Bài 35 trang 109 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 35 trang 109 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = a, AB = a $\sqrt{2}$ . Biết SA $⊥$ (ABCD) và SA = a $\sqrt{3}$ . Gọi M là trung điểm của cạnh CD.

a) Chứng minh rằng BD $⊥$ (SAM).

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMD.

Lời giải:

Bài 35 trang 109 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Do ABCD là hình chữ nhật nên AB = DC = a $\sqrt{2}$ ; AD = BC = a.

Gọi E là giao điểm của AM và BD.

Vì M là trung điểm của CD nên DM = MC = $\frac{C D}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác ADM vuông tại D có: $\tan \hat{A M D} = \frac{A D}{D M} = \frac{a}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$ .

Xét tam giác ADB vuông tại A có: $\tan \hat{A D B} = \frac{A B}{A D} = \frac{a \sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$ .

Vì $\tan \hat{A M D} = \tan \hat{A D B} = \sqrt{2}$ , suy ra $\hat{A M D} = \hat{A D B}$ .

Có $\hat{A M D} + \hat{B D M} = \hat{A D B} + \hat{B D M} = \hat{A D C} = 90 °$ , suy ra $\hat{D E M} = 90 °$ hay AM $⊥$ BD.

Vì SA $⊥$ (ABCD) nên SA $⊥$ BD mà AM $⊥$ BD nên BD $⊥$ (SAM).

b) Có S_ABMD = S_ABCD – S_BCM = AB.AD - $\frac{1}{2}$ .BC.CM

= $= a \sqrt{2} \cdot a - \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{3 a^{2} \sqrt{2}}{4}$ .

Khi đó $V_{S . A B M D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B M D} \cdot S A$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{3 a^{2} \sqrt{2}}{4} \cdot a \sqrt{3} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$ .

Vậy $V_{S . A B M D} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4} .$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯

Giải Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 35 trang 109 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: