Bài 15 trang 106 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 15 trang 106 Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có AC' = $\sqrt{3}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng

A. $\frac{1}{3}$ .

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

D. $\frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Bài 15 trang 106 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD và AC $⊥$ BD.

Có AD // B'C' và AD = B'C' (vì cùng song song và bằng BC) nên ADC'B' là hình bình hành, suy ra AB' // DC'. Do đó AB' // (BDC').

Khi đó d(AB', BC') = d(AB', (BDC')) = d(A, (BDC')) = d(C, (BDC')) .

Giả sử hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a.

Xét tam giác ABC vuông tại B có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì CC' $⊥$ (ABCD) nên CC' $⊥$ AC hay tam giác ACC' vuông tại C.

Xét tam giác ACC' vuông tại C, có $A {C^{'}}^{2} = A C^{2} + C {C^{'}}^{2}$ $\Leftrightarrow 3 = 2 a^{2} + a^{2}$ $\Rightarrow a = 1$ .

Do đó hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là 1 nên AC = $\sqrt{2}$ .

Vì O là trung điểm của AC nên CO = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Có AC $⊥$ BD, BD $⊥$ AA' (do AA' $⊥$ (ABCD)), suy ra BD $⊥$ (ACC'A') mà BD $\subset$ (BDC') nên (BDC') $⊥$ (ACC'A') .

Kẻ CE $⊥$ C'O tại E.

Vì (BDC') $⊥$ (ACC'A'), (BDC') $\cap$ (ACC'A') = C'O mà CE $⊥$ C'O nên CE $⊥$ (BDC').

Khi đó d(C, (BDC')) = CE.

Xét tam giác C'CO vuông tại C, CE là đường cao có:

$\frac{1}{C E^{2}} = \frac{1}{C {C^{'}}^{2}} + \frac{1}{C O^{2}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} = 3$ $\Rightarrow C E^{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow C E = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Vậy d(AB', BC') $= \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯

Giải Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 15 trang 106 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: