$B{C}^2$- 6.BC - 45 = 0

$\iff$BC = 3 + 3$\sqrt{6}$

Câu 4. Tam giác ABC có $AB=\sqrt{2},AC=\sqrt{3}$ và $\hat{C}=45°$. Tính độ dài cạnh BC.

A.$BC=\sqrt{5};$

B. $BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};$

C. $BC=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2};$

D. $BC=\sqrt{6}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2.AC.BC.\cos \hat{C}$

$\Rightarrow {\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+B{C}^2-2.\sqrt{3}.BC.\cos 45°$

$\Rightarrow$$B{C}^2$- $\sqrt{6}$.BC + 1 = 0

$\Rightarrow BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.

Câu 5. Tam giác ABC có $\hat{B}=60°,\hat{C}=45°$ và AB = 5. Tính độ dài cạnh AC.

A. $AC=\frac{5\sqrt{6}}{2};$

B. $AC=5\sqrt{3};$

C. $AC=5\sqrt{2};$

D. AC = 10

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Theo định lí hàm sin, ta có:

$\frac{AB}{\sin \hat{C}}=\frac{AC}{\sin \hat{B}}\iff \frac{5}{\sin 45°}=\frac{AC}{\sin 60°}\Rightarrow AC=\frac{5\sqrt{6}}{2}$.

Câu 6. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1cm và có $\widehat{BAD}=60°$. Tính độ dài AC.

A. $AC=\sqrt{3};$

B. $AC=\sqrt{2};$

C. $AC=2\sqrt{3};$

D. AC = 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Do ABCD là hình thoi, có $\widehat{BAD}=60°\Rightarrow \widehat{ABC}=120°$.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}$

$\Rightarrow 1^2+1^2-\mathrm{2.1.1.}\cos 120°=3\Rightarrow AC=\sqrt{3}$

Câu 7. Tam giác ABC có $AB=4,BC=6,AC=2\sqrt{7}$. Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài cạnh AM..

A. $AM=4\sqrt{2};$

B. $AM=3;$

C. $AM=2\sqrt{3};$

D. $AM=3\sqrt{2}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có : $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{4^2+6^2-{\left(2\sqrt{7}\right)}^2}{\mathrm{2.4.6}}=\frac{1}{2}$

Do $MC=2MB\Rightarrow BM=\frac{1}{3}BC=2$.Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2.AB.BM.\cos \hat{B}$

$\Rightarrow 4^2+2^2-\mathrm{2.4.2.}\frac{1}{2}=12\Rightarrow AM=2\sqrt{3}$

Câu 8. Tam giác ABC có $AB=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},BC=\sqrt{3},CA=\sqrt{2}$. Gọi D là chân đường phân giác trong góc $\hat{A}$. Khi đó góc $\widehat{ADB}$ bằng bao nhiêu độ?

A. $45°;$

B. $60°;$

C. $75°;$

D. $90°.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=120°\Rightarrow \widehat{BAD}=60°$

$\cos \widehat{ABC}=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{ABC}=45°$

Trong $\Delta ABD$ có $\widehat{BAD}=60°,\widehat{ABD}=45°\Rightarrow \widehat{ADB}=75°$.

Câu 9. Tam giác ABC có $AB=3,AC=6$ và $\hat{A}=60°$. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. R = 3

B. $R=3\sqrt{3}$;

C. $R=\sqrt{3};$

D. R = 6.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí Cosin, ta có:$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

$=3^2+6^2-\mathrm{2.3.6.}cos{60}^0=27\iff B{C}^2=27\iff B{C}^2+A{B}^2=A{C}^2.$

Suy ra tam giác ABC vuông tại B do đó bán kính $R=\frac{AC}{2}=3.$

Câu 10. Tam giác MPQ vuông tại P. Trên cạnh MQ lấy hai điểm E, F sao cho các góc $\widehat{MPE},\widehat{EPF},\widehat{FPQ}$ bằng nhau. Đặt $MP=q,PQ=m,PE=x,PF=y$. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?

A. $ME=EF=FQ;$

B. $M{E}^2=q^2+x^2-xq;$

C. $M{F}^2=q^2+y^2-yq;$

D. $M{Q}^2=q^2+m^2-2qm.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có:$\widehat{MPE}=\widehat{EPF}=\widehat{FPQ}=\frac{\widehat{MPQ}}{3}=30°\Rightarrow \widehat{MPF}=\widehat{EPQ}=60°$.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$M{E}^2=M{P}^2+P{E}^2-2.MP.PE.\cos \widehat{MPE}$

$\Rightarrow q^2+x^2-2qx.\cos 30°=q^2+x^2-qx\sqrt{3}$

$M{F}^2=M{P}^2+P{F}^2-2MP.PF.\cos \widehat{MPF}$

$\Rightarrow q^2+y^2-2qy.\cos 60°=q^2+y^2-qy$

$M{Q}^2=M{P}^2+P{Q}^2=q^2+m^2$

Câu 11. Cho góc $\widehat{xOy}=30°$. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

A. $\frac{3}{2};$

B. $\sqrt{3};$

C. $2\sqrt{2};$

D. 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm sin, ta có:

$\frac{OB}{\sin \widehat{OAB}}=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}\iff OB=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}.\sin \widehat{OAB}$

$\iff \frac{1}{\sin 30°}.\sin \widehat{OAB}=2\sin \widehat{OAB}$

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi

$\sin \widehat{OAB}=1\iff \widehat{OAB}=90°$

Khi đó OB = 2.

Câu 12. Cho góc $\widehat{xOy}=30°$. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy

sao cho AB = 1. Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng:

A. $\frac{3}{2};$

B. $\sqrt{3};$

C. $2\sqrt{2};$

D. 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo định lí hàm sin, ta có:

$\frac{OB}{\sin \widehat{OAB}}=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}\iff OB=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}.\sin \widehat{OAB}$

$\iff \frac{1}{\sin 30°}.\sin \widehat{OAB}=2\sin \widehat{OAB}$

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi: <$\sin \widehat{OAB}=1\iff \widehat{OAB}=90°$.

Khi đó OB = 2.Tam giác OAB vuông tại $A\Rightarrow OA=\sqrt{O{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.

Câu 13.Tam giác ABC có $AB=c,BC=a,CA=b$. Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức $b\left(b^2-a^2\right)=c\left(a^2-c^2\right)$. Khi đó góc $\widehat{BAC}$ bằng bao nhiêu độ?

A. $30°;$

B. $45°;$

C. $60°;$

D. $90°.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có:$\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}$

Mà $b\left(b^2-a^2\right)=c\left(a^2-c^2\right)$$\iff b^3-a^{2}b=a^{2}c-c^3$

$\iff -a^2\left(b+c\right)+\left(b^3+c^3\right)=0$

$\iff \left(b+c\right)\left(b^2+c^2-a^2-bc\right)=0$

$\iff b^2+c^2-a^2-bc=0$ (do $b>0,c>0$)

$\iff b^2+c^2-a^2=bc$

Khi đó, $\cos \widehat{BAC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BAC}=60°$.

Câu 14.Tam giác ABC vuông tại A, có $AB=c,AC=b$. Gọi m là độ dài đoạn phân giác trong góc $\widehat{BAC}$. Tính m theo b và c.

A. $m=\frac{\sqrt{2}bc}{b+c};$

B. $m=\frac{2\left(b+c\right)}{bc};$

C. $m=\frac{2bc}{b+c};$

D. $m=\frac{\sqrt{2}\left(b+c\right)}{bc}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có:$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{b^2+c^2}$.

Do AD là phân giác trong của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow BD=\frac{AB}{AC}.DC=\frac{c}{b}.DC=\frac{c}{b+c}.BC=\frac{c\sqrt{b^2+c^2}}{b+c}$.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2.AB.AD.\cos \widehat{ABD}$

$\iff \frac{c^2\left(b^2+c^2\right)}{{\left(b+c\right)}^2}=c^2+A{D}^2-2c.AD.\cos 45°$

$\Rightarrow A{D}^2-c\sqrt{2}.AD+\left(c^2-\frac{c^2\left(b^2+c^2\right)}{{\left(b+c\right)}^2}\right)=0$

$\iff A{D}^2-c\sqrt{2}.AD+\frac{2b{c}^3}{{\left(b+c\right)}^2}=0$

$\Rightarrow AD=\frac{\sqrt{2}bc}{b+c}$ hay $m=\frac{\sqrt{2}bc}{b+c}$.

Câu 15. Tam giác ABC có BC = 10 và $\hat{A}={30}^{\text{O}}$. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. R = 5;

B. R = 10;

C. $R=\frac{10}{\sqrt{3}};$

D. $R=10\sqrt{3}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí sin, ta có:$\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{2.\sin \hat{A}}=\frac{10}{2.\sin {30}^0}=10.$